Document 1.3.1 FG: Parfois on lit 1er cycle comme ici et dans d ’autres fichiers, on trouve premier cycle au long. Par souci d ’uniformité, il serait intéressant de choisir une façon de l ’écrire. Voir p. ex. à la page 9. Session de formation sur le Programme de formation de l’école québécoise du 1er cycle Mathématique Note : Les pages de la section « commentaires » de ce diaporama n’ont pas été révisées linguistiquement. Printemps 2006

Objectifs de la session Document 1.3.1 Objectifs de la session FG: Suggestion : écrire objectifs plutôt que buts puisqu’il y en a plusieurs. Enrichir sa compréhension du Programme de formation (PDF) et du Contenu de formation Dégager une vision commune de l’évaluation, des attentes de fin de cycle et des aspects observables du développement des compétences par l’analyse de situations d’évaluation, de productions d’élèves et d’exemples d’indicateurs de progression des apprentissages

Déroulement de la session Document 1.3.1 Déroulement de la session Jour 1 Jour 2 L’acte d’évaluer Appropriation d’un processus visant à situer les apprentissages Analyse de productions d’élèves à l’aide d’indicateurs de progression Éléments du PDF Analyse du Contenu de formation et de situations d’évaluation Compétences, situations d’apprentissage et d’évaluation

Ordre du jour Jours 1 et 2 Jour 1 Jour 2 Document 1.3.1 Ordre du jour Jours 1 et 2 Jour 1 Échange sur les réalités du milieu Regards sur le Programme de formation de l’école québécoise, sur le Contenu de formation et sur la continuité primaire-secondaire Réflexion sur l’acte d ’évaluer Analyse de situations d’évaluation Jour 2 Réflexion sur l’acte d’évaluer (suite) Appropriation d’un processus visant à situer les apprentissages à l’aide d’exemples d’indicateurs de progression et de productions d’élèves Planification des animations futures Évaluation de la session Ici, dans l’analyse de situations d’évaluation et des productions d’élèves, l’évaluation est en reconnaissance de compétences.

Document 1.3.1 Présentation du Programme de formation

Structure du Programme de formation Document 1.3.1 Structure du Programme de formation Instruire Qualifier Socialiser Domaines d'apprentissage Compétences transversales Domaines généraux de formation ÉLÈVE - Vision du monde - Identité - Pouvoir d'action Brève présentation du PDF Programme centré sur l’élève et l’apprentissage Le programme de mathématique fait partie et contribue à la réalisation du Programme de formation Trois missions de l’école : Instruire, dans un monde de savoir – Socialiser, dans un monde pluraliste – Qualifier, dans un monde en changement Quatre traits distinctifs du programme du formation Il vise le développement de compétences Il intègre l’ensemble des matières dans un tout harmonisé, axé sur les grandes problématiques de la vie contemporaine Il rend explicite la poursuite d’apprentissages transversaux, qui échappent aux frontières disciplinaires Il offre, aux enseignants, une large place pour des choix individuels et collectifs, faisant ainsi appel à leur expertise professionnelle Visée du Programme de formation : Construire une vision du monde – Structurer l’identité – Développer un pouvoir d’action Domaines généraux de formation : grandes problématiques de la vie contemporaine Santé et bien-être, Orientation et entrepreneuriat, Environnement et consommation, Médias, Vivre-ensemble et citoyenneté toiles de fond pour l ’élaboration de situations d’apprentissage permettent à l’élève d’établir des liens entre ses apprentissages scolaires et sa vie quotidienne permettent à l’enseignant de structurer ses interventions Axes de développement : canevas pour les situations d’apprentissage Compétences transversales : compétences déployées dans l’ensemble des disciplines. Elles ont une portée plus large que les compétences disciplinaires et elles permettent à l’élève de s’adapter à des situations variées et de poursuivre ses apprentissages sa vie durant. Ordre intellectuel : exploiter l’information, résoudre des problèmes, exercer son jugement critique, mettre en œuvre sa pensée créatrice Ordre méthodologique : se donner des méthodes de travail efficaces, exploiter les TIC Ordre personnel et social : actualiser son potentiel, coopérer Ordre de la communication : communiquer de façon appropriée Domaines d’apprentissage : regroupement des disciplines en 5 domaines

Document 1.3.1 Vue d’ensemble des parcours de formation du 2e cycle du secondaire et de leurs voies de sortie 1er cycle du secondaire 2e cycle du secondaire Parcours de formation axé sur l’emploi Métier Métier non spécialisé semi-spécialisé Parcours de formation générale Itinéraire Itinéraire appliqué régulier Formation professionnelle Formation Professionnelle DEP de base Primaire : 3 cycles de 2 ans Secondaire : 1er cycle : 2 ans 2e cycle : 3 ans (avec des balises annuelles pour répondre aux exigences de la sanction des études) À l’enseignement secondaire, un parcours de formation axé sur l’emploi est institué pour les élèves d’au moins 15 ans qui auraient accumulé un retard important au 1er cycle de l ’enseignement secondaire. Ce nouveau parcours remplace l’actuel cheminement particulier de formation visant l’insertion sociale et professionnelle (ISPJ) et les programmes menant à l’attestation de formation professionnelle (AFP). Il comprend deux formations distinctes : la formation menant à l’exercice d’un métier non spécialisé et la formation menant à une formation d’un métier semi-spécialisé. Au deuxième cycle de l’enseignement secondaire, des modifications afin de permettre la mise sur pied de deux itinéraires de formation générale : l’itinéraire régulier et l’itinéraire appliqué. L’élève pourra choisir l’un ou l’autre de ces (formations) itinéraires, le deuxième étant davantage axée sur la formation pratique ou appliquée. Ce qui distingue ces deux (parcours) itinéraires du parcours régulier : Matières obligatoires: (1re et 2e années du cycle) science et technologie dans l’itinéraire régulier et applications technologiques et scientifiques dans l’itinéraire appliqué. Projet personnel d’orientation dans la 1re année du cycle de l’itinéraire appliqué. Histoire et éducation à la citoyenneté sur les deux premières années du cycle dans l’itinéraire régulier et sur les deux dernières années dans l’itinéraire appliqué Options: L’itinéraire appliqué offre de plus en option: Exploration de la formation professionnelle (1re et 2e années du cycle); Projet personnel d’orientation (la 2e année) et Sensibilisation à l’entrepreneuriat (2e et 3e années) Formation collégiale Formation universitaire Marché du travail

La mathématique au secondaire Document 1.3.1 La mathématique au secondaire Parcours de formation générale (Itinéraire appliqué ou régulier) Premier cycle Deuxième cycle Culture, société et technique Deuxième année Troisième année 100 h 100 h Technico-sciences Première année Deuxième année Première année Deuxième année Troisième année 150 h 150 h 150 h 150 h 150 h Le programme de mathématique … est conçu pour un cycle de 2 ans au 1er cycle et pour un cycle de 3 ans au 2e cycle est en continuité avec celui du primaire est axé sur le développement de compétences place l’élève au centre de ses apprentissages permet d’élaborer des situations d’apprentissage signifiantes en mettant à profit l’omniprésence de la mathématique dans la vie quotidienne contribue au développement d’une solide culture mathématique offre des cheminements diversifiés après la 1re année du 2e cycle Sciences naturelles Deuxième année Troisième année 150 h 150 h 2005 2006 2007 2008 2009

Programme de mathématique du premier cycle du secondaire Document 1.3.1 Programme de mathématique du premier cycle du secondaire

Structure du programme de mathématique Document 1.3.1 Structure du programme de mathématique Présentation de la discipline Relations entre la discipline et les autres éléments du Programme Contexte pédagogique Compétences Sens de la compétence Composantes Critères d’évaluation Attentes de fin de cycle Contenu de formation Concepts et processus Éléments de méthode Repères culturels Présentation Contribution particulière de la mathématique à la formation de l’élève Conception de la mathématique, de son apprentissage et de son enseignement Éléments de continuité et les différences avec le programme antérieur Présentation des compétences Relations entre la mathématique et les autres éléments du Programme de formation Liens avec les compétences transversales, les domaines généraux de formation et les autres domaines disciplinaires (schéma sur des liens interdisciplinaires) Contexte pédagogique Situations dans lesquelles l’élève est placé pour développer et exercer sa compétence et pour réaliser les apprentissages qui s’y rattachent (un exemple est présenté) Ressources humaines et matérielles mises à la disposition de l’élève Précisions relatives à l’évaluation Compétences Sens Principaux éléments constitutifs : Quoi ? Pourquoi ? Liens entre la compétence et ses composantes Liens avec les contenus de formation Composantes Démarches jugées essentielles au développement et à l’exercice de la compétence Critères d’évaluation Aspects observables relatifs aux caractéristiques essentielles d’une compétence qui permettent de porter un jugement sur son développement, et ce, en cours ou en fin de cycle Attentes de fin de cycle Portrait de ce qu’un élève compétent peut faire à la fin du cycle, en faisant ressortir les éléments essentiels, globaux et significatifs Contenu de formation Répertoire de ressources indispensables au développement et à l’exercice de la compétence. Cela n’exclut pas que l’élève puisse faire appel à d’autres ressources. Néanmoins, la maîtrise de ces contenus s’avère essentielle au développement et à l’exercice de la compétence. Schéma présentant des liens intradisciplinaires Éléments de méthode Approches méthodologiques reliées à la mathématique Repères culturels Ressources de l’environnement social et culturel pouvant contribuer au développement de la compétence

Éléments de la présentation Document 1.3.1 Éléments de la présentation Contexte pédagogique Compétences mathématiques Contenu de formation

Document 1.3.1 Contexte pédagogique

(EX)5 Cycle d’enseignement EXamen EXposé EXplications EXemples Document 1.3.1 Cycle d’enseignement EXamen EXposé (EX)5 EXplications Note : Ce schéma se veut un clin d’œil (ou une caricature) de ce que l’on a tendance à faire souvent en classe. L’intention est de faire prendre conscience qu’il serait intéressant et profitable de varier nos pratiques pour permettre à l’élève de développer et d’exercer ses compétences. Illustration de l’acte d’enseignement La mathématique permet de modéliser différentes situations. Voici une règle qui résumerait l’acte d’enseignement. L’enseignant EXpose le concept à apprendre, il l’illustre à l’aide d’EXemples. Il donne des EXercices à faire. Par la suite, il EXplique ceux qui n’ont pas été bien réussi ou compris. Il conclut le tout par un EXamen. L’acte d’apprendre… Le changement de paradigme amène l’école à se centrer davantage sur l’apprentissage, à revoir les façons de faire pour rejoindre davantage les différents styles et rythmes d’apprentissage des élèves. Ce changement amène l’enseignant à se centrer sur plusieurs préoccupations dans sa gestion de l’apprentissage. Il recourt à des pratiques pédagogiques variées, à des stratégies cognitives et métacognitives pour répondre à ses préoccupations. EXemples EXercices

Contexte pédagogique Diverses ressources Document 1.3.1 Contexte pédagogique Situations d’apprentissage qui ... font appel à la participation active de l’élève (différenciation) contribuent au développement des compétences (situations de communication, d'application et problème) Plusieurs facteurs influent sur la qualité des apprentissages et tendent à faire de la classe de mathématique un lieu qui encourage chaque élève à s’engager activement dans ses apprentissages, à mettre à profit sa curiosité, sa créativité, ses habiletés intellectuelles, sa dextérité et son autonomie. Ce lieu doit favoriser le développement de compétences disciplinaires, dans le respect des différences individuelles, et contribuer à la formation d’individus engagés et compétents, capables d’exercer leur jugement critique dans divers contextes. Ressources diversifiées : nul ne peut nier l’importance de la manipulation dans la construction des concepts mathématiques. Le recours à du matériel peut favoriser ou faciliter une exploration, inspirer une conjecture ou une intuition. Place des TIC? (calculatrice à affichage graphique, tableur-grapheur, didacticiel, logiciels-outils dont les logiciels de géométrie dynamique) La technologie influe sur la mathématique et sur son utilisation mais elle ne saurait se substituer aux activités intellectuelles. D’une grande utilité, elle permet notamment à l’élève de faire des apprentissages en explorant des situations plus complexes, de manipuler un grand nombre de données, d’employer une diversité de registres de représentation, d’effectuer des simulations ou des calculs qui autrement seraient fastidieux. (Autre extrait du programme de mathématique : Le recours à la technologie – qui est devenu incontournable dans le quotidien de tout citoyen – y est considéré comme une aide précieuse dans le traitement de situations diverses. En permettant l’exploration, la simulation et la représentation de situations plus nombreuses, plus complexes et plus diversifiées, la technologie favorise autant l’émergence que la compréhension de concepts et de processus mathématiques. Elle augmente l’efficacité de l’élève dans les tâches qui lui sont proposées.) Différentes activités de manipulation d’exploration de construction de simulation ludiques projets activités interdisciplinaires Diverses ressources matériel de manipulation, divers outils et utilisation de la technologie

Des situations pour chaque compétence et pour différentes intentions Document 1.3.1 Des situations pour chaque compétence et pour différentes intentions Situations d’apprentissage et d’évaluation Situation-problème Situation de communication Situation d’application Reconnaissance de compétences Aide à l’apprentissage Situation d’apprentissage Situation d’évaluation Situation d’apprentissage ¤ ¤ / Situation d’évaluation Aide à l’apprentissage : accompagnement nécessaire à la construction des concepts et des processus Partie intégrante de la démarche d’enseignement et d’apprentissage, l’évaluation peut être planifiée au moment de la préparation de la situation d’apprentissage. Utilisée en cours d’apprentissage, elle fournit à l’enseignant et à l’élève les informations utiles pour ajuster démarche, stratégies et interventions. Utilisée au terme d’une période d’apprentissage donnée, elle permet de déterminer le niveau de développement de la compétence atteint par l’élève afin de planifier une prochaine séquence d’apprentissage. Les situations de communication proposées exigent que l’élève, oralement ou par écrit, puisse mobiliser des concepts et des processus ainsi que divers registres de représentation sémiotique. Les éléments du langage mathématique utilisés ainsi que les habiletés à communiquer peuvent être analysés autant dans des situations où l’élève doit interpréter, présenter ou représenter, informer, justifier ou convaincre. Des situations de communication telles que les exposés, les discussions, les débats, la rédaction d’un journal de bord, d’un rapport de recherche, d’une explication, d’un algorithme, etc. sont propices au développement des compétences visées par le programme. Les situations d’application consiste à mobiliser des concepts et des processus afin de se les approprier et de les approfondir. Elles permettent à l’élève de construire, d’exploiter ses réseaux de concepts et de processus, ses diverses habiletés mathématiques et de structurer sa pensée. Elles sont généralement réalisées en cours ou en fin d’apprentissage. Elles exigent que l’élève puisse expliciter un raisonnement en se prononçant sur une conjecture émise ou non par lui. Elles requièrent le recours à une combinaison de concepts et de processus. Elles sont complexes si elles font appel à plusieurs réseaux de concepts et de processus. Les situations-problèmes proposées se caractérisent par la nouveauté, pour l’élève, de la tâche à réaliser, de la façon de la traiter ou du résultat à obtenir. Elles exigent la mobilisation de concepts et de processus dont la combinaison n’a pas été apprise antérieurement. La complexité d’une situation-problème peut se caractériser par l’étendue des savoirs, le niveau d’abstraction, la difficulté des modélisations à réaliser et les divers liens entre les champs de la mathématique. Les concepts de situation-problème et d’application sont bien relatifs car une même situation peut être problématique pour certains élèves et d’autres non. Ou, en début d’apprentissage, une situation peut être dite problème mais cette même situation présentée en cours ou à la fin d’une séquence d’apprentissage sera probablement pour l’élève une situation d’application. Reconnaissance de compétence : concepts et processus sont déjà appris. L’aide apportée est considérée dans le jugement. Les compétences du programme de mathématique se développent en synergie. Aussi peut-on en observer le déploiement dans une même situation d’apprentissage. Cependant, lorsque vient le moment de juger du développement de chacune des compétences, notamment pour l’établissement d’un bilan en cours ou en fin de cycle, il est avantageux de placer l’élève dans des situations spécifiques. Comparativement à la situation-problème, la situation d’application aux fins de reconnaissance de compétences nécessite la mobilisation d’une combinaison déjà apprise de concepts et de processus. Construction des concepts et des processus Concepts et processus déjà appris

Portrait d’une situation d’apprentissage Document 1.3.1 Portrait d’une situation d’apprentissage d’ordre méthodologique Différenciation Transfert Types de situations d’apprentissage Approches pédagogiques Moyens d’évaluation Compétences transversales d’ordre intellectuel d’ordre personnel Interpréter le réel Situation d’apprentissage Description Consignes de l’ordre de la communication Généraliser Anticiper Domaines d’apprentissage Domaines généraux de formation Prendre des décisions FG: Probabilités ou Probabilité? Une situation d’apprentissage, au 1er comme au 2e cycle, mobilise un ensemble d’éléments du Programme de formation. Les situations d’apprentissage et d’évaluation peuvent être réalisées individuellement ou en coopération, en classe ou à l’extérieur de l’école, et ce, en fonction des approches pédagogiques utilisées et des objectifs de développement personnel visés tels que l’autonomie, la coopération et l’exploitation de méthodes de travail efficaces. Leur objet renvoie à des situations pratiques plus ou moins familières, réelles ou fictives, réalistes ou fantaisistes, ou encore purement mathématiques. Contexte est réel s’il se produit dans la réalité Contexte est réaliste s’il est susceptible de se produire réellement (simulation de la réalité ou d’une partie de la réalité) Contexte est fantaisiste ou fictif s’il est le fruit de l’imagination et qu’il est sans fondement dans la réalité Contexte est purement mathématique s’il fait exclusivement référence à des objets mathématiques Ces situations peuvent s’inspirer des domaines généraux de formation, des repères culturels, des éléments du contenu de formation, d’un événement survenu en classe, dans l’école ou dans la société, etc. Suivant les objectifs poursuivis, les situations comportent des données complètes, superflues, implicites ou manquantes. Elles peuvent conduire à un ou plusieurs résultats ou, au contraire, ne mener nulle part. Résoudre une situation-problème Communiquer à l’aide du langage mathématique Compétences mathématiques Déployer un raisonnement Contenu de formation Ressources humaines et matérielles Arithmétique Algèbre Statistique Géométrie Probabilités Concepts & processus

Situation structurée ou structurante? Document 1.3.1 Situation structurée ou structurante?

Figures géométriques et sens spatial Document 1.3.1 Figures géométriques et sens spatial Sur un parchemin, avec la carte de l’île Hammer, on a trouvé ce texte : « Le trésor est enterré à la même distance de l’arbre A et de la tour T. Il est à 350 m de l’arbre et à moins de 400 m du puits P. » Saurais-tu situer ce trésor? Situation structurée… L’élève doit prendre en compte les différents éléments de la situation, tenir compte de l’échelle, faire appel à ces concepts et processus géométriques. Il doit alors structurer sa pensée pour déterminer l’emplacement du trésor. Source : Académie de Rennes, EDAP 22, 1998-1999, Problèmes de construction, p. 10

Figures géométriques et sens spatial Document 1.3.1 Figures géométriques et sens spatial Sur un parchemin, avec la carte de l’île Hammer, on a trouvé ce texte : « Le trésor est enterré à la même distance de l’arbre A et de la tour T. Il est à 350 m de l’arbre et à moins de 400 m du puits P. » a) Trace le segment reliant A et T. b) Comment se nomme la droite dont les points sont situés à égale distance des extrémités du segment AT? c) Trace cette droite. d) À l’aide de l’échelle donnée, situe l’emplacement du trésor sur cette droite. e) Cet emplacement est-il à 350 m du point A et à moins de 400 m du point D? f) Y aurait-il un autre emplacement possible pour le trésor? La même situation de façon plus structurante… L’élève a-t-il une place pour émettre des conjectures et tenir compte des éléments de la situation de façon autonome ?

Document 1.3.1 Compétences mathématiques

Compétences mathématiques Document 1.3.1 Compétences mathématiques Une compétence est un savoir-agir fondé sur la mobilisation et l’utilisation efficaces d’un ensemble de ressources Métacognition Savoir et savoir-faire Savoir-être Compétence Pouvoir Vouloir Cognition Transfert Motivation Compétence Une compétence telle que définit dans le Programme de formation est un savoir-agir fondé sur la mobilisation l ’utilisation efficace d ’un ensemble de ressource. Elle comporte trois dimensions : cognitive - métacognitive - motivationnelle Elle fait appel à divers savoirs : savoir et savoir-faire - savoir-agir - savoir-être Un individu compétent est en mesure de savoir agir (et de « transférer » ses connaissances dans d’autres situations), de vouloir agir et de pouvoir agir. Les compétences mathématiques Ce sont les mêmes compétences qu’au premier cycle. Les trois compétences sont interdépendantes et se développent en synergie. Bien que ces compétences soient concrètement réunies dans la pensée mathématique, elles se distinguent en ce sens qu’elles en ciblent différents aspects. Cette distinction devrait faciliter la structuration de l’intervention pédagogique, sans toutefois entraîner un traitement cloisonné des éléments propres à chacune des compétences. Parallèle avec objectifs globaux et les principes directeurs des 068 : Objectifs globaux : Communiquer Établir des liens Raisonner Résoudre des problèmes Savoir-agir Résoudre une situation-problème Déployer un raisonnement mathématique Communiquer à l’aide du langage mathématique Principes directeurs : Favoriser la participation active de l’élève à son apprentissage Favoriser le processus de résolution de problèmes à toutes les étapes de l’apprentissage Favoriser l’utilisation de la technologie dans l’exécution d’une tâche

Résoudre une situation-problème : composantes Document 1.3.1 Résoudre une situation-problème : composantes Résoudre une situation-problème Décoder les éléments qui se prêtent à un traitement mathématique Représenter la situation-problème par un modèle mathématique Élaborer une solution mathématique Valider la solution Partager l’information relative à la solution Les composantes décrivent les aspects essentiels de la compétence. Elles permettent de se donner une représentation concrète et de saisir les principaux éléments en jeu dans l’exercice de la compétence. Elles se mobilisent en synergie et non pas de façon linéaire ou cyclique. Résoudre une situation-problème, … C’est adopter une démarche heuristique ou « de découverte » pour solutionner une interrogation donnée. Pour l’élève, ce qui caractérise la résolution d’une situation-problème c’est la nouveauté de la tâche à réaliser, la façon de la traiter ou le résultat à obtenir. (C’est la nature du défi proposé qui peut (qualifier) provoquer l’engagement de l’élève.) La résolution d’une situation-problème implique du discernement, une recherche et la mise en place de stratégies mobilisant des savoirs Il s’agit d’un processus dynamique comprenant l’anticipation, le retour en arrière et le jugement critique Dans ce programme, la résolution d’une situation-problème est traitée sous deux aspects : processus et modalité pédagogique processus : compétence à développer et à exercer modalité pédagogique : approche par problèmes favorise un riche éventail d’apprentissages, sollicite des habiletés intellectuelles et développe des stratégies.

Processus de résolution d'une situation-problème Document 1.3.1 Appropriation Investigation Distanciation Discrimination Gestion des ressources Exemplification Processus de résolution d'une situation-problème Contrôle et régulation Planification Illustration du processus de résolution d’une situation-problème Le processus de résolution de problème suppose une phase d’appropriation de la situation-problème où l’élève se questionne sur ce qu’il sait, ce qu’on veut, quels éléments il peut introduire. Il cerne notamment les éléments pertinents, les données manquantes, les ressources nécessaires et la tâche à réaliser. Il discrimine, il exemplifie, il planifie. L’élève est aussi en phase d’investigation ou de recherche en se questionnant, en activant et en mobilisant ses différents savoirs : stratégies, concepts et processus mathématiques. Il décode l’information, émet des conjectures, choisit le modèle mathématique, cherche des pistes de solution, élabore une solution et généralise. Il organise et gère différentes ressources. Ce processus suppose aussi une phase de distanciation où l’élève prend du recul. Il se questionne sur la pertinence des éléments de sa démarche, fait des retours en arrière. Il la contrôle et la régule. Il vérifie, réfléchit sur ses actions et sur des prolongements possibles. Ces 3 phases de cette démarche heuristique (de découverte) sont interdépendantes et présentes tout au long de ce processus et font appel à différentes stratégies affectives, cognitives, métacognitives et de gestion des ressources. Organisation Généralisation

Déployer un raisonnement mathématique : composantes Document 1.3.1 Déployer un raisonnement mathématique : composantes Former et appliquer des réseaux de concepts et de processus mathématiques Déployer un raisonnement mathématique Établir des conjectures Réaliser des preuves ou des démonstrations Cette compétence est essentielle à la réalisation de toute activité mathématique Elle consiste à formuler des conjectures, à critiquer, à justifier ou à infirmer une proposition en faisant appel à un ensemble organisé de savoirs mathématiques Processus dynamique faisant appel à des aller-retours Raisonner en mathématique implique beaucoup plus que des processus de mise en forme, que la présentation orale ou écrite d’un résultat.

******************************************************************** Document 1.3.1 Conjecture Raisonnement par disjonction des cas Raisonnement par analogie Preuve pragmatique Preuve intellectuelle Raisonnement inductif Raisonnement déductif Validation Illustration du processus de déploiement du raisonnement mathématique Raisonner en mathématique implique beaucoup plus que des processus de mise en forme, que la présentation orale ou écrite d’un résultat. L’élève cherche à répondre à des questions telles que « est-ce vrai ? » ou « pourquoi est-ce vrai ? » . L’analyse et le traitement de situations de toute nature l’amène à conjecturer, c’est-à-dire à présumer de la vérité d’une affirmation et à chercher à la valider par l’élaboration d’une argumentation ou d’une preuve. Pour l’émettre, il fait appel à différents types de raisonnements tels le raisonnement analogique ou inductif. Il cherche à la valider en mobilisant des raisonnements généraux tels les raisonnements déductifs, analogique, inductif, par l’absurde ou par disjonction de cas, et des raisonnements propres aux champs mathématiques. L’élève qui déploie un raisonnement mathématique structure sa pensée en intégrant un ensemble de savoirs et leurs interrelations. Il exploite alors ses réseaux de concepts et de processus. Cette validation est réalisée à l’aide d’une preuve directe ou indirecte, pragmatique ou intellectuelle. La conclusion tirée à l’aide de la preuve ou de la réfutation à l’aide d ’un contre-exemple permet à l’élève de construire et d’enrichir ses réseaux de concepts et de processus et d’émettre de nouvelles conjectures. Il développe ainsi son aptitude à se convaincre et à convaincre les autres. ******************************************************************** Les principaux types de raisonnement exploités sont l’analogie, l’induction et la déduction. Les raisonnements par disjonction de cas ou par contradiction ainsi que la réfutation à l’aide d’un contre-exemple sont également déployés dans plusieurs types de situations. Analogique : élève est amené à percevoir des similitudes entre divers objets mathématiques Inductif : élève est amené à dégager des règles ou des lois à parti d’observations Déductif : élève est amené à dégager une conclusion à partir d’énoncés déjà admis Note Il ne s’agit pas de demander à l ’élève d ’effectuer des tâches en imposant tel ou tel raisonnement spécifique, mais bien de lui présenter des situations dans lesquelles il pourra déployer ces différents raisonnements Preuve directe Preuve indirecte Raisonnement par l’absurde Raisonnement à l’aide d’un contre-exemple Eurêka! Conclusion

Communiquer à l’aide du langage mathématique : composantes Document 1.3.1 Communiquer à l’aide du langage mathématique : composantes Communiquer à l’aide du langage mathématique Analyser une situation de communication à caractère mathématique Produire un message à caractère mathématique Interpréter ou transmettre des messages à caractère mathématique Communiquer à l ’aide du langage mathématique est un processus dynamique faisant appel à des aller-retours. C’est aussi interpréter, produire et transmettre des messages en combinant le langage courant et des éléments spécifiques du langage mathématique : termes, symboles et notations. Cette compétence amène l’élève à clarifier sa pensée et lui offre l’occasion d’apprendre des concepts et des processus ou encore de renforcer ses apprentissages Elle suppose l’appropriation et la coordination des éléments du langage mathématique qui englobe différents registres (linguistique, symbolique, graphique, tabulaire et figural) Le langage étant le véhicule de la pensée, la compétence Communiquer à l’aide du langage mathématique est essentielle à la compréhension et à la conceptualisation des objets mathématiques. Cette compétence est donc indispensable au développement et à l’exercice des deux autres compétences. Trois objectifs sont poursuivis : s’approprier et consolider des éléments du langage mathématique interpréter un message ou le produire pour expliquer une démarche ou un raisonnement; et respecter certaines des exigences de la communication. Ainsi, l’élève devra savoir établir un plan de communication, tenir compte de l’interlocuteur dans le choix des outils mathématiques, choisir un discours ou une forme de rédaction selon l’intention de communication (informer, justifier ou prouver) et s’ouvrir à différents points de vue.

Coordination des éléments du langage mathématique Document 1.3.1 Coordination des éléments du langage mathématique FG: Probabilités ou Probabilité? Algèbre Probabilités et statistique Registres : verbal algébrique : équations, relations graphique tabulaire : tables de valeurs affichant une correspondance entre deux quantités Registres : verbal numérique et algébrique tabulaire : grilles, tableaux de dénombrement, tableaux de distribution à un caractère diagrammes : en arbre, de Venn, à ligne brisée, à bandes, à tige et feuilles, etc. Mots Symboles Expressions numériques et algébriques Tables de valeurs La coordination du langage mathématique implique des passages entre les différents registres de représentation sémiotiques et ce, dans tous les champs de la mathématique. (Rappel : dans les programmes 068, on voyait des tableaux illustrant des passages entre différents modes de représentation seulement au niveau algébrique) Le langage mathématique est complexe, car il est composé de différents langages, dont le langage courant. Ces registres peuvent être classés de différentes façons. En général, on retrouve le registre verbal, le registre des figures, le registre graphique, le registre tabulaire (table de valeurs) et le registre symbolique. Il importe que l’élève soit en mesure de gérer chacun de ces registres, c’est-à-dire d’en respecter les règles conventionnelles et syntaxiques, d’en dégager les informations spécifiques et d’effectuer des traitements à l’intérieur de ce registre. Par exemple, l’élève qui résout une équation à l’aide de transformations effectuées sur celle-ci demeure dans le registre symbolique. De plus, par différentes activités, l’élève doit développer son habileté à passer avec aisance d’un registre à un autre, dans les deux sens de parcours. Par exemple, l’élève peut passer du registre verbal au registre symbolique et vice versa. Certaines conversions, notamment le passage du registre graphique au registre symbolique ou le passage du registre symbolique au registre verbal, ne s’opèrent pas directement ou spontanément. Puisque ces conversions nécessitent une activité mentale complexe, une attention particulière doit leur être apportée. Dessins/schémas Figures Graphiques ou diagrammes Graphes Géométrie Registres : verbal - symbolique, numérique et algébrique - figural : figures géométriques O, 1, 2 ou 3D

Document 1.3.1 Contenu de formation Axé sur la compréhension et le développement du sens chez l’élève En mathématique, il existe un lien intime entre les contenus disciplinaires et les compétences qu’ils permettent de développer La maîtrise des concepts ou des processus se manifeste par l’aptitude de l’élève à les transférer dans des situations-problèmes, des situations d’application ou de communication dont l’aboutissement est le développement de la compétence concernée La plupart des concepts et des processus doivent être construits par l’élève afin de développer d’autres réseaux. Ils sont réinvestis dans différents contextes.

Liens intradisciplinaires Document 1.3.1 Liens intradisciplinaires Déployer un raisonnement mathématique Communiquer à l'aide du langage mathématique Résoudre une situation-problème Activités de simulation manipulation Recherches, discussions, débats, journal de bord Projets interdiscipli- naires Activités d'exploration Travail coopératif Différents modes de représentation Sens du nombre et des opérations Sens de la proportionnalité Processus Repères culturels Expérience aléatoire et relevé statistique Probabilités et statistique Géométrie Figures géométriques et sens spatial Sens du nombre en notation décimale et fractionnaire, des opérations, de la proportionnalité, des expressions algébriques Arithmétique et algèbre FG: Probabilité ou Probabilités? Le contenu de formation apparaît à la fois selon un cheminement linéaire, dû à l’enchaînement des préalables, et comme une source de liens entre les différents champs de la mathématique et avec les autres disciplines. Cette interdépendance et cet enrichissement mutuel font que la compréhension des objets d’un champ contribuent à celle des objets d’un autre champ, et invitent à en aborder les éléments de contenu de manière intégrée (ou symbiotique). Le schéma de la page 249 du programme illustre des liens intradisciplinaires.

Arithmétique et algèbre Document 1.3.1 Arithmétique et algèbre Concepts : Sens des nombres en notation décimale et fractionnaire et sens des opérations Sens de la proportionnalité Sens des expressions algébriques Processus : Différentes formes d’écriture et de représentation Opérations sur les nombres en notation décimale ou fractionnaire Résolution d’une situation de proportionnalité Construction et manipulation d’expressions algébriques

Probabilités et statistique Document 1.3.1 Probabilités et statistique FG: Probabilité ou Probabilités? Concepts : Expérience aléatoire Relevé statistique Processus : Traitement de données tirées d’expériences aléatoires Traitement de données tirées de relevés statistiques

Géométrie Figures planes Document 1.3.1 Concepts : figures géométriques et sens spatial Figures planes Triangles, quadrilatères et polygones réguliers convexes Cercle, disque et secteur Mesure Angles Solides Figures isométriques et semblables Processus : Constructions géométriques Transformations géométriques Recherche de mesures manquantes

Liens interdisciplinaires Document 1.3.1 Liens interdisciplinaires Arts Développement personnel Mathématique Arts plastiques Art dramatique Musique Danse Éducation physique et à la santé Enseignement moral ou religieux Univers social Science et technologie Histoire et éducation à la citoyenneté Langue d'enseignement

Document 1.3.1

Document 1.3.1 Situation mobilisant des concepts et des processus probabilistes et statistiques Chacun sait que 6 + 6 = 12, mais faut-il en conclure qu’un dé à 12 faces est « équivalent » à deux dés à 6 faces lorsqu’on les jette un certain nombre de fois? Pour chacune des situations, effectue 50 lancers. Représente sous forme de tableau et graphiquement les données recueillies. Quel dé ou quels dés (le dé à 12 faces ou les deux dés à 6 faces) donnent le score moyen le plus élevé? En quoi les représentations graphiques des deux expériences sont-elles identiques ou différentes? Source : Programme d’études de l’Alberta, 1996, p. 242 Activité de simulation et d’exploration faisant appel aux concepts de probabilités et de statistique.

Document 1.3.1 Situation mobilisant des concepts et des processus algébriques, géométriques et le sens spatial Quelle est l’aire totale de chaque tour de cubes, y inclus les bases? Lorsque la hauteur de la tour augmente, de quelle façon l’aire totale se modifie-t-elle? Activité faisant appel au sens spatial et à l’observation de régularités. Source : NCTM. Principles and Standards for School of Mathematics, Reston, NCTM, 2000, p. 235 (E-examples)

Document 1.3.1 Situation du 1er cycle mobilisant des concepts et des processus statistiques et algébriques Deux études ont été menées pour tenter d’établir le revenu annuel moyen d’un adulte dans un secteur de ta région. Maryse a interrogé 19 personnes et a établi que le revenu annuel moyen était de 26 500 $. Dominic a interrogé 39 personnes et a établi un revenu annuel moyen de 28 000 $. Dominic prétend que l’on devrait présenter les résultats de son étude car son échantillon comporte un plus grand nombre de données. Maryse n’est pas d’accord, elle affirme que si chacun recueille une même donnée supplémentaire, il leur sera possible d’obtenir un revenu annuel moyen identique. Est-il possible que les deux aient raison? Ici, l’élève est appelé à déployer son raisonnement mathématique pour valider ces conjectures. Il exploite ses réseaux de concepts est de processus liés à la statistique et à l’algèbre pour prendre une position au regard de ces deux affirmations. (Concepts de représentativité d’un échantillon, de moyenne et résoudre une équation du 1er degré à une variable)

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