Géométrie analytique La pente

Pente ∆ y ∆ x x1 x2 y1 y2 P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 ) x y 1 2 3 4 5 6 7 La pente d’un segment est obtenue par la formule : variation des ordonnées variation des abscisses x1 x2 - y1 y2 ∆ y ∆ x : dans l’exemple ci-contre : m = x1 x2 - y1 y2 = 2 1 5 4 = 2 m = 2

Tout segment d’une droite a la même pente. 2 1 m = 2 ou Ce qui signifie que pour un accroissement d’une unité des abscisses, il y a accroissement de deux unités des ordonnées. Graphiquement, on peut constater ce fait. 1 2 3 4 5 On peut donc en déduire la propriété fondamentale d’une droite : + 2 + 1 Tout segment d’une droite a la même pente. + 2 + 1

La pente d’un segment ( son inclinaison ) est une notion importante en géométrie analytique. Elle permet de déterminer certaines informations. 5 10 15 20 25 30 35 A B C D Exemple Calculons les pentes des segments AB et DC : Coordonnées des sommets du rectangle : A ( 5 , 15 ) B ( 25 , 25 ) C ( 30 , 15 ) D ( 10 , 5 ) x1 x2 - = y1 y2 5 25 - = 15 10 20 = 1 2 m ( A , B ) : m ( A , B ) = m ( D , C ) x1 x2 - = y1 y2 10 30 - = 5 15 10 20 = 1 2 m ( D , C ) :

Calculons les pentes des segments AD et BC : 5 10 15 20 25 30 35 A B C D A ( 5 , 15 ) B ( 25 , 25 ) C ( 30 , 15 ) D ( 10 , 5 ) x1 x2 - = y1 y2 5 10 - = 15 = -10 5 m ( A , D ) : - 2 m ( A , D ) = m ( B , C ) x1 x2 - = y1 y2 25 30 - = 15 -10 5 = m ( B , C ) : - 2 Propriété : Si deux segments ont la même pente, alors ils sont parallèles entre eux.

Propriété : Si deux segments ont la même pente, alors ils sont parallèles entre eux. 1 2 m1 : m ( A , B ) = 5 10 15 20 25 30 35 1 2 B m2 : m ( D , C ) = A m1 = m2 alors AB ll DC C D m1 : m ( A , D ) = - 2 m2 : m ( B , C ) = - 2 m1 = m2 alors AD ll BC

La pente d’un segment ( son inclinaison ) est une notion importante en géométrie analytique. Elle permet de déterminer certaines informations. 5 10 15 20 25 30 35 A B C D Exemple Calculons les pentes des segments AB et BC : Coordonnées des sommets du rectangle : A ( 5 , 15 ) B ( 25 , 25 ) C ( 30 , 15 ) D ( 10 , 5 ) x1 x2 - = y1 y2 5 25 - = 15 10 20 = 1 2 m ( A , B ) : pentes inverses et opposées x1 x2 - = y1 y2 25 30 - = 15 -10 5 = - 2 1 m ( B , C ) :

Propriété : Si deux segments ont des pentes inverses et opposées, alors ils sont perpendiculaires entre eux. 1 2 m1 : m ( A , B ) = 5 10 15 20 25 30 35 - 2 1 m2 : m ( B , C ) = B - A m1 1 = 1 m2 C pentes inverses D alors AB BC et opposées Remarque : Pour pouvoir comparer correctement des pentes, n’oublie pas de toujours simplifier tes calculs au maximum.

x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 Cas particuliers Calculons la pente du segment AC: 5 10 15 20 25 30 35 A B C D Pente AC : C ( 30 , 5 ) A ( 10 , 5 ) m = x1 x2 - y1 y2 = 10 30 - = 5 20 = Un segment horizontal a une pente nulle. Calculons la pente du segment BD: Pente BD : D ( 15 , 5 ) B ( 15 , 30 ) m = x1 x2 - y1 y2 = 15 - = 30 5 -10 Un segment vertical a une pente indéterminée. = ?

Calculons la pente de AB et de BC . 5 10 15 20 25 30 35 A B C D Pente AB : A ( 10 , 5 ) B ( 15 , 30 ) m = x1 x2 - y1 y2 = 10 15 - 5 30 = 25 5 = 5 Pente BC : B ( 15 , 30 ) C ( 30 , 5 ) m = x1 x2 - y1 y2 = 15 30 - 5 = - 25 15 = - 5 3 Remarques : Si deux segments ont des pentes différentes alors ils sont sécants ( ils se croisent selon un certain angle ). Si deux segments ont des pentes inverses et opposées alors ils sont perpendiculaires ( sécants à un angle précis de 900 ).

En résumé Si deux segments ont la même pente, alors ils sont parallèles entre eux. m1 = m2 Si deux segments ont des pentes différentes alors ils seront sécants ( ils se croiseront selon un certain angle ). m1 ≠ m2 Si deux segments ont des pentes inverses et opposées alors ils seront perpendiculaires ( sécants à un angle précis de 900 ). m1 = - 1 m2