Exo 6 Soient les fonctions définies sur R par f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 1°) Déterminez ( 12 – 3x ) ( x + 2 ) et ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ). 2°) Déterminez et tracez la forme de la courbe de f, le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0, et leurs signes. Idem pour celle de g sur un repère différent. 3°) Déterminez les tableaux de variations et de signes de f et g. 4°) Déterminez la position de la courbe de f par rapport à celle de g en fonction de x. 5°) Placez dans le même repère les réponses des questions 2° et 4° .

Exo 6 f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 1°) Déterminez ( 12 – 3x ) ( x + 2 ) et ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ).

Exo 6 f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 1°) Déterminez ( 12 – 3x ) ( x + 2 ) et ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ). ( 12 – 3x ) ( x + 2 ) = 12( x + 2 ) – 3x( x + 2 ) = 12x + 24 – 3x² - 6x = - 3x² + 6x + 24 = f(x)

Exo 6 f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 1°) Déterminez ( 12 – 3x ) ( x + 2 ) et ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ). ( 12 – 3x ) ( x + 2 ) = 12( x + 2 ) – 3x( x + 2 ) = 12x + 24 – 3x² - 6x = - 3x² + 6x + 24 = f(x) ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) = x( - 3x – 6 ) – 3( - 3x – 6 ) = - 3x² - 6x + 9x + 18 = - 3x² + 3x + 18

Exo 6 f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 2°) Déterminez et tracez la forme de la courbe de f, le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0, et leurs signes. Idem pour celle de g sur un repère différent.

2°) f(x) = - 3x² + 6x + 24 f(x) = ax² + bx + c donc la fonction est une fonction polynôme de degré 2, donc sa courbe est une parabole. a = - 3 < 0 donc la parabole est orientée vers le bas. - b - 6 Elle admet un axe de symétrie d’équation x = = = 1 2a 2(-3) 27 f(1) = - 3(1)² + 6(1) + 24 = 27 24 Elle a un sommet de coord. ( 1 ; 27 ). f(0) = 24 1 Il y a 2 solutions à l’équation f(x) = 0 l’une positive et l’autre négative.

2°) g(x) = 3x + 6 g(x) = mx + p donc la fonction est une fonction affine, donc sa courbe est une droite. coeff. directeur = m = 3 > 0 donc la droite est croissante. 6 g(0) = 6 est l’ordonnée à l’origine. Il y a 1 solution à l’équation g(x) = 0 solution négative. Remarque : je pourrais résoudre g(x) = 0 en valeur exacte.

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 3°) Déterminez les tableaux de variations et de signes de f et g.

3°) f(x) = - 3x² + 6x + 24 D’après la question 2° : 1 x -∞ 1 +∞ f(x)

D’après la question 2° : et 1 x1 x2 3°) f(x) = - 3x² + 6x + 24 D’après la question 2° : et 1 x1 x2 x -∞ 1 +∞ f(x) x -∞ x1 x2 +∞ f(x) - 0 + 0 -

3°) f(x) = - 3x² + 6x + 24 D’après la question 2° : et ( 12 – 3x ) ( x + 2 ) = - 3x² + 6x + 24 = f(x) 1 x1 x2 x -∞ 1 +∞ f(x) x -∞ x1 x2 +∞ f(x) - 0 + 0 -

3°) f(x) = - 3x² + 6x + 24 D’après la question 2° : et ( 12 – 3x ) ( x + 2 ) = - 3x² + 6x + 24 = f(x) 1 Donc f(x) = 0 ( 12 – 3x ) ( x + 2 ) = 0 x1 x2 x -∞ 1 +∞ f(x) x -∞ x1 x2 +∞ f(x) - 0 + 0 -

3°) f(x) = - 3x² + 6x + 24 D’après la question 2° : et ( 12 – 3x ) ( x + 2 ) = - 3x² + 6x + 24 = f(x) 1 Donc f(x) = 0 ( 12 – 3x ) ( x + 2 ) = 0 12 – 3x = 0 ou x + 2 = 0 x = 4 ou x = - 2 x1 x2 x -∞ 1 +∞ f(x) x -∞ - 2 4 +∞ f(x) - 0 + 0 -

D’après la question 2° : et x1 x2 3°) g(x) = 3x + 6 D’après la question 2° : et x1 x2 x -∞ +∞ f(x) x -∞ x2 +∞ f(x) - 0 +

D’après la question 2° : et f(x) = 0 3x + 6 = 0 x = - 2 x1 x2 3°) g(x) = 3x + 6 D’après la question 2° : et f(x) = 0 3x + 6 = 0 x = - 2 x1 x2 x -∞ +∞ f(x) x -∞ -2 +∞ f(x) - 0 +

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Déterminez la position de la courbe de f par rapport à celle de g en fonction de x. Cf croise Cg …

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Déterminez la position de la courbe de f par rapport à celle de g en fonction de x. Cf croise Cg f(x) = g(x) - 3x² + 6x + 24 = 3x + 6 - 3x² + 6x + 24 - 3x – 6 = 0 - 3x² + 3x + 18 = 0 impossible de résoudre cette équation avant de connaître l’outil de 1ère !

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Déterminez la position de la courbe de f par rapport à celle de g en fonction de x. Cf croise Cg f(x) = g(x) - 3x² + 6x + 24 = 3x + 6 - 3x² + 6x + 24 - 3x – 6 = 0 - 3x² + 3x + 18 = 0 impossible de résoudre cette équation avant de connaître l’outil de 1ère ! D’après la question 1°, ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) = - 3x² + 3x + 18

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Déterminez la position de la courbe de f par rapport à celle de g en fonction de x. Cf croise Cg f(x) = g(x) - 3x² + 6x + 24 = 3x + 6 - 3x² + 6x + 24 - 3x – 6 = 0 - 3x² + 3x + 18 = 0 ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) = 0 d’après la question 1° x – 3 = 0 ou - 3x – 6 = 0 x = 3 ou x = - 2

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Déterminez la position de la courbe de f par rapport à celle de g en fonction de x. Cf croise Cg f(x) = g(x) … x = 3 ou x = - 2 x = 3 donne g(3) = 3(3) + 6 = 12 = f(3) le point d’intersection ( 3 ; 12 ). x = - 2 donne g(- 2) = 3(- 2) + 6 = 0 = f(- 2) le point d’intersection ( - 2 ; 0 ).

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Déterminez la position de la courbe de f par rapport à celle de g en fonction de x. Cf au-dessus de Cg …

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Déterminez la position de la courbe de f par rapport à celle de g en fonction de x. Cf au-dessus de Cg f(x) > g(x) - 3x² + 6x + 24 > 3x + 6 - 3x² + 6x + 24 - 3x – 6 > 0 - 3x² + 3x + 18 > 0 ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) > 0 d’après la question 1° Quelle est la méthode pour résoudre cette inéquation ?

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Déterminez la position de la courbe de f par rapport à celle de g en fonction de x. Cf au-dessus de Cg f(x) > g(x) - 3x² + 6x + 24 > 3x + 6 - 3x² + 6x + 24 - 3x – 6 > 0 - 3x² + 3x + 18 > 0 ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) > 0 d’après la question 1° Quelle est la méthode pour résoudre cette inéquation ? La même que dans un exo du chapitre « Analyse de fonctions » : le tableau de signes.

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Cf au-dessus de Cg f(x) > g(x) … ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) > 0 x -∞ -2 3 +∞ x – 3 3x – 6 (x-3)(-3x-6)

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Cf au-dessus de Cg f(x) > g(x) … ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) > 0 x -∞ -2 3 +∞ x – 3 0 3x – 6 0 (x-3)(-3x-6) trouvés précédemment

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Cf au-dessus de Cg f(x) > g(x) … ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) > 0 x -∞ -2 3 +∞ x – 3 - - 0 + 3x – 6 0 (x-3)(-3x-6) car x – 3 = 1x – 3 et 1 > 0 est le coeff. directeur de l’expression affine donc on a une croissance,

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Cf au-dessus de Cg f(x) > g(x) … ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) > 0 x -∞ -2 3 +∞ x – 3 - - 0 + 3x – 6 + 0 - - (x-3)(-3x-6) car -3x – 6 avec -3 < 0 est le coeff. directeur de l’expression affine donc on a une décroissance,

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Cf au-dessus de Cg f(x) > g(x) … ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) > 0 x -∞ -2 3 +∞ x – 3 - - 0 + 3x – 6 + 0 - - (x-3)(-3x-6) - on fait le produit des signes : - par + donne -

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Cf au-dessus de Cg f(x) > g(x) … ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) > 0 x -∞ -2 3 +∞ x – 3 - - 0 + 3x – 6 + 0 - - (x-3)(-3x-6) - 0 on fait le produit des signes : - par + donne -

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Cf au-dessus de Cg f(x) > g(x) … ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) > 0 x -∞ -2 3 +∞ x – 3 - - 0 + 3x – 6 + 0 - - (x-3)(-3x-6) - 0 + on fait le produit des signes : - par + donne – - par - donne +

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Cf au-dessus de Cg f(x) > g(x) … ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) > 0 x -∞ -2 3 +∞ x – 3 - - 0 + 3x – 6 + 0 - - (x-3)(-3x-6) - 0 + 0 on fait le produit des signes : - par + donne – - par - donne +

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Cf au-dessus de Cg f(x) > g(x) … ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) > 0 x -∞ -2 3 +∞ x – 3 - - 0 + 3x – 6 + 0 - - (x-3)(-3x-6) - 0 + 0 - on fait le produit des signes : - par + donne – + par - donne – - par - donne +

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Cf au-dessus de Cg f(x) > g(x) … ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) > 0 x -∞ -2 3 +∞ x – 3 - - 0 + 3x – 6 + 0 - - (x-3)(-3x-6) - 0 + 0 - on veut ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) > 0 qui donne x dans ] – 2 ; 3 [

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Cf en-dessous de Cg f(x) < g(x) …

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 4°) Cf en-dessous de Cg f(x) < g(x) … ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) < 0 x -∞ -2 3 +∞ x – 3 - - 0 + 3x – 6 + 0 - - (x-3)(-3x-6) - 0 + 0 - on veut ( x – 3 ) ( - 3x – 6 ) < 0 qui donne x dans ] – ∞ ; - 2 [ union ] 3 ; + ∞ [

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 5°) Placez dans le même repère les réponses des questions 2° et 4° .

f(x) = - 3x² + 6x + 24 et g(x) = 3x + 6 5°) Placez dans le même repère les réponses des questions 2° et 4°. 27 24 15 6 -2 1 3 4