Gestion de portefeuille 3-203-99 Albert Lee Chun Construction de Portefeuilles: Introduction à la théorie moderne de portefeuille Séance 3 18 Sept 2008

Plan du cours Séances 1 et 2 : L’environnement institutionnel Séances 3, 4 et 5 Construction de portefeuilles Séances 6 et 7: Modèles d'évaluation des actifs financiers Séance 8: Efficience de marché Séance 9: Gestion active d'un portefeuille d'actions Séance 10: Gestion de portefeuilles obligataires Séance 11: Mesures de performances des portefeuilles 1 1 1 1

Le risque en fonction du nombre d’actions 7-2

Diversification du portefeuille 7-3

Rendement d’un portefeuille de deux actifs w1 = proportion des fonds dans le titre 1 w2 = proportion des fonds dans le titre 2 E(r1) = rendement espéré du titre 1 E(r2) = rendement espéré du titre 2 7-4

Risque d’un portefeuille de deux actifs 12 = variance du titre 1 22 = variance du titre 2 Cov(r1,r2) = covariance entre le titre 1 et le titre 2 7-5

1,2 = Coefficient de corrélation Covariance 1,2 = Coefficient de corrélation 1 = Écart type des rendements du titre 1 2 = Écart type des rendements du titre 2 C’est ici. 7-6

Coefficients de corrélation Ordre des valeurs pour 1,2 + 1.0 >  > -1.0 Si  = 1.0, les titres seraient parfaitement corrélés positivement Si = - 1.0, les titres seraient parfaitement corrélés négativement 7-7

Un portefeuille de 3 actifs 7-8

Généralement, pour un portefeuille de n titres: 7-9

Statistiques de portefeuille

Aujourd’hui Fonctions d’utilité et la courbe d’indifférence Portefeuille de variance minimale (PVM) La droite de répartition de capital (CAL) Portefeuille optimal On va illustrer ces concepts dans un univers avec 1 titre risqué et 1 titre sans risque 2 titres risqués 2 titres risqués et 1 titre sans risque N titres risqués N titres risqués et 1 titre sans risque

Fonctions d’utilité

Aversion au risque Si on a deux choix d’actifs avec le même taux de rendement, les investisseurs qui ont une aversion au risque vont sélectionner l’actif avec le niveau de risque le plus bas. Les investisseurs qui ont une aversion au risque veulent une compensation pour le risque. Le rendement excédentaire d’un actif risqué (i) est déterminé par la prime de risque = E(ri) – Rf.

La prime de risque Exemple: 100$ Profit = 5$ W1 = 150$ p = .6 Investissement risqué Bons du Trésor Profit = 5$ Rendement espéré: (50%)(.6) + (-20%)(.4) = 22% Prime de risque = E(Ri) – Rf = 22%-5% = 17% 1-p = .4

Mesure des préférences de l’investisseur Une fonction d’utilité représente le niveau de satisfaction de l’investisseur. Plus l’utilité est élevée, plus les investisseurs seront contents. Par exemple, si l’utilité de l’investisseur dépend seulement de la moyenne (soit µ= E(r)) et de la variance (2) des rendements, alors nous avons la fonction suivante: L’ensemble des portefeuilles qui procure le même niveau d’utilité pour un investisseur est défini par une courbe d’indifférence. U = f ( µ, )

Exemple: la courbe d’indifférence (Rp) U = 5 L’investisseur est indifférent entre X et Y, aussi bien qu’à tous les points de la courbe. Tous les points de la courbe ont le même niveau d’utilité (U=5).

Direction de l’utilité croissante Rendement espéré Écart-type Direction de l’utilité croissante U3 U3 > U2 > U1 U2 U1

Deux investisseurs différents Rendement espéré U3’ U3 > U2 > U1 U2’ U1’ Quel investisseur a la plus grande aversion au risque? U3 U2 U1 Écart type

Utilité quadratique L’utilité d’un investisseur est une fonction quadratique seulement si la moyenne et la variance des rendements sont importantes pour l’investisseur. A est constant, ce qui détermine le degré d’aversion au risque: il augmente avec l’aversion au risque de l’investisseur. (Remarquez que 1/2 est juste une constance normalisée) Remarquez que A > 0, cela implique que les investisseurs n’aiment pas le risque. Plus la variance est élevée, plus l’utilité est basse.

Les courbes d’indifférence Voici un exemple des points de l’indifférence pour un investisseur avec une fonction d’utilité quadratique. Remarquez qu’une plus haute variance est accompagnée d’un plus haut taux de rendement pour compenser la nature de l’aversion au risque de l’investisseur.

U = 22% - ½×2×(34%)² = 10.44% L’équivalent certain Certains taux de rendement sans risque offrent aux investisseurs le même niveau d’utilité qu’un taux de rendement risqué. L’investisseur est indifférent entre un rendement risqué et ses équivalents. Exemple: Supposons qu’un investisseur a une utilité quadratique de A = 2. Un portefeuille risqué offre un E(R) égal à 22% et un écart type de 34%. L’utilité de cette fonction est: U = 22% - ½×2×(34%)² = 10.44% L’équivalent certain est égal à 10.44% parce que l’utilité d’obtenir un certain taux de rendement de 10.44% est: U = 10.44% - ½ × 2×(0%)² = 10.44% risqué sans risque

Les courbes d’indifférence de risque neutre E(RP) sP U4 U3 U2 U1 Ça représente une attitude neutre envers le risque. L’investisseur est indifférent entre les différents niveaux d’écart type. Direction de l’utilité croissante U3 > U2 > U1

La pente de la courbe d’indifférence Une courbe d’indifférence abrupte coïncide avec une forte aversion au risque. La pente de la courbe d’indifférence correspond à la compensation nécessaire pour chaque unité de risque additionnel. Cette compensation est mesurée en unités de rendement espéré pour chaque unité d’écart type. Une haute aversion au risque implique un haut degré de compensation pour prendre une unité de risque additionnelle et est représentée par une pente abrupte.

Les courbes d’indifférence E(RP) sP U4 U3 U2 U1 Direction de l’utilité croissante U3 > U2 > U1 Plus un investisseur est averse au risque, plus fortes sont les pentes de ses courbes d’indifférence.

Deux différents investisseurs Rendement espéré Moins averse au risque U3’ U2’ Plus averse au risque U1’ Quel investisseur a une aversion au risque plus élevé? U3 U2 U1 Écart type

Dominance stochastique Les ordres entre les portefeuilles Z2 ou Z3 et X dépendent des préférences de l’investisseur Préfère n’importe quel portefeuille de Z1 à X. σX < σp Préfère X à n’importe quel portefeuille dans Z4.

Imaginez un univers avec 1 titre sans risque et 1 titre risqué

1 titre sans risque et 1 titre risqué Supposons que nous construisons un portefeuille P ayant un actif sans risque f et un actif risqué A La variance d’action sans risque est 0, et la covariance entre un actif sans risque et un actif risqué est naturellement égale à 0.

Un actif sans risque et un actif risqué Supposons WR = .75 E(rA) = 15% A E(rP) = 13% P rf = 7% f  P =16.5% A =22% E(rP) = .25*.07+.75*15=13% p = .75*.22 = 16.5%

La droite de répartition de capital Capital Allocation Line (CAL) Équation E(rA) A E(rP) P Pente de CAL rf f Intersection  P A

Choix d’une répartition optimale Si l’investisseur a une utilité quadratique, quelle est la répartition optimale de portefeuille? Utilité: Rendement espéré et variance: L’objectif de chaque investisseur est de maximiser son utilité. Comment fait-on?

Normally a Bear Lives in a Cave, that is Concave, A concave function has a negative second derivative. then to find the top of the cave (i.e. or to maximize a concave function), prenez les dérivées et mettez le tout égal à 0.

However, if the Bear is Swimming in a Bowl, that is Convex, A convex function has a positive second derivative. then to find the bottom of the bowl (i.e. or to minimize a convex function), prenez les dérivées et mettez le tout égal à 0.

Maximiser l’utilité de l’investisseur Prenez les dérivées de U par rapport à w et mettez le tout égal à 0. w* est l’allocation optimale.

Exemple 1 Supposons E(rA) = 15%; (rA) = 22% et rf = 7%. Pour un investisseur avec A = 4: w* = (0.15-0.07)/[4*(0.22)^2] = 0.41 < 1 L’allocation optimale est 41% de son capital dans le portefeuille risqué A et 59% dans l’actif sans risque. Par conséquent: E(Rp) = 0.59*7%+0.41*15%=10.28% et (rp) = 0.41*0.22=9.02%

Exemple 2 Supposons E(rA) = 15%; (rA) = 22% et rf = 7%. Pour un investisseur avec A = 1, w* = (0.15-0.07)/[1*(0.22)2] = 1.65 > 1 Cet investisseur voudra placer 165% de son capital dans A et il va emprunter 65% de son capital au taux sans risque de 7%, alors: E(Rp) = 1.65(0.15) + -0.65(0.07)= 20.2% (rp) = 1.65*0.22= 0.363 = 36.3% U = 0.202 – 0.5*1*(0.3632) = 0.1361

Prêteur ou Emprunteur? Chaque investisseur se placera à un point différent sur la CAL. La proportion investie dans l’actif risqué va dépendre de l’aversion au risque. w*> 1 nécessité d’emprunteur. E(r) A Ex2: Emprunteur 7% Ex1: Prêteur  p = 22% L’allocation optimale est le point de tangence entre CAL et la fonction d’utilité de l’investisseur.

Différents taux d’emprunt Si le taux d’emprunt est plus élevé que le taux de placement, qu’est-ce qui se passe? E(r)  9% 7% A p = 22% w* = (0.15-0.09)/[1*(0.22)2] = 1,24 1.24 < 1.65

Différents taux d’emprunt Supposons E(rA) = 15%; (rA) = 22% et le taux de placement est rp = 7%, mais le taux d`emprunt est re = 9%. Pour un investisseur avec A = 1: w* = (0.15-0.09)/[1*(0.22)2] = 1.24 1.24 < 1.65 Cet investisseur voudra placer 124% de son capital dans le titre A. Il aura besoin d’emprunter 24% de son capital au taux d’emprunt de 9%. Le coût plus élevé de l’emprunt force l’investisseur à diminuer la proportion qu'il alloue au titre risqué. Par conséquent: E(Rp) = 1.24(0.15) + -0.24(0.09)= 16.44% (rp) = 1.24*0.22= 27.28% Plus le taux d’emprunt est élevé, plus son utilité diminue: U = 0.1644 – 0.5*1*(0.27282) = .1272 < .1361

Imaginez un univers avec deux titres risqués

Rendement espéré et écart type avec divers coefficients de corrélation 7-41

Portefeuille de rendement espéré en fonction des proportions d’investissement 7-42

Portefeuille d’écart type en fonction des proportions d’investissement 7-43

En retournant à un portefeuille de deux titres Question: que se passe-t-il si nous utilisons plusieurs combinaisons, c.-à-d. si nous varions r? 7-44

Portefeuille de rendement espéré en fonction des proportions d’écarts types 7-45

 Corrélation parfaite E(R) E Avec deux actifs parfaitement corrélés, c’est seulement possible de créer un portefeuille avec un rendement-risque selon la ligne entre les deux. ρDE = +1.00 D Avec vent à découvert. 

Parfaite Corrélation  = +1

Corrélation zéro Avec des actifs non corrélés, c’est possible de créer un portefeuille moins risqué que des actifs orignaux.. E(R) f f E g h i j ρDE = +1.00 k D ρDE = 0.00 

Corrélation zéro  = 0

 Corrélation positive E(R) f E g Avec des actifs corrélats, c’est possible de créer un portefeuille de deux actifs entre les deux premières courbes h i j ρDE = +1.00 k ρDE = + 0.50 D ρDE = 0.00 

 Corrélation négative E(R) Avec des actifs corrélés négativement, c’est possible de créer un portefeuille beaucoup moins risqué. ρDE = -0.50 f E g h i j ρDE = +1.00 k ρDE = +0.50 D ρDE = 0.00 Négatif 

Corrélation parfaitement négative E(R) f E g ρDE = -1.00 h i j ρDE = +1.00 k ρDE = + 0.50 D ρDE = 0.00 Avec des actifs corrélés parfaitement négatifs, c’est possible de créer un portefeuille sans risque.

Corrélation parfaitement négative  = -1 Il existe des pondérations tel que le risque total est nul.

Portefeuille de variance minimale

Le portefeuille à variance minimale

Le portefeuille à variance minimale (PVM) 1> > -1  = -1  = 0 S’il n’y pas de ventes à découvert, alors le PVM est égal à l’actif avec le minimum de variance*.  = 1 *Avec des ventes à découvert, c’est possible d’avoir 0 variance.

L’effet de la corrélation La relation dépend du coefficient de corrélation -1.0 <  < +1.0 Plus la corrélation est négative, plus la réduction potentielle de risque est grande. Si= +1.0, aucune réduction de risque (sauf avec des ventes à découvert.) 7-57

Exemple 1: PVM A B rA,B E(r) 10% 14% 0.2 s 15% 20% Exemple: Supposons qu’il y a seulement deux actifs A et B: A B rA,B E(r) 10% 14% 0.2 s 15% 20% Trouvez le portefeuille de variance minimale?

Exemple 1: PVM

Exemple 2:  = .3 Supposons que notre univers d’investissement comprend deux titres de la Table 7.1: D E rD,E E(r) 8% 13% 0.3 s 12% 20% Quelles sont les pondérations de chaque titre dans un portefeuille de variance minimale? 7-60

Exemple 2:  = .3 En minimisant le problème, nous obtenons: Numériquement: 7-61

L’utilité de l’investisseur E(r) s Investisseurs ayant une forte aversion au risque U’ U’’ U’’’ Investisseurs ayant moins d’aversion au risque

Maximisez l’utilité de l’investisseur Devoir: montrez que la solution est:

Exemple A B rA,B E(r) 10% 14% 0.2 s 15% 20% Exemple: Supposons qu’il n’y a que deux portefeuilles: A B rA,B E(r) 10% 14% 0.2 s 15% 20% Trouvez le portefeuille optimal pour un investisseur ayant une utilité quadratique de A = 3?

Exemple

Imaginez un univers avec 2 titres risqués et 1 titre sans risque

Deux CALs 7-67

Avec un actif sans risque E(r) s CAL 1 CAL 2 CAL 3 Le portefeuille optimale est le portefeuille tangent Intuition : la solution est le CAL qui maximise la pente! E

Le CAL optimale 7-69

Le portefeuille optimal 7-70

Exemple: Le portefeuille optimal 7-71

Pondérations d’un portefeuille optimal Devoir: Si vous êtes ambitieux, essayez de montrer que la solution optimale ait :

Investisseurs A et B CAL j P i E(r) rf i j CAL s La proportion investie dans le portefeuille P va dépendre de l’aversion au risque.

Différents taux d’emprunt et de placement E(r) rf P1 P2

Imaginez un univers avec une multitude de titres risqués

Le problème de Markowitz Soumis à la contrainte de:

Frontière de variance minimale E(r) Efficient frontier Frontière de variance minimale s Portefeuille de variance minimale s 7-77

Frontière efficiente s E(r) Frontière efficiente Efficient frontier Portefeuille de variance minimale s 7-78

Frontière efficiente 7-79

Prolongement du concept La combinaison optimale correspond au plus bas niveau de risque pour un rendement donné Le <<trade-off>> optimal est décrit comme l’efficiente frontière. 7-80

Pour la prochaine semaine, imaginez un univers avec une multitude de titres risqués et 1 titre sans risque

Lectures pour d'aujourd'hui : Chapitre 7 Si vous n`avez pas suivi le cours Placement, vous devez lire le Chapitre 6. Lectures pour les 2 prochaines semaines : Chapitre 7 (incluant l'appendice A) (Recueil) Other Portfolio Selection Models