Réalisation d'une image de synthèse Modélisation 3D Réalisation d'une image de synthèse Modélisation: représentation des formes et des dimensions Visualisation : couleur, matière, lumière Animation: mouvement, changement de scène Historiquement les premiers modèles sont bidimensionnels réalisation de plan peu adapté à des objets complexes Modélisation tridimensionnelle : représentation virtuelle d'un objet dans ses 3 dimensions On distingue 3 types de modèles Fil de fer Modèle surfacique Modèle volumique Actuellement logiciel "orienté objets » 3D studio, java, C++ objets: , classe, copie, instance. Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Eléments manipulés en 3D Niveau 0 points, droites et segments cercles et arcs de cercles courbes Niveau 1 plans surfaces de révolution surfaces réglées, surfaces gauches surfaces fractales Niveau 2 cylindre, cônes, prismes… polyèdres quelconques volumes quelconques Formes, dimensions + position, couleur, matière Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Elements de géométrie Coordonnées Repère orthonormé: 3 axes X, Y et Z, un centre (0,0,0) Plusieurs types de coordonnées Transformation géométrique Rotation : centre de rotation, axe de rotation Translation Homothétie Différentes vues Coord. objet Coord. écran Coord. absolues Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Historiquement le premier Modèle Fil de Fer Historiquement le premier On ne retient que les coordonnées (X,Y,Z) des sommets et les arêtes qui les relient Conduit à des ambigüités - Elimination des parties cachées - Perspective Peut donner des solides sans sens physique Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Permet la définition de surfaces très complexes Modèle surfacique Permet la définition de surfaces très complexes Répond à de nombreux besoins de l'industrie aéronautique, automobile… Utilisation des modèles mathématiques d'approximation Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Construction de Courbes Contraintes Au niveau utilisateur - Rapidité - Transparence - Suite des méthodes habituelles - l'utilisateur peut "voir" la courbe (points de contrôle) - modification interactive Au niveau concepteur de systèmes - fonctions simples et stables numériquement ® polynômes - indépendance des axes ® forme paramétrée - contrôle local ou global ® par morceaux - ordre de continuité - propriété de "variation décroissante" Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Comment construire une courbe d’une certaine forme A main levée Par construction mathématique - On cherche une courbe qui “passe” par des “points”. => Méthodes par morceaux Méthodes globales Méthodes mixtes: splines , Bézier Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Fonctions définies par morceaux La plus simple: linéaire par morceaux Plus “lisse”: cubique par morceaux Problèmes de raccordements Fonction continue Dérivée continue Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Interpolation de Lagrange (1800) Méthodes globales Interpolation de Lagrange (1800) On calcule le polynôme qui passe exactement par les points n inconnues <=> n conditions Interpolation d’Hermite - On peut ajouter des conditions sur la dérivée en chaque point Inconvénients en CAO -Trop de calculs, résolution de systèmes linéaires - Résultats parfois mauvais: trop d’ondulations - Modification d’un point? On peut ajouter des conditions sur la dérivée en chaque point Trop de calculs, résolution de systèmes linéaires Résultats parfois mauvais: trop d’ondulations Modification d’un point? Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Modélisation mathématique de la latte des dessinateurs (1950) Fonction spline Modélisation mathématique de la latte des dessinateurs (1950) Fonction qui passe par des points donnés et qui minimise l'énergie de flexion. On l'appelle spline cubique naturelle Spline cubique naturelle - Polynôme de degré 3 sur chaque intervalle - Fonction continue - Dérivée continue - Dérivée seconde continue Modification d’un point - Modification “locale” Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Fonction spline d'interpolation On se donne des points de "passage" Sur chaque intervalle : 4 inconnues => il faut 4 conditions 2 conditions sur la position des points extrémités + 2 conditions de raccordement => On les obtient par résolution d'un système Modification d’un point Inconvénients : - Calculs longs - Modifications pas complètement locales - Ondulations Splines sous-tension - on tire en chaque point => => Points de "passage" deviennent des points de "contrôle" Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Fonction spline d'interpolation On se donne des points de "passage" Sur chaque intervalle : 4 inconnues => il faut 4 conditions Toujours 2 conditions sur la position des points extrémités + 2 autres conditions Splines naturelles Conditions de raccordement =>On les obtient par résolution d’un système Inconvénients: Calculs longs (Approximation) Modifications pas complètement locales Ondulations Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Approximation B-spline Définition A partir des N+1 points ordonnées P0, P1,..... PN qui forment le polygone de contrôle, la courbe B-spline est définie par : P(u) = Fonction de base B-spline Ni,2(x) Fonction de base B-spline Ni,4(x) Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Courbe B-spline Influence de l ’ordre Influence d ’un point Splines sous-tension On tire en chaque point => Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Représentation par polygone de contrôle Courge de Bézier Représentation par polygone de contrôle A partir des n+1 points ordonnés P0,P1,..., Pn qui forment le polygone de contrôle, la courbe Bézier est définie par : P(u) = où Bi,n(u) = Cui(1 - u)n-i Le degré dépend du nombre de points de contrôle - Modification d'un point => modification de toute la courbe - pour n "grand" : calculs longs modification difficile Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Courbes de Bézier composites Juxtaposition de courbes de Bézier simples définies par les polygones de contrôle - Raccordement C0 - Raccordement C1 Bézier cubique définie à partir de 2 points et de la dérivée en chaque extrémité, direction et longueur (module) Dans les logiciels courants, manipulation de "poignées" Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Les courbes NURBS P(u) = Dans la pratique, souvent 3 points de contrôle P0, P1, P2 avec w0 = w2 = 1, et w1 variable P(u) = Courbes complémentaires obtenues avec - w1 Courbe tracée à main levée Après conversion en Bézier Après suppression de points de contrôle Après conversion en courbe polygonale Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

algorithmes de calculs rapides Surfaces B-Splines Produit tensoriel - 2 paramètres u et v - Réseau de points de contrôle Pi,j - Surface B-spline P(u,v) = Pi,j Ni,k(u) Nj,p(v) Même propriété que les courbes splines la surface appartient à l'enveloppe convexe variation décroissante algorithmes de calculs rapides Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

- Surface de Bézier P(u,v) = Pi,j Bi,n(u) Bj,m(v) Carreaux de Bézier Produit tensoriel - 2 paramètres u et v - Réseau de points de contrôle Pi,j - Surface de Bézier P(u,v) = Pi,j Bi,n(u) Bj,m(v) Propriétés - les frontières du carreau sont des courbes de Bézier dont les points de contrôle sont les points frontières du réseau - la surface appartient à l'enveloppe convexe NURBS : Non Uniform Rational B-Splines - A l'origine faites pour une meilleure approximation des coniques (cercle, ellipse, parabole, hyperbole) Une courbe NURBS est définie à partir de n+1 points de contrôle P0,P1,...Pn et de n+1 poids w0,w1,..., wn par : P(u) = - Plus de degrés de liberté les poids peuvent être positifs ou négatifs Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Surfaces biparamétriques (Bézier ou splines) Recollement des carreaux de Bézier Réseau dégénéré Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Surfaces biparamétriques Modification de la surface Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Patches triangulaires Coordonnées barycentriques (u,v) => (r,s,t) r+s+t=1 Surface définie sur des patches triangulaires P(u,v) = Ci,j,k B où B= risjtk Réseau de degré 2 Réseau de degré 10 Réseau de degré 20 Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Patches triangulaires Réseau de degré 1 => facettes planes Modification de la surface Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Transformation : Objet 3D => Bézier Transformation en Bézier Après passage dans 3D sculpter Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Surfaces de révolution Surface crée à partir - d'une courbe - d'un axe de rotation - de position de la courbe par rapport à l'axe de rotation - d'un angle de rotation Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Surfaces extrudés Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Surface créée à partir d'une courbe plane en lui donnant de l'épaisseur Extrusion généralisée - Une courbe plane fermée - Une trajectoire - Position et modification de la courbe plane le long de la trajectoire Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Sweeping Construction par déplacement - Une courbe plane - Un axe de rotation - Un angle de rotation - Un déplacement Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Wraping Construction par Déformation - Torsion - Enroulement Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Montagnes fractales - Construction récursive du terrain Surfaces Fractales Montagnes fractales - Construction récursive du terrain Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Les Graftals - Règles de production Construction par ramification - Alphabet - Règles de production Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Composition booléenne de volumes Opérateur booléen : Union Intersection Différence Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Modélisation volumique Représentation par Arbre de construction CSG Représentation par les limites BREP Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Morphing par « particule » Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002

Morphing Vrai morphing Christine Potier - Ecole nationale supérieure des télécommunications Modélisation - Mastère Multimédia - Janvier 2002