Logarithmes Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Les logarithmes constituent un outil indispensable dans la résolution d’équations exponentielles, c’est-à-dire d’équations dont l’inconnue est en exposant. Le propos de cette section est d’introduire la notion de logarithme et de l’utiliser dans la résolution d’équations exponentielles. Dans cette présentation, nous verrons comment utiliser les logarithmes dans la résolution des équations exponentielles. Cela nous amènera à définir la notion de fonction logarithmique et à introduire des concepts fondés sur l’utilisation des logarithmes, soit le calcul du pH et le temps de dédoublement d’une polpulation.

Croissance d’un capital Considérons à nouveau la situation du capital de 10 000 $ placé à un taux d’intérêt de 6 % capitalisé annuellement. Nous avons vu que le capital accumulé au cours des années pouvait être décrit par le modèle exponentiel : C(n) = 10 000(1,06)n Supposons qu’on désire savoir pendant combien de temps on doit placer cet argent pour doubler le capital. On cherche alors n tel que : 10 000 (1,06)n = 20 000 En divisant les deux membres de l’équation par 10 000, on obtient : (1,06)n = 2 Une équation de cette forme est une équation exponentielle et, pour la résoudre, il faut déterminer la valeur de l’exposant n. Les procédures de résolution basées sur les propriétés de l’égalité et utilisées jusqu’à maintenant ne permettent pas de résoudre. Il faut développer un outil spécialement adapté à la résolution de ce type d’équations, les logarithmes.

Équation exponentielle DÉFINITION Équation exponentielle Une équation exponentielle est une équation comportant une seule inconnue et dont l’inconnue est en exposant. La forme la plus simple d’équation exponentielle est la forme : bx = N où b > 0 et b ≠ 1. Dans cette expression, x est une inconnue, N et b sont des nombres réels positifs quelconques et b est la base de l’exponentielle.

Équation exponentielle Pour résoudre une équation exponentielle de la forme bx = N, il faut trouver à quel exposant on doit élever la base b pour obtenir le nombre N. Ainsi, l’équation : 2x = 32 est une équation exponentielle et pour résoudre cette équation on doit trouver à quel exposant il faut élever 2 pour obtenir 32. Dans ce cas, on peut facilement exprimer le membre de droite de l’équation en base 2, ce qui donne : 2x = 25 Les deux membres de l’équation étant exprimés dans la même base, les exposants sont nécessairement égaux, on peut donc conclure que x = 5. La résolution d’une équation exponentielle n’est pas toujours aussi simple. Cependant, il faudra toujours pouvoir exprimer un nombre donné dans une base donnée élevée à un exposant qui est un nombre réel. Cet exposant sera appelé le logarithme dans la base 2 du nombre 32.

Logarithme Exemple 2.1.4 S S DÉFINITION Logarithme en base b d’un nombre N Soit b ≠ 1 et N, deux nombres réels positifs. Alors, il existe un et un seul nombre réel n tel que bn = N. Le nombre n est appelé le logarithme en base b du nombre N. Ce qui s’écrit  : n = logb N Exemple 2.1.4 Trouver le logarithme dans la base 3 de 81. On cherche log381, c’est-à-dire l’exposant auquel il faut élever le nombre 3 pour obtenir 81. On doit donc résoudre l’équation exponentielle : 3x = 81 En exprimant 81 en base 3, on obtient : 3x = 34 On trouve donc : log381 = 4 S S

Bases de calcul Pour pouvoir effectuer des calculs logarithmiques, on doit connaître les logarithmes dans une base donnée. La calculatrice se révèle alors un outil très intéressant. Même si, théoriquement, tout nombre positif et différent de 1 peut servir de base d’un système de logarithmes, en pratique seulement deux bases sont utilisées pour effectuer des calculs logarithmiques, ce sont la base 10 et la base e = 2,71828... Les calculatrices effectuent directement les calculs dans ces bases. Pour simplifier l’écriture, le logarithme en base 10 d’un nombre N est noté log N et le logarithme en base e d’un nombre N est noté ln N. Ainsi, log 3 est le logarithme en base 10 du nombre 3, c’est-à-dire l’exposant qu’il faut donner à 10 pour obtenir le nombre 3, alors que ln 3 est le logarithme en base e du nombre 3. S S

Exemple S Exprimer le nombre 2,8 en base 10. Pour exprimer 2,8 en base 10, on doit trouver l’exposant auquel il faut élever 10 pour obtenir 2,8. On cherche donc x tel que : 10x = 2,8 La définition de logarithme permet d’écrire cette équation sous forme logarithmique. L’exposant cherché étant le logarithme en base 10 de 2,8, on cherche donc x tel que : x = log 2,8 On peut alors résoudre en utilisant la calculatrice et on trouve : x = log 2,8 = 0,447158... On peut maintenant exprimer 2,8 en base 10 en posant : 2,8 = 100,447158... S

Exemple 2.1.5 S Exprimer le nombre 7,3 en base e. Pour exprimer 7,3 en base e, on doit trouver l’exposant auquel il faut élever e pour obtenir 7,3, soit la valeur de x pour laquelle : ex = 7,3 La définition de logarithme permet d’écrire cette équation sous forme logarithmique. L’exposant cherché étant le logarithme en base e de 7,3, on cherche donc x tel que : x = ln 7,3 On peut alors résoudre en utilisant la calculatrice et on trouve : x = ln 7,3 = 1,98787... On peut maintenant exprimer 7,3 en base 2 en posant : 7,3 = e1,98787... S

Exemple 2.1.6 Soit N, un nombre réel tel que logbN = 3, trouver logbN2. Par hypothèse, logbN = 3. On a alors : N = b3 En élevant les deux membres de l’équation à l’exposant 2, on obtient : N2 = (b3)2 Par les propriétés des exposants, on a : N2 = b6 En écrivant cette équation sous forme logarithmique, on obtient : logbN2 = 6 S

Expression affectée d’un exposant On peut généraliser le résultat de l’exemple précédent de la façon suivante. Considérons un nombre N dont le logarithme en base b est n. On a alors : logbN = n Û N = bn, en exprimant sous forme exponentielle; Û Np = (bn)p =bnp, en élevant à l’exposant p; Û Np = bnp, par commutativité de la multiplication ; Û logbNp = pn, en exprimant sous forme logarithmique. On obtient donc la propriété suivante : logbNp = p logbN que nous considérons comme un théorème.

Exemple 2.1.7 S S Résoudre l’équation exponentielle suivante : 3x = 24 Pour résoudre cette équation, il faut utiliser une base de calcul. En utilisant la base 10, on a alors : 3x = 24 Û log 3x = log 24, Û x log 3 = log 24, par la propriété logbNp = p logbN; Û x = log 24 log 3 , en divisant les deux membres par log 3; Û x = 1,3802... 0,4771... = 2,8927…, par calculatrice. REMARQUE On parvient au même résultat en utilisant la base e. En effet, en prenant le logarithme en base e des deux membres de l’équation exponentielle, on obtient : 3,1780... 1,0986... = 2,8927… x = ln 24 ln 3 = S S

Changement de base S S Considérons les expressions équivalentes an = N Û n = logaN En prenant le logarithme en base b des deux membres de l’expression exponentielle, on obtient : an = N Û logban = logbN, Û n logba = logbN, par la propriété logbNp = p logbN; Û n = logb N logb a , en isolant n dans l’équation; Û logaN = logb N logb a , puisque n = logaN. Ce résultat est appelé théorème de changement de base. Soit a et b, deux nombres réels positifs et différents de 1, et N, un nombre réel positif (ou une expression algébrique), alors : logaN = logb N logb a S S

Exemple On place un montant de 5 000 $ à un taux d’intérêt de 9 % capitalisé annuellement. Déterminer dans combien de temps le capital aura doublé. Le modèle est C(n) = 5 000 (1,09)n. Le temps nécessaire pour doubler le capital est le temps n pour lequel : 5 000 (1,09)n = 10 000 d’où : (1,09)n = 2, en divisant les deux membres par 5 000. log 2 log 1,09 Cela donne : n = log1,09 2 = = 8,04 À ce taux, le capital aura doublé dans huit ans. S

Propriétés Pour tout m, n et p Î N et pour tout b et a Î R Propriétés des exposants Propriétés des logarithmes 1. MN = bmbn = bm + n 1. logbMN = logbM + logbN bm bn M N 2. = bm – n = 2. logb M N = logbM – logbN 3. Mp = (bm)p = bpm 3. logbMp = p logbM 4. b0 = 1 4. logb1 = 0 5. b1 = b 5. logbb = 1 Autres propriétés des exposants 6. an bn = (ab)n 7. an bn = a b n 8. b–n = 1 bn , si b ≠ 0. 9. b1/n = , sauf si b < 0 et n pair. b n 10. bm/n = , sauf si b < 0 et n pair. bm n b = m

Équation logarithmique DÉFINITION Équation logarithmique Une équation logarithmique est une équation qui comporte le logarithme d’une inconnue. Pour résoudre une telle équation, on se sert de l’équivalence suivante : logbN = n si et seulement si bn = N REMARQUE Pour utiliser l’équivalence qui permet d’écrire une équation logarithmique sous forme exponentielle, il faut que l’équation logarithmique ne comporte qu’une seule expression logarithmique. On ne peut avoir de somme ou de différence d’expressions logarithmiques. Il faut parfois utiliser les propriétés des logarithmes pour regrouper les termes, ce qui peut avoir pour effet d’introduire des solutions étrangères. Il faut donc, après avoir résolu l’équation, vérifier si les valeurs obtenues sont bien des solutions de l’équation de départ.

Exemple 2.1.8 S Trouver x tel que log2(x – 2) + log2(x + 6) = 7. log2[(x – 2)(x + 6)] = 7 , par la propriété logbM + logbN = logbMN; (x – 2)(x + 6) = 27 , puisque logbN = n si et seulement si bn = N; x2 + 4x – 12 = 128 x2 + 4x – 140 = 0 , en regroupant; (x + 14)(x – 10) = 0 , en factorisant; Par l’intégrité des nombres réels, ce produit s’annule lorsque x = –14 et lorsque x = 10. En substituant –14 à x dans l’équation initiale, on a : log2(–16) + log2(–8) = 7 Or, le logarithme d’un nombre négatif n’est pas défini,–14 n’est donc pas une solution. En substituant 10 à x dans l’équation initiale, on a : log2(8) + log2(16) = 7 Or, log2(8) = 3 et log2(16) = 4. On a donc une égalité vraie et 10 est la solution cherchée. S

Fonction logarithmique Le graphique de la fonction inverse peut être esquissé en ayant recours à la propriété de symétrie par rapport à la droite d’équation y = x. On peut trouver la fonction inverse d’une fonction exponentielle de la forme f(x) = bx en isolant la variable indépendante. Puisque f(x) représente la valeur de la variable dépendante y, on a : Fonctions croissantes b > 1 Fonctions décroissantes 0 < b < 1 y = bx Par définition des logarithmes : x = logby y y En intervertissant les identificateurs de la variable indépendante et de la variable dépendante, on a y = logbx. Ainsi, la fonction inverse de f(x) = bx est la fonction : f(x) = logbx. x x S

Fonction logarithmique DÉFINITION Fonction logarithmique Soit b, un nombre réel tel que b > 0 et b ≠ 1. On appelle fonction logarithmique en base b toute fonction dont la définition est de la forme : f(x) = a logb x + c où b est la base de la fonction logarithmique et a et c des constantes. a, b et c sont les paramètres d’une relation logarithmique. La fonction n’est définie que pour x > 0. Le domaine d’une fonction logarithmique est l’intervalle ]0; ∞[ et son codomaine est l’ensemble des nombres réels.

Exemple 2.1.9 Contrôle de la qualité Une entreprise fabrique des feuilles avec un matériau dont le coefficient d’absorption des rayons X est de 2, c’est-à-dire : Donner un tableau de valeurs permettant de déterminer l’épaisseur d’une feuille en fonction de l’intensité du faisceau de rayons X à la sortie, en supposant toujours que I0 = 10. I(x) = I0 e–2x Supposons que l’intensité à l’entrée est de 10 unités. Trouver l’épaisseur de la feuille laissant filtrer un faisceau de 3 unités. où x est mesuré en millimètres. Déterminer la fonction permettant de trouver l’épaisseur x de la feuille, connaissant l’intensité du faisceau de rayons X ayant traversé cette feuille. Intensité à la sortie Épaisseur L’intensité à l’entrée étant de 10 unités, l’épaisseur de la feuille laissant filtrer un faisceau de 3 unités est donnée par : 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,05 0,11 0,18 0,26 0,35 0,46 0,60 0,80 1,15 x(I) = 1 2 I0 I ln On obtient la fonction cherchée en isolant x dans I = I0 e–2x. En prenant le logarithme des deux membres de l’équation, on a : x(3) = 1 2 10 3 ln = 0,60 ln I = ln I0 e–2x ln I = ln I0 + ln e–2x, comme logarithme d’un produit; L’épaisseur de la plaque est de 0,60 mm. ln I = ln I0 – 2x, par la définition de logarithme; x = 1 2 I0 I ln 2x = ln I0 – ln I, d’où : S S S S S

Exemple Calcul du taux S S À quel taux capitalisé annuellement faut-il placer un montant de 4 500  $ pour accumuler un montant de 9 000 $ en 8 ans? C(n) = 4 500(1 + i)8 La variable indépendante est i, le taux d’intérêt et la variable dépendante est C, le capital accumulé. On cherche le taux i pour lequel C = 9 000. On cherche donc i tel que : 4 500(1 + i)8 = 9 000 Le phénomène est caractérisé par une croissance exprimée par un pourcentage par unité de temps. On peut donc décrire le lien entre les variables par un modèle de la forme : D’où : (1 + i)8 = 2 En extrayant la racine huitième, 1 + i = ± 1,0905 C(i) = C0(1 + i)8 Puisque i est un taux d’intérêt, la valeur négative est à rejeter et on a 1 + i = 1,0905, d’où i = 0,0905. Puisque C0 = 4 500, on a : C(n) = 4 500(1 + i)8 Pour doubler le capital en 8 ans, il faut le placer à un taux de 9,05 % capitalisé annuellement. où n est le temps exprimé en année. S S

Calcul du pH Dans la théorie générale des acides (Bronsted-Lowry), le pH est une fonction de [H30+] : pH = f([H30+]) Pour un acide faible, on a [H30+]2 ≈ Ka [HA0], où [HA0] est la concentration initiale de l’acide. [H30+] = Ka [HA0] pH = log[H30+] = 1 2 log Ka [HA0] Et : pH = – 1 2 log[HA0] + , où pKa = –log Ka. log[HA0] D’où : Cette équation est de la forme : y = a log x + c Pour un acide fort, on a pH = –log([H30+]), ce qui définit une fonction logarithmique entre la variable dépendante pH et la variable indépendante [H30+].

Exemple 2.1.10 Après dissolution d’un acide, on a [H3O+] = 5,80 ´ 10–7. Déterminer le pH de cet acide. Puisque pH = –log([H30+]), on a : pH = –log(5,8 ´ 10Ð7) = –(log 5,8 + log 10–7) = –(0,763427... – 7) = –(–6,236572...) = 6,236572... Dans le calcul d’un logarithme, la règle de présentation des résultats est la suivante : le nombre de décimales du logarithme est égal au nombre de chiffres significatifs dans le nombre initial. Dans le présent exemple, on doit donc arrondir à deux décimales et le pH de cet acide est 6,24. S

Temps de dédoublement Dans les phénomènes de croissance d’organismes vivants (bactéries, virus ou cellules), la relation entre le nombre d’organisme, et le temps est presque toujours une fonction exponentielle. On caractérise souvent ces phénomènes par leur temps de dédoublement (TD) ou « doubling time » en anglais. Le temps de dédoublement est le temps nécessaire pour que le nombre d’organismes soit le double du nombre initial. Le temps de dédoublement est le temps nécessaire pour que le nombre d’organismes soit le double du nombre initial.

Exemple 2.1.11 Dans une culture, le nombre d’organismes présents est donné par : N = N0 ´ 100,2t, où N est le nombre d’organismes et t, le temps en heures. Déterminer le temps de dédoublement de ces organismes. On cherche t tel que N0 100,02t = 2N0. Cela donne : 100,2t = 2, en divisant les deux membres par N0; log(100,02t) = log 2, en prenant le logarithme des deux membres; 0,02t log10 = log 2, en appliquant les propriétés ; 0,02t = log 2, puisque log10 = 1; t = , en divisant les deux membres par 0,02; log 2 0,02 t =15,05... , en effectuant les calculs. On peut estimer que le temps de dédoublement est TD = 15 heures. S

Croissance exponentielle forme logarithmique Considérons que la population N d’un certain organisme croît de façon exponentielle selon l’équation suivante :  N = N0 bt En prenant le logarithme des deux membres de l’équation, on obtient : log N = t log b + log N0 ou log N = t ln b + ln N0 On reconnaît la forme d’une relation affine du type Y = Ax + B, où : Y = ln N et A = log b. Lorsqu’on ne connaît que deux couples de valeurs (t1; N1) et (t2; N2) de cette relation, le taux de variation (ou la pente) peut être obtenu de la façon suivante : A = log N2 – log N1 t2 – t1 A = ln N2 – ln N1 t2 – t1 ou On peut en déduire le temps de dédoublement (TD) : TD = log 2 log b = A 0,301 TD = log 2 A = ln 2 A ln 10 0,301 A ´2,303 ou

Exemple 2.3.1 S S Temps jours 3 6 Nombre de cellules 3,3 ´109 6,4 ´109 Lors d’une culture cellulaire, on a observé les quantités de cellules données dans le tableau ci-contre. Déterminer le temps de dédoublement de ces cellules. Combien de cellules devraient être ensemencées le sixième jour si on désire obtenir environ 5 ´ 106 cellules cinq jours plus tard? Déterminons d’abord le taux de variation : Si le sixième jour on pose N = N0 2t/TD, on obtient N = N0 2t/3,14. Pour déterminer combien de cellules il faut ensemencer pour en obtenir 5 ´ 106 cinq jours plus tard, il faut résoudre l’équation : A = log(6,4 ´109) – log(6,4 ´109) 6 – 3 = 9,806 – 9,519 3 = 0,0958 Le temps de dédoublement est alors donné par : N0 25/3,14 = 5 ´ 106 TD = log 2 0,0958 N0 = 5 ´ 106 25/3,14 = 3,139... = 1658146 Cela donne : Il faut donc ensemencer environ 1,7 ´106 cellules. Le temps de dédoublement est d’environ 3,14 jours. S S

Procédure directe ou ou S On peut développer une procédure directe pour obtenir le temps de dédoublement en faisant la même démarche avec des paramètres plutôt que des valeurs particulières. Si N = N0 bt, alors le temps de dédoublement est la valeur de t telle que : t = ln 2 ln b = logb 2 = log 2 log b N0 bt = 2N0, d’où bt = 2 et : TD = 0,693 ln b = logb 2 = 0,301 log b Le temps de dédoublement est donc : Si N = N0 ´ 10kt, alors le temps de dédoublement est la valeur de t telle que N0 ´ 10kt = 2N0, d’où 10kt = 2. Cela donne, selon la base utilisée : TD = ln 2 k ln 10 0,693 2,303k = TD = log 2 k 0,301 = ou Si N = N0 ´ ekt, alors le temps de dédoublement est la valeur de t telle que N0 ´ ekt = 2N0, d’où ekt = 2. Cela donne, selon la base utilisée : TD = ln 2 k 0,693 = TD = log 2 k log e 0,301 0,434k = ou S

Équation d’Arrhenius On connaît souvent la forme générale du modèle décrivant la relation entre deux variables. Pour adapter cette forme générale à un cas particulier, il faut utiliser les données du problème et déterminer la valeur de certains paramètres. On peut alors utiliser le modèle pour traduire la question, effectuer les calculs et répondre à la question posée. L’équation d’Arrhenius décrit la relation entre la constante de vitesse k d’une réaction chimique et la température. Cette équation s’écrit : k = Ae–Ea/RT où k est la constante de vitesse (L/mol·s), A, est une constante, Ea, l’énergie d’activation (J/mol), R, la constante molaire des gaz (R = 8,315 J/K·mol) et T, la température en degré kelvins (K).

Exemple 2.3.3 S S L’énergie d’activation de la réaction 2NO2(g) ® 2NO2 (g) + O2(g) est de 111 kJ/mol. À une température de 300 K, sa constante de vitesse est de 1,0 ´ 10–10 L/mol·s. k = 2,1´ 109 e–111000/8,315T Déterminer l’équation d’Arrhenius pour cette réaction chimique. On doit déterminer la valeur de A dans l’équation d’Arrhenius, sachant que :k = 1,0 ´ 10–10 L/mol·s, Ea = 111 kJ/mol et T = 300 K. Quelle est la constante de vitesse à 273 K? En isolant A dans la forme générale de l’équation d’Arrhenius, on a : On cherche la constante de vitesse k à une température T = 273 K. A = k e–Ea/RT 1,0 ´ 10–10 e–111000/8,315´300 En substituant la valeur de T, on trouve : = 2 114 415 897 = 2,1´ 109 , d’où A = La relation entre la constante de vitesse de cette réaction et la température en kelvin est : k = 2,1´ 109 e–111000/8,315´273 = 1,2 ´10–12 k = 2,1´ 109 e–111000/8,315T À 273 K, la constante de vitesse est de 1,2 ´ 10–12 L/mol·s. S S

Équation d’Arrhenius forme logarithmique Considérons à nouveau l’équation d’Arrhenius : k = Ae–Ea/RT où k est la constante de vitesse (L/mol·s), A, est une constante, Ea, l’énergie d’activation (J/mol), R, la constante molaire des gaz (R = 8,315 J/K·mol) et T, la température en degré kelvins (K). En prenant le logarithme des deux membres de cette équation, on obtient : ln k = ln A – Ea R 1 T = – + ln A Ea R 1 T ou ln k On reconnaît la forme d’une relation affine du type y = ax + b, où : la variable dépendante est : y = ln k, a – Ea R x 1 T + b + ln A y = ln k = la pente est : a = –Ea /R, la variable indépendante est : x = 1/T et l’ordonnée à l’origine est : b = ln A. S

Équation d’Arrhenius forme logarithmique Pour déterminer l’énergie d’activation Ea d’une réaction chimique, la méthode la plus utilisée est de mesurer la constante de vitesse à différentes températures. On peut alors déterminer une relation affine entre le logarithme de la vitesse, ln k et l’inverse de la température, 1/T. Le paramètre a de cette relation affine est a = –Ea /R, d’où : Ea = –Ra. Lorsqu’on ne connaît que deux couples de valeurs correspondantes (T1; k1) et (T2; k2), le facteur a est obtenu à partir des correspondances (1/T1; ln k1) et (1/T2; ln k2). Le taux de variation (ou la pente) est alors : = ln k2 k1 1 T2 T1 – a = ln k2 – ln k1 1 T2 T1 –

CH2(g) + 2S2(g) ® CS2(g) + 2H2S(g) Exemple 2.3.4 Température (°C) 570 650 Vitesse de réaction k (L/mol·s) 1,8 10,8 On a mesuré la vitesse de la réaction en phase gazeuse du méthane avec le soufre diatomique dont l’équation est : CH2(g) + 2S2(g) ® CS2(g) + 2H2S(g) On a obtenu les résultats ci-contre. Déterminer l’énergie d’activation de la réaction. Puisque Ea = –Ra, on obtient : Ea = –8,315 ´ –17426,85... = 144 904,29... Dans ce cas, on dispose de deux données, on trouvera donc la pente en calculant le rapport de la variation du logarithme naturel des vitesses sur la variation de l’inverse multiplicatif des températures en kelvins. Cela donne : L’énergie d’activation est de 1,4 ´ 105 J/mol. = ln 10,8 1,8 1 923 843 – a = ln k2 k1 1 T2 T1 – = –17426,85... S S

Conclusion Un logarithme est un exposant par rapport à une base donnée. Tout nombre positif et différent de 1 peut servir comme base d’un logarithme. Les logarithmes sont l’outil indispensable pour résoudre des équations exponentielles et ils permettent de définir la fonction inverse d’une fonction exponentielle. Grâce aux logarithmes, on peut déterminer des constantes caractérisant des phénomènes comme le temps de dédoublement ou la demi-vie ou encore le pH d’un acide.

Lecture Calcul différentiel, applications en sciences de la nature, section 2.1, p. 47 à 53. Exercices Calcul différentiel, applications en sciences de la nature, section 2.2, p. 55 à 56.