CSI 2501 / Règles d'inférence (§1.5-1.6-1.7) Introduction Preuves mathématiques. Arguments en logique propositionnelle équivalence des expressions quantifiées Règles d'inférence en logique propositionnelle La déduction naturelle est fondée sur des règles d'inférence Les règles d'inférence pour construire des arguments pièges dans lesquels il est facile de tomber Règles d'inférence pour les phrases quantifiées. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

preuve mathématiques Une preuve mathématiques correcte (valable logiquement) et complète (claire et détaillée) est un argument qui établie d’une façon rigoureuse et définitive la vérité d’une déclaration mathématique. Un argument correct permet de s’assurer du résultat. Un argument complet permet a quiconque de vérifier le résultat. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

preuve mathématiques Applications des preuves C’est un exercice de communication claire et précise d’arguments logiques dans tous les domaines. L’activité fondamentale des mathématiciens est la découverte et l’élucidation, par des preuves des nouveaux théorèmes intéressants. La théorie et méthodes de preuves a des applications dans la vérification des programmes, sécurité informatique, systèmes de raisonnement automatiques, etc. Prouvez un théorème permet de l’utiliser dans des applications critiques sans soucis. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Terminologie Théorème: Une déclaration dont la vérité a été démontrée. Axiomes, postulats, hypothèses: Des suppositions (la plus part du temps non prouvées) et qui définissent les règles et structures sur lesquelles la théorie se repose. Règles d'inférence: suite de déductions logiques et qui mènent des hypothèses vers la conclusion. Lemme: un résultat d’importance moindre qu’un théorème. En général c’est une étape pour prouver un théorème plus important. Corollaire: Un théorème d’importance mineure et dont la preuve est une conséquence simple d’un théorème majeur. Conjecture: Une déclaration dont la vérité n’a pas été démontrée. (En général on propose une conjecture si on croit qu’elle est vrai sans être capable de la prouver.) Théorie: L’ensemble de tous les théorèmes qui peuvent être prouver a partir des axiomes. Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 4

Visualisation d’une théorie Une théorie particulière … Une preuve Les axiomes de la théorie Les théorèmes Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Comment concevoir une preuve? Considérer les déclarations suivantes: Si hier soir vous n’avez pas dormi alors vous allez dormir durant le cours. Hier soir vous n’avez pas dormi On peut conclure que vous allez dormir durant le cours. Soit P “hier soir vous n’avez pas dormi” Soit Q “vous allez dormir durant le cours” Ceci est le forme de notre argument: Ca reviens a une tautologie: ((pq)  p)  q P  Q P ---------- Q Dr. Zaguia-CSI2501-H12 6

Règles d'inférence On peut utiliser toutes les formes d’arguments On peut (et on doit) toujours vérifier la validité d’un arguments (i.e. avec les tables de vérité). Il y a une infinité de formes d’arguments possibles. Les formes d’arguments les plus simples sont les plus utiles et qui sont utilisées le plus couramment. le lecteur pourra facilement vérifier l’argument Des arguments complexes se décomposent et peuvent se dériver a partir d’arguments simples L’idée originale est de créer des méthodes automatiques de génération de preuves. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

((ante. 1)  (ante. 2)  …)  conséquence Règles d'inférence Une règle d'inférence logique est une forme qui indique que si toutes les prémisses (hypothèses) sont vrais alors on en déduit que la conclusion est aussi vrai. antécédent 1 antécédent 2 …  conséquence “” veut dire “par conséquent” Toute règle logique d'inférence correspond a une implication qui est une tautologie: ((ante. 1)  (ante. 2)  …)  conséquence Dr. Zaguia-CSI2501-H12

p Règles d’addition  pq pq Règles de simplification  p Des Règles d'inférence p Règles d’addition  pq pq Règles de simplification  p p Règles de conjonction q  pq Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 9

“le mode d’affirmation” Modus Ponens & Tollens p Règles de modus ponens pq (Règle de détachement) q q pq Règles de modus tollens p “le mode d’affirmation” “le mode de nier” Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 10

Syllogism & Resolution Inference Rules pq qr pr p  q p  q Règles « syllogisme » transitivité Règles « syllogisme » disjonctive Many valid inference rules were first described by Aristotle. He called these patterns of argument “syllogisms.” p  q p  r q  r Règles de Résolution Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 11

Preuves formelles Etant données les hypothèses p1, p2,…,pn. une preuve formelle de la conclusion C consiste d’une séquence d’étapes qui mènent a C. Chaque étape utilise une règle d’inférence appliquées aux hypothèses, et mène a une nouvelle assertion qui soit vrai. Une preuve démontre que si les prémisses (hypothèses) sont vrais alors la conclusion est vrai. Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 12

Exemple d’une Preuve formelle Supposant qu’on a les prémisses suivants: “Il ne fait pas beau et il fait froid.” “S’il fait beau on va nager.” “Si on ne va pas nager alors on va faire du canoë.” “Si on va faire du canoë, alors on rentrera tôt a la maison.” Etant données les prémisses ci-dessus prouver le théorème suivant: “on rentrera tôt a la maison.” Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 13

Exemple d’une Preuve formelle Adoptons l’abréviation suivante: beau = “Il fait beau”; froid = “Il fait froid”; nager= “On va nager”; canoë = “on va faire du canoë”; tôt = “on rentrera tôt a la maison”. Les prémisses peuvent êtres écrites comme suit: (1) beaufroid (2) nager beau (3) nager canoë (4) canoë  tôt Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 14

Exemple d’une Preuve formelle étape Prouver par 1. beau froid Prémisse #1. 2. beau Simplification de 1. 3. nagerbeau Prémisse #2. 4. nager Modus tollens sur 2,3. 5. nagercanoë Prémisse #3. 6. canoë Modus ponens sur4,5. 7. canoëtôt Prémisse #4. 8. tôt Modus ponens sur 6,7. Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 15

Exercices Quelles sont les règles d’inférence utilisées: Il neige ou il pleut. Il ne neige pas et donc il pleut. S’il y a de la neige je vais faire du ski. Si je vais faire du ski alors je m’absenterais du cours. Il y a de la neige, par conséquent je m’absenterais du cours. Je suis riche ou je dois travailler. Je ne suis pas riche ou j’aime jouer du hockey. Par conséquent je dois travailler ou j’aime jouer du hockey. Si tu est blonde alors tu es intelligente. Tu es intelligente donc tu es blonde. N  P N  P NS S A N A R  T R  H T  H BI I B Faux Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 16 16

Construire des arguments avec les règles d’inférence Prouver le théorème suivant: “S'il ne pleut pas ou s'il n'est pas brumeux, alors la course a la voile et la démonstration du sauvetage auront lieu. Si la course a la voile aura lieu alors le prix sera décerné. Le prix n’a pas été décerné par conséquent il a plut.” # Proposition Règle 1 (PB)  (VS) hypothèse 2 V  R 3 R 4 V modus tollens 2 & 3 5 V  S addition a 4 6 P  B modus tollens 1 & 5 7 P simplification de 6 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 17 17

Que peut-on en déduire: Autres exemples Que peut-on en déduire: “Je suis intelligent ou chanceux. Je ne suis pas chanceux. Si je suis chanceux alors je gagnerais le loto.” “Tous les rongeurs rongent leur nourriture. Les souris sont des rongeurs. Les lapins ne rongent pas leur nourriture. Les chauves-souris ne sont pas des rongeurs. C  L L LT  ??? R  G S  R L   G C   R  ??? R “rongeur” G “rongent leur nourriture” L “Lapin” S “Souris” C “chauves-souris” Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 18

Résolution Règle de résolution p q pr -------  qr Utilisée par les systèmes automatiques de raisonnement et preuves. C’est la base de la programmation logique, comme Prolog. Toutes les hypothèses et les conclusions sont exprimées sous format de clauses (disjonction de variables ou de leurs négations). Résolution est la seule règle d’inférence utilisée. Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 19 19

Résolution Exprimer sous la forme de conjonction de clauses: p(qr) Utiliser la règle de résolution pour monter que (pq)(pq)(pq)(pq) n’est pas satisfaite (pq)(pr) (p)  (q) (pq) ((pq)(qp)) = (pq)  (qp) = (p q)  ( pq) = ((p q)  ( p))  ((p q)  q)) = (q   p)  (p  q) (q  q) = F Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 20 20

Règles d’inférence pour les assertions quantifiées (x) P(x) P(c) Instance Universelle P(c) pout tout c (x) P(x) Généralisation Universelle (x) P(x)  P(c) pour un certain c Instance Existentielle P(c) pour un certain élément c  (x) P(x) Généralisation Existentielle Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 21

Révision Formes d’arguments les plus utilisées en logique propositionnelle modus ponens, modus tollens, syllogisme (transitivité d’implication), syllogisme disjonctive , addition, simplification, conjonction, résolution Règles d’inférence pour les expressions quantifiées Instance universelle, généralisation universelle Instance existentielle, généralisation existentielle Résolution et programmation logique tout peut s’exprimer avec des « clauses » Il est suffisant de n’utiliser que les résolution. Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 22 22

Combiner les règles d’inférence x (P(x)  Q(x)) P(a) -------- modus ponens Universel  Q(a) Q(a) -------- modus tollens Universel  P(a) # Assertion Règle 1 x (P(x)  Q(x)) hypothèse 2 P(a) 3 P(a)  Q(a) universelle 4 Q(a) 2 & 3 modus ponens Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 23 23

Exemples/exercices Utiliser les règles d’inférence pour montrer ce qui suit: x (P(x)  Q(x)) x(Q(x)  S(x)) x (R(x)  S(x) x P(x)  x R(x) x (P(x)  Q(x)) etx(Q(x)  S(x)) implique x(P(x)  S(x)) x (R(x)  S(x)) est équivalent to x( S(x)  R(x)) Donc x(P(x)  R(x)) Puisque x P(x) est vrai. Donc P(a) pour un certain a du domaine. Puisque P(a)  R(a) est vrai. Conclusion R(a) est vrai et donc x R(x) est vrai Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 24 24

c???? Examples/exercises Trouver l’erreur dans l’argument ci-dessous xP(x) xQ(x) implique x(P(x)Q(x)) xP(x)  xQ(x) hypothèse xP(x) simplification de 1. P(c) instance universelle de 2. xQ(x) simplification de 1. Q(c) instance universelle de 4. P(c)Q(c) conjonction de 3. et 5. x (P(x) Q(x)) généralisation existentielle c???? Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 25 25

Exemples/exercices Est-ce que l’argument suivant est correct? Si Superman est capable et s’il veut arrêter le mal alors il arrêtera le mal. Si Superman n’est pas capable d’arrêter le mal alors il est impotent; s’il n’a pas le désir d’arrêter le mal alors il est malveillant. Superman n’arrête pas le mal. Si Superman existe alors il est ni impotent ni malveillant. Par conséquent, Superman n’existe pas. C  V  A C  I V  M A E   I   M  E A partir de C  V  A and A on en déduit (CV) . C  V (1) C  I donc C  I (2) V  M donc V M (3) (4)=(1)&(2) I  V (5)=(1) & (4) C  I D’après (1)&(5) on a I. D’après E   I   M on a  E Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 26 26

Preuve? Preuve formelle séquence d’assertions finissant par une conclusion assertions avant la conclusion sont les prémisses chaque assertion doit être un axiome ou bien elle doit être dérivée d’une prémisse précédente en utilisant une règle d’inférence. Preuve informelle Preuve formelle sont difficile a suivre On n’a pas nécessairement besoin de tous les détails. On peut sauter sur les étapes simples et évidentes, ou on peut les joindre dans un seul argument. On peut aussi sauter sur quelques axiomes et les supposer implicitement. On se concentre sur l’écriture des preuves informelles (qui sont assez formelles et précises.) Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 27

Terminologie Théorème: Une déclaration dont la vérité a été démontrée. Axiomes, postulats, hypothèses: Des suppositions (la plus part du temps non prouvées) et qui définissent les règles et structures sur lesquelles la théorie se repose. Règles d'inférence: suite de déductions logiques et qui mènent des hypothèses vers la conclusion. Lemme: un résultat d’importance moindre qu’un théorème. En général c’est une étape pour prouver un théorème plus important. Corollaire: Un théorème d’importance mineure et dont la preuve est une conséquence simple d’un théorème majeure. Conjecture: Une déclaration dont la vérité n’a pas été démontrée. (En général on propose une conjecture si on croit qu’elle est vrai sans être capable de la prouver.) Théorie: L’ensemble de tous les théorèmes qui peuvent être prouver a partir des axiomes. Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 28

Comment prouver un théorème? Tout dépends de la forme du théorème Cas simple– preuve d’une assertion existentielle  x P(x): Il existe un entier pair qui peut s’écrire de deux façons différentes comme somme de deux nombres premiers Comment prouver ce théorème? Trouver un tel x et les 4 nombres premiers “10 = 5+5 = 3+7” FAIT Pour tout entier x il existe un entier y tel que y > x. x  y: y>x Trouver un algorithme pour trouver un tel y: Il suffit de prendre y = x+1 Les deux sont des preuves d’existence constructives Il existe des preuves non constructives En générale les preuves constructives sont plus utiles. Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 29

Preuve par un contre exemple Un autre cas simple Réfuter la négation d’une assertion existentielle x P(x) x P(x)  x P(x) Réfuter une assertion universelle Donner un contre exemple Exemples: Réfuter: Pour tous nombres réels a and b, si a2 = b2 alors a = b Réfuter : Il n’existe pas d’entiers x tel que x2 = x. Ce sont des preuves constructives Mais on peut avoir aussi des preuves non-constructives Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 30

Comment refuter un théorème existentiel? En prouvant la négation (assertion universelle) Exemple: Réfuter: Il existe un entier positif n tel que n2+3n+2 est premier On va prouver: Pour tout entier positif n, n2+3n+2 n’est pas premier. Preuve: Supposons que n est un entier positif. En factorisant n2+3n+2 on obtiens n2+3n+2 = (n+1)(n+2). Puisque n 1 alors n+1>1 et n+2>1. Les deux nombres n+1 et n+2 sont des entiers puisqu’ils sont des sommes d’entiers. Puisque n2+3n+2 est le produit de deux entiers plus grand que 1, alors il n’est pas premier. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Comment prouver un théorème universel? La plupart des théorèmes sont universels de la forme x P(x)  Q(x) Comment prouver ce type de théorème? En analysant tous les cas Si le domaine est fini Il n’y a qu’un nombre fini de x satisfaisant P(x). Exemple: x x est un entier pair tel que 4x16, x peut être écrit comme somme de deux entiers premiers 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 5+5, 12 = 5+7, 14 = 7+7, 16 = 3+13 Analyse de tous les cas ne peut marcher si le domaine est infini ou il est très grand. pas moyen d’utiliser «Analyse de tous les cas » pour prouver que le circuit de la multiplication du CPU est correcte. Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 32

Comment prouver un théorème universel? La plupart des théorèmes sont universels de la forme x P(x)  Q(x) généraliser a partir du cas particulier Soit x un élément particulier du domaine, prouver que si x satisfait P alors x doit aussi satisfaire Q. En utilisant des définitions, des résultats déjà prouvés et les règles d’inférence. Il est important de n’utiliser que les propriétés qui s’applique a tous les éléments du domaine. Preuve directe: On suppose P(x) et on en déduit Q(x). Dr. Zaguia-CSI2501-H12 Dr. Zaguia-CSI2501-H12 33

Exemple 1: Preuve directe Théorème: Si n est impair alors n2 est impair. Définition: un entier n est pair s’il existe un entier k tel que n = 2k. Un entier n est impair s’il existe un entier k tel que n = 2k+1. Tout entier est pair ou impair et ne peut être les deux en même temps. Théorème: (n) P(n)  Q(n), Où P(n) est “n est un entier impair” and Q(n) est “n2 est impair.” On dois montrer P(n)  Q(n) Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Exemple 1: Preuve directe Théorème: Si n est impair alors n2 est impair. Preuve: Soit p --- “n est impair”; q --- “n2 est impair”; On veux prouver que p  q. Supposons p, i.e., n est impair. Par définition n = 2k + 1, pour un certain entier k. Donc n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 (2k2 + 2k ) + 1. Par conséquent n2 =2k’ + 1, ou k’ = (2k2 + 2k). Par définition de impair, on en déduit que n2 est impair. QED Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Exemple 2: Preuve directe Théorème: La somme de deux entiers pairs est un entier pair. Point de départ: Soient m et n deux entiers pairs arbitraires Conclusion: n+m est pair Preuve: Soient m et n deux entiers pairs arbitraires. Par définition de pair, il existes deux entiers r et s tels que m=2r et n=2s. Donc m+n = 2r+2s (substitution) = 2(r+s) (factoriser par 2) Soit k = r+s. Puisque r et s sont des entiers alors k est un entier. Par conséquent m+n = 2k, ou k est un entier. Par définition de pair, on en déduit que m+n est pair. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Directions générales en écrivant une preuve Preuve précise et complète. Indiquer clairement le théorème a prouver Indiquer clairement le début de la preuve (i.e. Preuve:) self-contained: introduire/identifier toutes les variables “Soient m et n deux entiers pairs quelconques” “… pour certains entiers r et s” des phrases complètes “Par conséquent m+n = 2r+2s = 2(r+s).” donner les raisons pour chaque étape ou assertion par hypothèse, par définition de pair, par substitution Clarifier l’argument logique avec des petits mots: puisque, donc, par conséquent, Observons, soit, … Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Exemples/exercices Théorème: Le carré d’un nombre pair est divisible par 4. Théorème: Tout produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Théorie des nombres: très basique Définition: un entier n est pair si et seulement si  entier k tel que n = 2k Définition: un entier n est impair si et seulement si  entier k tel que n=2k+1 Définition: Soient k et n deux entiers. On dit que k divise n (qu’on note k | n) si est seulement si il existe un entier a tel que n = ka. Définition: un entier n est premier si et seulement si n>1 et pour tous entiers positifs r et s, si n = rs, alors r=1 ou s = 1. Définition: Un nombre réel r est rationnel si et seulement si  deux entiers a et b tels que r= a/b et b  0. Parmi ces nombres, lesquels sont rationnels? 7/13 0.3 3.142857 3.142857142857142857142857… 3/4+5/7 Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Exemples/exercices Théorème: Le carré d’un nombre pair est divisible par 4. Preuve: Soit n un entier pair quelconque. Par définition de pair, il existe un entier r tel que m=2r. Alors n2 = (2r)2= 4r2. Par conséquent et d’après la définition « de divisible par 4 », l’entier n2 est divisible par 4. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Exemples/exercises Théorème: Tout produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6. J’ai plus de connaissances dans la théorie des nombres, ce qui me permet de prouver ce théorème. Lemme 1:  entiers k,n,a: k | n  k | an Lemme 2: Parmi n’importe quels k entiers consécutifs, un unique entier est divisible par k. Lemme 3: x: 2| x  3| x  6| x (un cas spécial d’un théorème plus général)  x, y, z: y | x  z|x yz/GCD(y,z) | x (On prouvera Lemme 2 et Lemme 3 plus tard lorsqu’on saura plus sur la théorie des nombres) Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Preuve du Théorème Théorème: Tout produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6. Preuve: Soit n un entier quelconque. D’ après Lemme 2, on a 2|n ou 2|(n+1). A partir de Lemme 1, on en déduit que 2|n(n+1) and donc en appliquant de nouveau Lemme 1 on a 2|n(n+1)(n+2). D’ après Lemme 2, on a 3|n ou 3|(n+1) ou 3|(n+2). En appliquant deux fois Lemme 1 on obtient 3|n(n+1)(n+2). Par conséquent, 2 | n(n+1)(n+2) et 3 | n(n+1)(n+1). A partir de Lemme 1, on en déduit que 6=2*3 | n(n+1)(n+2). Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Preuve par Contradiction A – On veut prouver p. On démontre que: ¬p  F; On en déduit que ¬p est faux puisque (1) est vrai et donc p est vrai. B – On veut prouver p  q On suppose la négation de la conclusion, i.e., ¬q On utilise la supposition de (1) pour montrer (p  ¬q )  F Puisque ((p  ¬q )  F)  (p  q) la preuve est faite! Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Exemple 1: Preuve par Contradiction Théorème “Si 3n+2 est impair, alors n est impair” Preuve. Soit p = “3n+2 est impair” et q = “n est impair” 1 – On suppose p et ¬q i.e., 3n+2 est impair et n n’est pas impair 2 – Puisque n n’est pas impair alors n est pair. 3 – si n est pair, n = 2k pour un certain entier k, et donc 3n+2 = 3 (2k) + 2 = 2 (3k + 1), et donc pair. 4 – On a obtenu une contradiction, 3n+2 est impair et 3n+2 est pair et donc p  q, i.e., “Si 3n+2 est impair , alors n est impair ” Q.E.D. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Exemple2: Preuve par Contradiction Prouver que 2 est irrationnel (Preuve classique). Supposons que 2 est un nombre rationnel. Alors ils existent deux entiers a et b (relativement premiers) tels que 2 = a/b. Donc 2 = a2/b2 et 2b2 = a2. Par conséquent a2 est pair et donc a est pair, c’est a dire a=2k pour un certain entier k. On en déduit que 2b2 = (2k)2 = 4k2 et donc b2 = 2k2 Donc b2 est pair et b est pair (b = 2k pour un certain entier k) Mais puisque a et b sont tous les deux pairs alors ils ne sont pas relativement premiers! contradiction Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Exemple 2: Preuve par Contradiction Ma preuve n’est pas si complète? a2 est pair, et donc a est pair (a = 2k pour un certain entier k)?? Supposons le contraire, c’est a dire supposons que a n’est pas pair. Donc a = 2k + 1 pour un certain entier k Donc a2 = (2k + 1)(2k + 1) = 4k2 + 4k + 1 contradiction Par conséquent a2 est impair. J’avais raison, a est pair. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Plus d’exemples/ exercices Il existe un plus grand entier Proposition 2: parmi k entier consécutifs il y a au plus un seul entier divisible par k. Il existe un plus grand nombre premier On sait déjà qu’il existe un nombre irrationnel: 2 La somme de deux nombres irrationnel est un nombre irrationnel Ils existent deux nombres irrationnels a and b tels que ab est un nombre rationnel preuve non-constructive existentielle Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Preuve par contraposition On veut prouver x (P(x)  Q(x)) réécrire comme x (Q(x)  P(x)) (c’est la contraposition) prouver la contraposition avec une preuve directe: Prenons un élément x arbitraire du domaine tel que Q(x) est faux prouver que P(x) est faux. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Exemple 1: Preuve par Contraposition Prouver que si a est b sont des entiers et a + b ≥ 15, alors a ≥ 8 et b ≥ 8. (a + b ≥ 15)  (a ≥ 8) v (b ≥ 8) (a < 8)  (b < 8)  (a + b < 15) (Suppose q) Suppose (a < 8)  (b < 8). (montrer p) Alors (a ≤ 7)  (b ≤ 7). Donc (a + b) ≤ 14. Donc (a + b) < 15. QED Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Example 2: Preuve par Contraposition Théorème: Pour un entier n , si 3n + 2 est impair, alors n est impair. i.e. Pour un entier n, 3n+2 est impair n est impair Preuve par Contraposition: Soit p --- “3n + 2” est impair; q --- “n est impair”; on veut prouver p  q La contraposition est ¬q  ¬p n est pair 3n + 2 est pair Maintenant on peut utiliser une preuve directe: supposons ¬q , i.e, n est pair et donc n = 2 k pour un certain k. Par conséquent 3 n + 2 = 3 (2k) + 2 = 6 k + 2 = 2 (3k + 1) qui est pair. QED Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Contradiction vs Contraposition Peut-on convertir les preuves par contraposition a des preuves par contradiction? Preuve de x (P(x)  Q(x)) par contraposition: Soit c un élément arbitraire tel que Q(c) est faux … (séquence d’étapes) P(c) Preuve de x (P(x)  Q(x)) par contradiction: Soit x tel que P(x) et Q(x) alorsQ(c) // instance existentielle … (même séquence d’étapes) Contradiction: P(c) et P(c) Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Contradiction vs Contraposition Mais quelle méthode doit-on utiliser? Avantage de la méthode par Contraposition: On évite des erreurs en exprimant la négation de l’assertion. ce qu’on veut prouver est clair Inconvénient de la méthode par Contraposition: n’est utilisable que pour des assertions universelles et conditionnelles. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Stratégies de preuves Assertion: Pour tous les éléments du domaine, si P(x) alors Q(x) Imaginer les éléments satisfaisant P(x). On doit se demander s’ils ont la propriété pour satisfaire Q(x)? si tu est convaincu que c’est « OUI » alors utiliser les raisons pour lesquelles tu penses que c’est OUI comme base d’une preuve directe. Si ce n’est pas clair que la réponse est « OUI », utiliser les raisons pour peut être arriver un contre exemple. Si vous n’arrivez pas a trouver un contre exemple essaye de réfléchir sur les raisons: Peut être en supposant P(x) Q(x) tu arrives a une contradiction Peut être en supposant P(x) Q(x) tu peux en déduire P(x) Il n’y a pas de recettes pour les preuves La pratique, pratique et pratique Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Plus d’exemples/exercices Prouver qu’ils n’y a pas d’entiers qui sont solutions de x2+3y2=8 Prouver qu’ils n’y a pas d’entiers qui sont solutions de x2-y2 = 14. Prouver qu’on peut remplir un échiquier avec des dominos. Prouver qu’un échiquier sans une case du coin ne peut être remplie avec des dominos. Prouver qu’un échiquier sans deux cases de coins situées sur une diagonale ne peut être remplie avec des dominos. Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Plus d’exemples/exercices Prouver qu’il n’y a pas d’entiers qui sont solutions de xn+yn = zn et tels que xyz 0 for n>2. Dernier théorème de Fermat (Ca pris plusieurs siècles pour le prouver, la preuve consiste de quelques centaines de pages) La conjecture 3x+1 : Est-ce que ce programme s’arrête pour tout entier i? tantque(i>1) { si (pair(x)) x = x/2; sinon x = 3x+1; } Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Erreurs a éviter Généraliser a partir d’exemples On observe que 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sont premiers, donc on en déduit que tout nombre impair est premier?? Le code produit des résultats correctes pour les cas qu’on a tester et donc on en déduit que toujours le code produit un résultat correcte Utiliser la même variable ou lettre pour exprimer deux choses différentes xP(x)  xQ(x) ca ne veut pas dire qu’il existe c tel que(P(c)Q(c)) Dr. Zaguia-CSI2501-H12

D’autres erreurs assez communes: L’erreur d’affirmer la conclusion Erreurs a éviter D’autres erreurs assez communes: L’erreur d’affirmer la conclusion L’erreur de nier l’hypothèse Tourner en rond ou raisonnement circulaire Dr. Zaguia-CSI2501-H12

L’erreur d’affirmer la conclusion Si André l’a fait, il aura du sang sur les mains. André a du sang sur les mains. Par conséquent, André l’a fait. La forme d’argument PQ Q  P ou ((PQ)  Q)P qui n’est pas une tautologie et donc pa une forme d’inférence valable Dr. Zaguia-CSI2501-H12

L’erreur de nier l’hypothèse Si André est nerveux, il l’a fait. André n’est pas vraiment nerveux. Par conséquent, André ne l’a pas fait. La forme d’argument PQ ¬P  ¬Q ou ((PQ)  ¬P) ¬Q qui n’est pas une tautologie et donc pa une forme d’inférence valable Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Tourner en rond ou raisonnement circulaire Lorsqu’on utilise la vérité l’assertion qu’on veut prouver (ou quelque chose d’équivalent) dans la preuve. Exemple: Conjecture: si n2 est pair alors n pair. Preuve: Si n2 est pair alors n2 = 2k pour un certain k. Soit n = 2l pour un certain l. Donc n doit être pair. (Noter que l’assertion n = 2l est introduite sans aucun argument.) Dr. Zaguia-CSI2501-H12

Méthodes de preuves Preuve directe Preuve par Contraposition Preuve par Contradiction Preuve par Equivalences Preuve par Cas (Exhaustive) Preuves d’existence Preuves par contre exemples Dr. Zaguia-CSI2501-H12