Gestion de portefeuille 3-203-99 Albert Lee Chun Construction de portefeuilles: Markowitz et la frontière efficiente Séance 4 25 Sept 2008

Plan de la séance Une petite révision Portefeuille optimal des N titres risqués - Le problème de Markowitz - La frontière efficiente - Le théorème des deux fonds Portefeuille optimal des N titres risqués et 1 titre sans risque - Droite du marché des capitaux - Portefeuille de marché - Le théorème de séparation - Différents taux d’emprunt et de placement

Une petite révision

Nous avons commencé par un univers avec 1 titre sans risque et 1 titre risqué

Décision de répartition du capital Chaque investisseur se placera à un point différent sur la CAL. La proportion investie dans l’actif risqué va dépendre de l’aversion au risque. w*< 1 = Prêteur w*> 1 = Emprunteur. E(r) Droite de répartition du capital (CAL) E Emprunteur . Rf Prêteur  p = 22% L’allocation optimale est le point de tangence entre CAL et la fonction d’utilité de l’investisseur.

Maximiser l’utilité de l’investisseur La solution est: w* est l’allocation optimale.

Après ça, nous avons vu un univers avec deux titres risqués

Corrélation et risque E(r) f E g h i j ρDE = +1.00 k ρDE = + 0.50 D 

Le portefeuille à variance minimale (PVM) 1> > -1  = -1  = 0 S’il n’y pas de ventes à découvert, alors le PVM est égal à l’actif avec le minimum de variance*.  = 1 *Avec des ventes à découvert, c’est possible d’avoir 0 variance.

Le portefeuille optimal E(r) rf CAL s Le proportion de capital à investir dans le portefeuille D dépendra de l’aversion au risque A. E P D

Maximisez l’utilité de l’investisseur La solution est:

Un univers avec 2 titres risqués et 1 titre sans risque

Le portefeuille optimal est le portefeuille tangent. E(r) s CAL 1 CAL 2 CAL 3 Ce portefeuille risqué est optimal pour tous les investisseurs! La solution optimale est le CAL qui maximise la pente! E D

Les pondérations du portefeuille optimal Trouvez le CAL qui maximise la pente. La solution est:

Le portefeuille optimal E(r) rf CAL s Emprunteur w* >1 Le proportion de capital à investir dans le portefeuille risqué P dépendra de l’aversion au risque A. E Prêteur w*<1 D

Maintenant, imaginez un univers avec une multitude de titres risqués

1990 : Prix Nobel d’économie Harry Markowitz 1990 : Prix Nobel d’économie Pour avoir développé la théorie de la diversification efficiente des portefeuilles. The multidimensional problem of investing under conditions of uncertainty in a large number of assets, each with different characteristics, may be reduced to the issue of a trade-off between only two dimensions, namely the expected return and the variance of the return of the portfolio.

Frontière efficiente de Markowitz µ* D σ*

Le problème de Markowitz I Soumis à la contrainte de: La somme de la pondération égale à 1 Le maximum de rendement avec la contrainte de la variance du portefeuille égalera le niveau de risque cible.

Le problème de Markowitz II Soumis à la contrainte de: La somme de la pondération égale à 1 Le minimum de variance avec la contrainte du rendement du portefeuille égalera le niveau de rendement cible.

Est-ce que le risque d’un seule titre est important? Est-ce qu’un titre qui a un grand risque demande une prime de risque élevée? Le modèle de Markowitz démontre qu’un risque idiosyncrasique n’est pas important par rapport à la contribution de cet actif dans l’ensemble du portefeuille. Mais le modèle de Markowitz n’explique pas comment les rendements sont déterminés.

Citation de Markowitz So about five minutes into my defense, Friedman says, well Harry I’ve read this. I don’t find any mistakes in the math, but this is not a dissertation in economics, and we cannot give you a PhD in economics for a dissertation that is not in economics. He kept repeating that for the next hour and a half. My palms began to sweat. At one point he says, you have a problem. It’s not economics, it’s not mathematics, it’s not business administration, and Professor Marschak said, “It’s not literature”. So after about an hour and a half of that, they send me out to the hall, and about five minutes later Marschak came out and said congratulations Dr. Markowitz.

Le théorème des deux fonds Fait intéressant: N`importe quelle combinaison de 2 portfeuilles efficients générera la courbe de frontière efficiente! D B Chaque point de la frontière efficiente est une combinaison de portfeuilles efficients A et B, A et C, C et D, etc C A

Imaginez un univers avec une multitude de titres risqués et 1 titre sans risque

Droite du marché des capitaux CML maximise la pente. Droite du marché des capitaux Portefeuille tangent E M D rf

Théorème de séparation de Tobin Dans un article de 1958, James Tobin a dit que si on a un portefeuille risqué, et que si on peut emprunter et prêter au même taux, la frontière efficiente est une combinaison de portefeuille de marché et d’un actif sans risque. Le théorème de séparation dit qu’on peut diviser le problème de choix du portefeuille optimal en 2 parties. Premièrement, on peut déterminer le portefeuille risqué de tangence. Ce portefeuille est optimal pour les investisseurs quelle que soit leur aversion au risque. C’est la décision d’investissement. Deuxièmement, la répartition du capital entre l’actif sans risque et le portefeuille de tangence est la décision de financement, laquelle dépend de l’attitude de l’investisseur par rapport au risque.

Portefeuille de marché Tobin a ensuite démontré que s’il y a un portefeuille tangent et un actif sans risque, qui permet d’emprunter et de prêter au même taux, le portefeuille de tangence équivaut au portefeuille de marché. Droite du marché des capitaux Portefeuille de marché E M M D rf

Théorème de séparation de Tobin Emprunteur Droite du marché des capitaux Prêteur M Séparation de la décision d’investissement de la décision de financement. rf

Qui détient le portefeuille de marché? Emprunteur A<AM Droite du marché des capitaux A=AM Prêteur A>AM M rf

Remarquez qu’on a réduit la complexité de cet univers à 2 points

Seulement un taux de placement Le niveau d’aversion au risque minimum à partir duquel on veut investir au taux sans risque. Prêteur ML rL

Le portfeuille de marché peut être n’importe où ici Frontière efficiente Le portfeuille de marché peut être n’importe où ici Prêteur rL

Différents taux d’emprunt et de placement Emprunteur Prêteur MB rB ML rL

Qui sont les prêteur et les emprunteurs? A<AMB Prêteur MB rB ML A>AML rL

Qui sont les prêteur et les emprunteurs? A<AMB Prêteur MB rB ML A>AML rL

Qui détient seulement un portefeuille risqué? Emprunteur AMB <A<AML A<AMB Prêteur MB rB ML A>AML rL

Frontière efficiente rB rL Emprunteur AMB <A<AML A<AMB Prêteur MD rB ML A>AML rL

Ou est le portfeuille de marché? Le portfeuille de marché peut être n’importe où ici rB rf

Pour la semaine prochaine La semaine prochaine on va - faire quelques exemples, à la fois numériques et dans Excel. discuter de l'appendice A sur la diversification. discuter de l’article dans recueil. finir de parler du chapitre 7 et commencer à parler du modèle d’évaluation des actifs financiers.

Le pouvoir de diversifier 90% des bénéfices de la diversification des actions obtenues après 12-18 actions. L’écart type de rendement Risque non systématique (idiosyncratique, diversifié) Risque total L’`écart type de marché (risque systématique) Risque systématique Nombre d’actions dans le portefeuille