Notions de calcul quantique Frédéric Magniez CNRS - LRI http://www.lri.fr/~magniez/calcul-quantique.html

Vers la nanotechnologie Gordon Moore 1965 Taille des composants Nombre des composants Vitesse Apparition de phénomènes quantiques Limitation théorique atteinte en 2020 !!! Empêcher ou utiliser les phénomènes quantiques ?

Le photon Caractéristiques : la position, la longueur d’onde, la polarisation.

Filtre polarisant ? Sortie d’un filtre polarisant : Lumière polarisée selon la direction du filtre. Lumière orthogonale au filtre ne passe pas.

Jouons avec les photons 50% 100 % 50% Polarisation verticale : Photon jamais détecté. Polarisation horizontale : Photon toujours détecté. Polarisation diagonale : Photon détecté 1 fois sur 2 ! Polarisation diagonale = Mélange statistique ? Polarisation diagonale = superposition quantique ...

Superposition quantique Etat polarisation : superposition ) Filtre : mesure détecté Mesure non détécté L ’observation perturbe le système

Evolution quantique Condition nécessaire : isométrie Transformations qui préservent la superposition ? Condition nécessaire : isométrie Une isométrie : la lame quart d’onde Symétrie orthogonale autour de son axe Transformations orthogonales : telle que Orthogonale Réversible

Le qubit Bit classique : élément déterministe Bit probabiliste : distribution probabiliste Bit quantique : superposition quantique

Evolution du qubit Mesure : Lire et Modifier Transformations unitaires : G Unitaire Réversible : * G

Un premier exemple Le problème Complexité en requêtes Entrée : Sortie : 0 ssi f est constante Contrainte : f est une boîte noire f(0) = ? f(0) = 1 Complexité en requêtes Classique : 1+N/2 requêtes Quantique : 1 requête

Solution quantique (N=2) Attention : n’est pas nécessairement réversible ! Implémentation de f Porte Hadamard H Circuit quantique H H Mesure ?

Analyse (N=2) Initialisation : Parallélisation : f constante H H H Mesure Mesure ? f non constante Initialisation : Parallélisation : Appel de la fonction : Interférences : Au final :

Systèmes à 2-qubit Définition : Transformations unitaires : Mesure

Le problème des cadenas Entrée : Sortie : x tel que f(x)=1 Contrainte : f est une boîte noire Complexité en requêtes Classique : N requêtes Quantique : N requêtes

Remarques préliminaires Implémentation de f Double porte Hadamard H H H H

Solution quantique (N=4) H H H H H H Mesure Mesure ? H H H H H H Initialisation : Parallélisation : Appel de f : Interférences : Appel de : d Regroupement :

Principales applications Cryptographie Protocole de distribution de clés secrêtes [Bennett, Brassard 84] Implémentation : ~ 100 km Information quantique Téléportation [B, B, Crépeau, Jozsa, Peres, Wooters 93] Réalisation [Bouwmeester, Pan, Mattle, Eibl, Weinfurter, Weilinger 97] Algorithmique Factorisation, logarithme discret, ... [Shor 94] Recherche [Grover 96] Nb qubits ? 1995 : 2, 1998 : 3, 2000 : 5 [Chuang (IBM)] - 7 [Los Alamos]

Téléportation quantique Le problème Alice : qubit inconnu Bob : position éloignée et inconnue d’Alice. But : Transmettre à Bob Solution