Principe de récurrence explication par une métaphore…

Imaginons une grenouille qui veuille grimper à une échelle, elle a plusieurs choses à savoir faire…

Pour grimper jusqu’en haut elle doit savoir réaliser quelques actions : Savoir atteindre un barreau. Savoir grimper d’un barreau au suivant. Par exemple, si elle sait atteindre le troisième barreau, et si elle sait grimper d’un barreau au suivant, alors elle atteint tous les barreaux à partir du troisième.

Pour grimper jusqu’en haut elle doit choisir quelques actions… Savoir atteindre un barreau. Savoir grimper d’un barreau au suivant. la propriété Pn est vraie pour un entier n0.(initialisation) si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1 (hérédité)

Exemple 1 : On considère la suite (Un)n1 définie par la relation : U1 = 1 et aaau Un+1 = Un + 2n + 1 Si on calcule les premiers termes, on a U1=1, U2=4, U3=9, U4=16, U5=25… On peut donc conjecturer une formule générale : Un = n2 ,c’est-à-dire que l’on pense que la formule est vraie pour tout entier n 1

U1 = 1 et aaau Un+1 = Un + 2n + 1 On a conjecturé que Un = n2 pour tout entier n1, montrons le par récurrence, c’est-à-dire en utilisant la propriété de récurrence énoncée précédemment : Montrons que Initialisation : la propriété Pn est vraie pour l’entier n0 =1. Hérédité : si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1

U1 = 1 et aaaaau Un+1 = Un + 2n + 1 Initialisation : montrons que la propriété Pn est vraie pour l’entier n0 =1 : En effet, U1 = 1 et 12=1. Hérédité : montrons que si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1 : En effet, si on suppose que Un = n2 pour un entier n donné, alors puisque Un+1 = Un + 2n + 1, on a : Un+1 = n2 + 2n + 1 = (n+1) 2 Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier n  1

U2 = 0,5 et aaau Un+1 = (n/(n+1)) * Un Exemple 2 : On considère la suite (Un)n2 définie par la relation : U2 = 0,5 et aaau Un+1 = (n/(n+1)) * Un Si on calcule les premiers termes, on a U2=0,5=1/2, U3=1/3, U4=1/4, U5=1/5… On peut donc conjecturer une formule générale : Un = 1/n ,c’est-à-dire que l’on pense que la formule est vraie pour tout entier n  2

U2 = 0,5 et aaau Un+1 = (n/(n+1)) * Un On a conjecturé que Un = 1/n pour tout entier n  2, montrons le par récurrence, c’est-à-dire en utilisant la propriété de récurrence énoncée précédemment : Montrons que Initialisation : la propriété Pn est vraie pour l’entier n0 =2. Hérédité : si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1

U2 = 0,5 et aaau Un+1 = (n/(n+1)) * Un Initialisation : montrons que la propriété Pn est vraie pour l’entier n0 =2 : En effet, U2 = 0,5 et 1/2=0,5. Hérédité : montrons que si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1 : En effet, si on suppose que Un = 1/n pour un entier n donné, alors puisque Un+1 = (n/(n+1)) * Un, on a : Un+1 = (n/(n+1)) * 1/n = 1/(n+1) Conclusion : la propriété est vraie au rang 2 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier n  2

Exemple 3 : SUITE ARITHMETIQUE !!! On considère la suite (Un)n0 définie par la relation : U0 fixé et aaau Un+1 = Un + r Si on calcule les premiers termes, on a U1= U0+r, U2= U1+r= U0+2*r, U3= U2+r= U0+3*r … On peut donc conjecturer une formule générale : Un = U0+n*r ,c’est-à-dire que l’on pense que la formule est vraie pour tout entier n  0.

U0 fixé et aaau Un+1 = Un + r On a conjecturé que Un = U0+n*r pour tout entier n  0, montrons le par récurrence, c’est-à-dire en utilisant la propriété de récurrence énoncée précédemment : Montrons que Initialisation : la propriété Pn est vraie pour l’entier n0 =0. Hérédité : si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1

U0 fixé et aaau Un+1 = Un + r Initialisation : montrons que la propriété Pn est vraie pour l’entier n0 =0 : En effet, la valeur de U0 est donnée et U0+0*r = U0 . Hérédité : montrons que si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1 : En effet, si on suppose que Un = U0+n*r pour un entier n donné, alors puisque Un+1 = Un + r, on a Un+1 = (U0+n*r) +r = U0+(n+1)*r Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier n  0.

Exemple 4 : SUITE GEOMETRIQUE !!! On considère la suite (vn)n0 définie par la relation : v0 fixé et aaau vn+1 = vn *q Si on calcule les premiers termes, on a v1= v0*q, v2= v1*q= v0*q2, v3= v2*q = v0*q3 … On peut donc conjecturer une formule générale : vn = v0*qn ,c’est-à-dire que l’on pense que la formule est vraie pour tout entier n  0.

v0 fixé et aaau vn+1 = vn *q On a conjecturé que vn = v0*qn pour tout entier n  0, montrons le par récurrence, c’est-à-dire en utilisant la propriété de récurrence énoncée précédemment : Montrons que Initialisation : la propriété Pn est vraie pour l’entier n0 =0. Hérédité : si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1

v0 fixé et aaau vn+1 = vn *q Initialisation : montrons que la propriété Pn est vraie pour l’entier n0 =0 : En effet, la valeur de v0 est donnée et v0*q0 = v0*1 = v0. Hérédité : montrons que si la propriété est vraie à un certain rang n alors elle l'est également au rang suivant n+1 : En effet, si on suppose que vn= v0*qn pour un entier n donné, alors puisque vn+1 = vn *q, on a vn+1 = (v0*qn) *q= v0*qn+1 Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier n  0.