I- PROBLEME A RESOUDRE II- ETUDE THEORIQUE EQUILIBRAGE 1/31 EQUILIBRAGE des corps tournants I- PROBLEME A RESOUDRE II- ETUDE THEORIQUE L’exploitation et la conclusion de l’application du PFD sera vue en cours.

Equilibrage par ajout de masses I- PROBLEME A RESOUDRE 2/31 La rotation de solides autour d’un axe fixe génère souvent des vibrations entraînant : Détérioration rapide des paliers (chocs, fatigue) Bruit Gêne éventuelle pour l ’utilisateur volant de voiture Le but du mécanicien est donc de faire en sorte que ces corps tournants n’engendrent pas de vibrations. Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Problème des vibrations sur les roues de voiture 3/31 Problème des vibrations sur les roues de voiture Une roue de voiture non équilibrée (par ajout de deux petites masselottes) crée des vibrations importantes lors de sa rotation. Vibrations que l’on ressent au niveau du volant. Equilibreuse pour garagiste

Exemples de pièces où le problème des vibrations se pose… 4/31 Arbre d’alternateur Turbine Pelton Vilebrequin

Equilibrage par ajout de masses 5/31 II- ETUDE THEORIQUE Cette étude va se faire en deux temps : - calcul des efforts supportés par le palier S0 lors de la rotation du solide S autour de l’axe de rotation 1er temps Révisions du PFD. - recherche des moyens théoriques pour rendre constants ces efforts et éviter ainsi toute vibration. 2ème temps Sera vu pendant le cours. Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

6/31 1er temps PFD

Equilibrage par ajout de masses x0 y0 x y  z0 = z O G S S0 7/31 a) Hypothèses : On suppose connue la matrice d’inertie du solide S au point O : ( ) z , y x r lié à la pièce Ainsi que la position z . c x a OG r + = du centre de gravité : Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Equilibrage par ajout de masses 8/31 b) Calculs : solide S (celui qui tourne!) 1- Ensemble isolé : 2- Bilan des actions mécaniques extérieures (BAME) : pesanteur pivot moteur Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Utilisation de l’outil torseur pour obtenir six équations 9/31 3- Application du PFD : Pour le mouvement de S par rapport à S0 avec écriture des moments au point O point fixe pour S / S0 Utilisation de l’outil torseur pour obtenir six équations Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Mise en place des écrits en O 3 torseurs d’effort 10/31 Mise en place des écrits en O 3 torseurs d’effort

Torseur de l’action de la pesanteur x0 y0 x y  z0 = z O G S S0 z . c a OG r + = 11/31 Torseur de l’action de la pesanteur G S pes F ® G ; y g . m r - r Moment en O : R cos g m a c ú û ù ê ë é - q = ú û ù ê ë é - Ù R g m c sin . a cos q Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Torseur de l’action du bâti (pivot) x0 y0 x y  z0 = z O G S S0 12/31 Torseur de l’action du bâti (pivot) O S bâti F ® R , O M L ; Z Y X ï þ ý ü î í ì ú û ù ê ë é Vrai en tout point de l’axe de rotation O S bâti F ® Même forme dans R Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Torseur de l’action du moteur x0 y0 x y  z0 = z O G S S0 13/31 Torseur de l’action du moteur O S mot F ® R , O m z C ; r ou R O S mot F ® Vrai en tout point de l’axe de rotation Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Mise en place du écrit en O torseur dynamique 14/31 Mise en place du écrit en O torseur dynamique

Torseur dynamique en 0 de S / S0 x0 y0 x y  z0 = z O G S S0 15/31 Torseur dynamique en 0 de S / S0 Résultante dynamique : S / G d t V d x m ÷ ø ö ç è æ Î = Î S / G x m Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Trois méthodes possibles : Equilibrage par ajout de masses Calcul de la vitesse 16/31 Trois méthodes possibles : Utilisation des résultats du mouvement de rotation Changement de point Dérivation du vecteur position Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Utilisation des résultats du mouvement de rotation x0 y0 x y  z0 = z O G S S0 z . c a OG r + = 17/31 Utilisation des résultats du mouvement de rotation " . R V w = d’où avec les notations de l ’énoncé : y . a V S / G r & q = Î Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Equilibrage par ajout de masses x0 y0 x y  z0 = z O G S S0 18/31 Changement de point O en passant par Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Equilibrage par ajout de masses x0 y0 x y  z0 = z O G S S0 19/31 Calcul dans R (le plus simple!) : R . a ú û ù ê ë é q & Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Dérivation du vecteur position x0 y0 x y  20/31 Dérivation du vecteur position z . c x a + r S / dt OG d ÷ ø ö ç è æ S / G V = Î r R / dt z d . c x a ÷ ø ö ç è æ + r y . a r & q y r & q Rappel : Formule de Bour (ou de changement de base de dérivation). Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Equilibrage par ajout de masses D’où le calcul de l’accélération S / G Î x0 y0 x y  21/31 S dt y . a d ú û ù ê ë é r & q / = S / G Î Une seule méthode : dérivation du vecteur vitesse. . a y r S / dt d ÷ ø ö ç è æ + & q x . a y 2 r & q - Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

D’où la résultante dynamique : 22/31 = Î S / G . m Il est toujours temps (après!) de projeter dans une autre base Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Equilibrage par ajout de masses x0 y0 x y  z0 = z O G S S0 23/31 Moment dynamique : O est un point fixe du mouvement de S / S0 donc : S / O )] ( [ dt d s = ) S / ( O d avec ) S / ( x , O I ~ W = ) S / ( O s Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Equilibrage par ajout de masses 24/31 Rappel pour un point A quelconque : Formules générales Moment cinétique Moment dynamique Vitesse du point géométrique ! Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Calcul du moment cinétique Equilibrage par ajout de masses 25/31 Calcul du moment cinétique ) S / ( x , O I ~ W = ) S / ( O s Car O est un point fixe du mouvement. Bien vérifier que ce soient les mêmes bases ! Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

D’où le moment dynamique : Equilibrage par ajout de masses x0 y0 x y  26/31 S / O )] ( [ dt d s = ) S / ( O d Car O est un point fixe du mouvement. R / dt x d . E ÷ ø ö ç è æ - r & q r y & q x r & q - r R / dt y d . D ÷ ø ö ç è æ - & q r R / dt z d . C ÷ ø ö ç è æ + r & q Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Soit finalement : = ) S / ( d 27/31 = ) S / ( O d Il est toujours temps (après!) de projeter dans une autre base Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Synthèse des résultats 28/31 On prendrait la base mobile R on arriverait aux mêmes conclusions. 4- Résultats : Choisissons la base R0 pour déterminer les efforts au palier consécutifs de la rotation du rotor S. Torseur dynamique dans R Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Torseur dynamique dans R0 29/31 Torseur dynamique dans R0 x0 y0 x y  Résultante Moment Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Equilibrage par ajout de masses D’où les six équations suivantes : 30/31 pivot torseur dynamique poids moteur Problème posé Etude théorique Equilibrage par ajout de masses

Ce qu’il faut avoir retenu 31/31 Ce qu’il faut avoir retenu (minimum « vital »…) Savoir que la rotation d’une pièce peut engendrer (si on n’y fait pas attention) des vibrations d’où des usures rapides, du bruit et une gêne éventuelle. Savoir appliquer un PFD à une pièce en rotation avec son centre de gravité désaxé pour en déduire les efforts dynamiques transmis au palier par le biais de la liaison pivot.