Qu’est-ce que le hasard ? C’est une bonne question… Qu’est-ce que le hasard ? Dieu ne joue pas aux dés ! Tu paries ?

Jouons ça à Pile ou Face… Vitesse de rotation w 10 5 v / g Vitesse ascensionnelle / champ de pesanteur Noir : nombre pair de demi-tours Blanc : nombre impair En réalité, la majorité des lancers se situe à peu près dans la zone : 35 ≤ w ≤ 40; et v est autour de 0,2. Et la pièce a plutôt tendance à atterrir dans la même position que celle où elle a été lancée. C’est ainsi dans sensiblement 50,5 % des cas (et non 50%). Sur un grand nombre de lancers, ce défaut d’équilibre (appelé biais statistique) est sensible !

Le hasard, c’est simple comme un coup de dés ? Dé équilibré : cube parfait Dé pipé : 4 des faces ont été rabotées Que devient alors la probabilité de tomber sur un nombre donné ? … La question est ouverte et non résolue à ce jour ! Dé Bizarre ! Quelle probabilité y a-t-il de tomber sur un triangle ? « Un coup de dés jamais n’abolira le hasard » S. MALLARMÉ

Un jeu de cartes mélangé est-il au hasard ? Les joueurs de bridge ont pour habitude de mélanger un jeu quatre fois successivement, pour que les cartes se retrouvent bien dans un ordre aléatoire. Lorsque les tournois de bridge ont commencé d’utiliser des distributions de cartes au hasard réalisées par ordinateur, certains joueurs se sont plaints que les mains qu’ils recevaient n’étaient pas… habituelles, et sans doute pas assez aléatoires… En fait, c’est l’ordinateur qui avait raison ! En 1992, le Professeur Persi DIACONIS, de l’Université de STANFORD, montre qu’il faut battre au moins 7 fois un jeu de 52 cartes pour obtenir une répartition des cartes vraiment uniforme. C’est beaucoup plus que ce que l’habitude recommandait. Et certains joueurs de bridge savaient l’utiliser. En fait, Persi DIACONIS a montré, sur ce problème, un résultat encore plus subtil, appelé Phénomène de rupture. Une nouvelle fois, on voit qu’il n’est pas facile d’avoir du VRAI HASARD !...

Un jeu de cartes mélangé est-il au hasard ? 2ème 3ème 4ème 5ème 6ème 7ème 1er battage Mélange parfait nul Jusqu’au 7ème battage, le mélange n’est pas bon : le jeu ressemble encore à celui du départ. Phénomène de RUPTURE En fait, le phénomène de rupture est le suivant : Tout d’abord, si vous mélangez votre jeu de cartes 6 fois, la distribution que vous obtenez n’est pas uniforme : il y a encore trop de suites de cartes qui sont semblables à celles qui existaient avant les mélanges. Ensuite, si vous mélangez 7 fois, le mélange que vous avez réalisé est bon : par rapport au jeu avant les mélanges, vous obtenez une distribution de cartes très proches de l’aléatoire pur. Enfin, si vous mélangez plus de 8 fois (ou bien 8 fois), vous n’améliorez pas notablement l’aléatoire du mélange. Tout se passe donc comme si, jusqu’au 6ème mélange inclusivement, le jeu n’était pas vraiment mélangé et que le 7ème mélange le mélangeait vraiment totalement. C’est le phénomène de rupture (cut-off phenomenon).

Laquelle est « au hasard » ? Voici quatre répartitions de 900 points dans un carré. Certaines sont biaisées pour que les points ne soient pas trop proches ; d’autres le sont pour que les points se rapprochent. D’après J.P. DELAHAYE L’Intelligence et le Calcul Ed. BELIN. Pour la Science

Laquelle est « au hasard » ? … / ... Mais en réalité, toutes les quatre sont au hasard. En revanche, dans une seule d’entre elles, les points sont choisis uniformément dans le carré, et de façon indépendante.

Marche au hasard Une marche au hasard est obtenue par une suite de tirages à PILE ou FACE. Sur cet exemple, on s’aperçoit que l’un des joueurs perd pendant 92% du temps et ne gagne que 8% du temps. La partie est-elle déséquilibrée ? Examinons d’autres exemples …/…

Quelques marches, au hasard...

C’est vraiment trop injuste ! Quelques marches, au hasard ? En réalité, et malgré les apparences, ces déséquilibres sont normaux. Lors d'un grand nombre de parties de PILE ou FACE, la proportion du temps pendant lequel chaque joueur gagne suit sensiblement une loi spécifique : la loi de l'arcsinus Sur la figure ci-contre, sont représentées la fonction de répartition (courbe bleue) et la densité (courbe noire) de cette loi. (Le 0 en abcisse, correspond à 50 % du temps passé en gagnant) Cette loi est par nature déséquilibrée. Ou bien on perd presque tout le temps ; Ou bien on gagne presque toujours... C’est vraiment trop injuste !

Coupons un bâton en trois morceaux, au hasard... Quelle probabilité avons-nous de pouvoir former un triangle avec les trois morceaux ainsi obtenus ? (*) x y z x y z Un TRIANGLE est POSSIBLE Aucun TRIANGLE N’est POSSIBLE x y z x z Pour un bâton de longueur égale à 1 unité, il est possible de former un triangle si, et seulement si, chacun des trois morceaux x, y et z est de longueur plus petite que ½... x + z ≥ y y + x ≥ z z + y ≥ x ... En effet, ceci permet de vérifier les inégalités triangulaires. * Essayez avec des spaghetti ! Allez, disciple ! Je sers la science et c’est ma joie !

Coupons un bâton en trois morceaux, au hasard... La vraie difficulté de cette question, c’est de savoir ce qu’on veut dire par : AU HASARD... z x y Z = 1 Y = 1 X = 1 x + y + z = 1 Un premier sens qu’on peut donner, consiste à dire qu’on choisit, sur notre bâton, deux points de coupures de façon uniforme et indépendamment l’un de l’autre. On choisit donc les trois longueurs x, y et z positives et telles que x + y + z = 1. Ceci revient (cf. figure) à choisir uniformément un point de coordonnées (x, y, z) sur un triangle équilatéral tracé dans l’espace.

Coupons un bâton en trois morceaux, au hasard... NON OUI C A B Y = ½ Z = ½ Z = 1 Y = 1 X = 1 X = ½ Dire que former un triangle est possible revient alors à dire que le point choisi se trouve à l’intérieur du triangle des milieux (en rouge sur la figure) du triangle (ABC). On peut former Un triangle P = p = ¼ = 25 % Le rapport des surfaces du triangle rouge au triangle noir (ABC) nous donne alors la réponse :

Coupons un bâton en trois morceaux, au hasard bis !... Une autre manière de faire – et de comprendre ce : « au hasard » – serait de choisir nos deux points de coupure dans l’ordre de lecture. On choisit tout d’abord la première coupure, celle de gauche, de façon uniforme sur la longueur du bâton. Tchak ! Puis on choisit la seconde coupure, uniformément, à droite de la première. Tchak ! Lieux possibles de la seconde coupure Naturellement, on devine que le résultat est le même que le précédent. Cependant... IL N’EN EST RIEN ! Le calcul précis, à l’aide d’une ou deux intégrales, montre qu’alors : On peut former Un triangle P = p’ = ln(2) – ½ ≈ 19,3 %