1 Difficultés liées à larticulation de deux niveaux détude des mathématiques Maggy Schneider Université de Liège Activités du Centre de Didactique Supérieure 12 novembre 2007

2 Deux niveaux détude mathématique Premier niveau : on cherche à modéliser des objets non définis mathématiquement mais dont on a une certaine connaissance Premier niveau : on cherche à modéliser des objets non définis mathématiquement mais dont on a une certaine connaissance Deuxième niveau : on construit une organisation déductive des éléments du modèle ainsi construit Deuxième niveau : on construit une organisation déductive des éléments du modèle ainsi construit

3 Premier niveau détude : le travail de modélisation Il sagit, par exemple, de déterminer des aires curvilignes, des vitesses variables, des tangentes, par des techniques « conviviales » : calcul de limites, de dérivées, de primitives ou de construire des modèles fonctionnels qui rendent compte de la covariation de grandeurs Il sagit, par exemple, de déterminer des aires curvilignes, des vitesses variables, des tangentes, par des techniques « conviviales » : calcul de limites, de dérivées, de primitives ou de construire des modèles fonctionnels qui rendent compte de la covariation de grandeurs Et de justifier que ce calcul donne bien ce que lon cherche, au prix dune « validation » non canonique (validation pragmatique, intuitions géométriques ou cinématiques) Et de justifier que ce calcul donne bien ce que lon cherche, au prix dune « validation » non canonique (validation pragmatique, intuitions géométriques ou cinématiques)

4 Premier niveau détude : le travail de modélisation Questions délèves bien réelles, même si elles ne sont pas toujours exprimées : « Un calcul de limites peut-il donner la valeur exacte dune aire curviligne ou dune vitesse instantanée ? » « Qui nous prouve que laddition de vecteurs correspond bien à la coplanarité ? » Questions souvent évacuées par le professeur : « Déjà les bouquins sont faits comme ça et, euh, les questions plus délicates, ben je veux dire, le visuel cest quand même pour ça quon montre, euh, on essaie quand même de leur faire voir quelque chose pour quils nous laissent tranquilles entre guillemets, quoi. Quils voient que cest juste et quils nous posent pas de question plus précise, quoi. » (étudiant dagrégation)

5 Deuxième niveau détude : couler le modèle dans un moule euclidien Définir mathématiquement les objets initiaux par les techniques qui permettaient de les déterminer au stade précédent, ce qui rend nulles et non avenues les questions précédentes Définir mathématiquement les objets initiaux par les techniques qui permettaient de les déterminer au stade précédent, ce qui rend nulles et non avenues les questions précédentes Agencer les pièces du modèle en une organisation déductive où le mode de validation est exempt de toute considération étrangère au contexte dorigine Agencer les pièces du modèle en une organisation déductive où le mode de validation est exempt de toute considération étrangère au contexte dorigine

6 Deuxième niveau détude : couler le modèle dans un moule euclidien Ce 2 ème niveau se distingue du 1 er par des tâches et techniques dun autre ordre : conjecturer un ordre dagencement de théorèmes, démontrer lun deux au moyen des règles dinférence du calcul propositionnel, établir un lot daxiomes, réfuter une conjecture fausse par la technique de la recherche du lemme coupable, … Ce 2 ème niveau se distingue du 1 er par des tâches et techniques dun autre ordre : conjecturer un ordre dagencement de théorèmes, démontrer lun deux au moyen des règles dinférence du calcul propositionnel, établir un lot daxiomes, réfuter une conjecture fausse par la technique de la recherche du lemme coupable, … Pose des questions épistémologiques : nature des concepts scientifiques, falsifiabilité des théories, problème méthodologique de la simplicité, refus du mélange des genres, … Pose des questions épistémologiques : nature des concepts scientifiques, falsifiabilité des théories, problème méthodologique de la simplicité, refus du mélange des genres, …

7 Deux niveaux de rationalité Ces deux niveaux détude peuvent être identifiés comme deux niveaux de rationalité complémentaires (E. Rouy) Ces deux niveaux détude peuvent être identifiés comme deux niveaux de rationalité complémentaires (E. Rouy) Labsence didentification du premier niveau empêche la visibilité et la viabilité des deux et se solde souvent par, dune part, un repli sur le procédural au niveau du secondaire et, dautre part, une « copie » du discours théorique universitaire dont on a retiré les endroits les plus délicats (E. Rouy) Labsence didentification du premier niveau empêche la visibilité et la viabilité des deux et se solde souvent par, dune part, un repli sur le procédural au niveau du secondaire et, dautre part, une « copie » du discours théorique universitaire dont on a retiré les endroits les plus délicats (E. Rouy) Quen est-il du 2 ème niveau ? Quen est-il du 2 ème niveau ? Le « partage » des deux niveaux entre le secondaire et luniversité est à penser différemment dun domaine mathématique à lautre Le « partage » des deux niveaux entre le secondaire et luniversité est à penser différemment dun domaine mathématique à lautre

8 Quel partage des rôles entre secondaire et université ? « Je crois que tout simplement dans le secondaire jai vu la limite et la dérivée comme des techniques. Je savais très bien dériver, je ne me trompais pas mais la signification profonde de la dérivée, je ne lavais pas perçue. Je pense que la maturité de lélève est telle que cest une notion sur laquelle il faut revenir après. Je ne vois pas de problème à dire : on a donné la définition, on a surtout insisté sur la technique de calcul parce que cest à la portée des élèves à cet âge-là et puis en premier bac, on revient sur la notion en disant : attention, voilà ce quil y a en plus. Même en bio, je reviens dessus en disant : cest un taux de variation instantané particulier. Et ça, dans le secondaire, on ne la pas vu mais il ne fallait peut-être pas le voir. Cest à nous à le faire » (professeur 1er BAC)

9 Quel partage des rôles entre secondaire et université ? « Je pense que, dans le secondaire, les élèves nont aucun intérêt, aucun désir de maîtriser les dérivées » (professeur duniversité) « Je pense que, dans le secondaire, les élèves nont aucun intérêt, aucun désir de maîtriser les dérivées » (professeur duniversité) « Les élèves qui arrivent du secondaire ne réfléchissent pas : ils appliquent des procédures » (professeur duniversité) « Les élèves qui arrivent du secondaire ne réfléchissent pas : ils appliquent des procédures » (professeur duniversité) « On nous dit quil faut évaluer selon trois compétences : connaître, appliquer et résoudre des problèmes. Mais, il vaut mieux mettre le maximum de points pour la deuxième rubrique si lon veut ne pas avoir trop déchecs » (professeur du secondaire) « On nous dit quil faut évaluer selon trois compétences : connaître, appliquer et résoudre des problèmes. Mais, il vaut mieux mettre le maximum de points pour la deuxième rubrique si lon veut ne pas avoir trop déchecs » (professeur du secondaire) « Tout ce quon nous demande, cest de préparer les élèves à bien calculer pour la suite » (professeur du secondaire) « Tout ce quon nous demande, cest de préparer les élèves à bien calculer pour la suite » (professeur du secondaire)

10 Quel partage entre futurs mathématiciens et futurs « utilisateurs » de mathématiques ? Exemple : étude des limites proposée par J. Stewart dans le cadre dun cours de « mathématiques générales » : Un aperçu du calcul différentiel et intégral Un aperçu du calcul différentiel et intégral Le problème de laire Le problème de laire Le problème de la tangente Le problème de la tangente La vitesse La vitesse La limite dune suite (paradoxe de Zénon) La limite dune suite (paradoxe de Zénon) La somme dune série La somme dune série Les limites et dérivées Les limites et dérivées Les problèmes de tangente et de vitesse Les problèmes de tangente et de vitesse La limite dune fonction La limite dune fonction

11 Quel partage entre futurs mathématiciens et futurs « utilisateurs » de mathématiques ? Faut-il dépasser le 1er niveau détude avec de futurs « utilisateurs » de mathématiques ? Faut-il dépasser le 1er niveau détude avec de futurs « utilisateurs » de mathématiques ? Avec lesquels et en quelles circonstances ? Avec lesquels et en quelles circonstances ?