Introduction au calcul quantique Frédéric Magniez CNRS - LRI Groupe quantique du LRI http://www.lri.fr/quantum

Vers la nanotechnologie Gordon Moore 1965 Taille des composants Nombre des composants Vitesse Limitation théorique atteinte en 2020 !!! Apparition de phénomènes quantiques... Empêcher ou utiliser les phénomènes quantiques ?

Le photon Caractéristiques : la direction, la longueur d’onde, la polarisation.

Filtre polarisant ? Sortie d’un filtre polarisant : Lumière polarisée selon la direction du filtre. Lumière orthogonale au filtre ne passe pas.

Jouons avec les photons 50% 100 % 50% Polarisation verticale : Photon jamais détecté. Polarisation horizontale : Photon toujours détecté. Polarisation diagonale : Photon détecté 1 fois sur 2 ! Polarisation diagonale = Mélange statistique ? Polarisation diagonale = superposition quantique ...

Superposition quantique Etat polarisation : superposition ) Filtre : mesure détecté Mesure non détécté L’observation perturbe le système

Evolution quantique Transformations qui préservent la superposition ? Condition nécessaire : isométrie Une isométrie : la lame demi-onde Symétrie orthogonale autour de son axe Transformations orthogonales : telle que Orthogonale Réversible

Le qubit Bit classique : élément déterministe Bit probabiliste : distribution probabiliste Bit quantique : superposition quantique

Evolution du qubit Mesure : Lire et Modifier Transformations unitaires : G Unitaire Réversible : * G

Un premier exemple Le problème Complexité en requêtes Entrée : Sortie : 0 ssi f est constante Contrainte : f est une boîte noire f(3) = ? f(3) = 1 Complexité en requêtes Déterministe : 1+N/2 requêtes Quantique : 1 requête

Solution quantique (N=2) Attention : n’est pas nécessairement réversible ! Implémentation de f Porte Hadamard : lame demi-onde à 22,5° H Circuit quantique H H Mesure ?

Analyse (N=2) Initialisation : Parallélisation : f constante H H H Mesure Mesure ? f non constante Initialisation : Parallélisation : Appel de la fonction : Interférences : Au final :

Systèmes à 2-qubit Définition : Transformations unitaires : Mesure

Le problème des cadenas Entrée : Sortie : Contrainte : f est une boîte noire Complexité en requêtes Probabiliste : (N) requêtes Quantique : ( N) requêtes

Remarques préliminaires Implémentation de f Double porte Hadamard H H H H

Solution quantique (N=4) H H H H H H Mesure Mesure ? H H H H H H Initialisation : Parallélisation : Appel de f : Interférences : Appel de : d Regroupement :

Analyse géométrique

Transformée de Fourier quantique H H H

Un peu de théorie Transformée de Fourier discrète Analogue quantique Toute fonction se décompose dans La base de Dirac : La base de Fourier : Analogue quantique Remarque : Implémentation efficace de QFT !

Le problème de Simon Le problème Complexité en requêtes Entrée : Sortie : s Contrainte : f est une boîte noire Complexité en requêtes Probabiliste : requêtes Quantique : O(n) requêtes Idée : utiliser QFT pour rechercher la période s.

Solution quantique Initialisation : Parallélisation : Mesure Mesure ? Initialisation : Parallélisation : Appel de la fonction : Interférences : Au final :

Retrouver la période Après n itérations : sont observés Avec probabilité (1) : sont de rang (n-1) Résoudre le système : Solutions : et !

Généralisation Groupe abélien G quelconque Il existe un circuit quantique polynomial en ln|G| qui trouve la période d’une fonction quelconque sur G. Calcul de l’ordre d’un élément Entrée : n,a  N Sortie : le plus petit entier q tq Factorisation Entrée : n  N Sortie : un diviseur non trivial de n Réduction : Factorisation Calcul de l’ordre Vérifier PGCD(a,n)=1 Calculer l’ordre q de a mod n Recommencer si q impair ou Sinon Renvoyer

Principales applications Cryptographie Protocole de distribution de clés secrêtes [Bennett, Brassard 84] Implémentation : ~ 100 km Information quantique Téléportation [B, B, Crépeau, Jozsa, Peres, Wooters 93] Réalisation [Bouwmeester, Pan, Mattle, Eibl, Weinfurter, Zeilinger 97] Algorithmique Factorisation, logarithme discret, ... [Shor 94] Recherche [Grover 96] Nb qubits ? 1995 : 2, 1998 : 3, 2000 : 5 [Chuang (IBM)] - 7 [Los Alamos]

A suivre... Problèmes ouverts Liens Stages, thèses problème des collisions isomorphisme de graphes classes de complexité quantique Liens http://www.lri.fr/quantum Stages, thèses http://www.lri.fr/algo/stages Classique Quantique Plusieurs collisions Unique collision