Tolérancement statistique : quels avantages. Quels Risques Tolérancement statistique : quels avantages ? Quels Risques ? Maurice Pillet

Détermination de la cible en mécanique Condition b Condition = e – a – b – c – d

Détermination des tolérances au pire des cas Max d c b a Condition B 0.02 B Min tolérance b Pire des cas   tolérances = Tolérance condition

Détermination des tolérances au pire des cas 30 9 15 4 1 1 ± 0.5 B 0.02 B b Pire des cas   tolérances = Tolérance condition

Un exemple

Les limites du pire des cas La division de l’intervalle de tolérance sur la cote condition conduit à des tolérances très serrées sur les caractéristiques élémentaires En cas de production bien conduite, la qualité demandée est très supérieure au juste nécessaire

Le tolérancement statistique Moyenne a, Écart type a a Condition Moyenne b, Écart type b b Moyenne c, Écart type c c d Moyenne d, Écart type d Moyenne : e–(a+b+c+d) Variance : ²a +²b+²c+²d+²e Moyenne e, Écart type e e e Quelles que soient les distributions sur a, b, c, d, e (Hypothèse : Indépendance) d c b a Condition

Relation entre sigma et la tolérance On peut admettre une relation de proportionnalité entre l’écart type et la tolérance sigma Tolérance = 6 sigma P= 2700 ppm Tolérance = 8 sigma P= 63 ppm Tolérance = 16 sigma P= 0.002 ppm Tolérance = 2 3 sigma

Détermination des tolérances au pire des cas 1 15 9 30 1 ± 0.5 4 On multiplie la tolérance par racine(n) ! Pire des cas   tolérances = Tolérance condition = 0.2 Statistique   tolérances² = Tolérance condition² = 0.45

Les limites du tolérancement statistique Si on se contente du simple critère de conformité (Cpk>1.33) On peut faire 100% de non-conformes sur la condition avec 100% de conformes sur les caractéristiques !

Le Tolérancement inertiel - une réponse ? IMax Max Cible Tolérancement inertiel Min Tolérancement traditionnel Inertie Écart Moyenne/cible Écart type

La conformité avec le tolérancement inertiel Une pièce I² = 0.1²=0.01 10.1 Acceptée 10.1 10.12 10.0 Acceptée 0.09 10.03 Un lot 10.3 Acceptée

Les situations extrêmes acceptées Centré d=0 s = 1 dMax pour IY = 1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 delta 0.5 0.4 d=1 0.3 0.2 Dispersion nulle s = 0 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sigma

Le cas des tolérances unilatérales Ex : Circularité Imax = 0.1 #1 Une pièce mesurée 0.12 I²= 0.12² I = 0.12 Pièce refusée #2 15 15 42 pièces mesurées s=0.0253 moy =0.0633 I =0.068 Lot accepté 6 3 #3 15 15 35 pièces mesurées s=0.0198 moy =0.103 I =0.104 Lot refusé 5 0.04 0.08 0.12

Et si on ne connaît pas la relation d e Condition b Bruit = ??? Cond = e - ( a + b + c + d ) Mais on dispose d’un historique X1 X2 X3 X4 Bruit 1 1.35 28.3 125 0.02 35,0 2 1.28 28.4 142 0.05 38,5 … 53 1.53 28.5 135 0.03 41.2

Principe du tolérancement par corrélation La cote visée sur la variable résultante est de 15 ± 1 La cote visée sur la variable X est de 10.1 ± 0.3

Statistiques de la régression Méthode statistique Statistiques de la régression R² 0.76 R² Ajusté 0.75 Ecart type résiduel 0.259093   Coefs Ecart type t Probabilité Const 4.79 0.83 5.78 0.000 X 1.02 0.083 12.20

Méthode statistique X = 10 ± 0.6 Détermination de la cible Statistiques de la régression R² 0.76 R² Ajusté 0.75 Ecart type résiduel 0.259093   Coefs Ecart type t Probabilité Const 4.79 0.83 5.78 0.000 X 1.02 0.083 12.20 Détermination de la cible On en déduit la relation pour établir la cible : Ycible = 4.79 + 1,02 Xcible Xcible = (Ycible -4.79)/1,02 = (15-4.79)/1.02 = 10.03 Détermination des tolérances Pour les limites, on utilise l'additivité des variances : X = 10 ± 0.6

Application multicritères D F R C J A 2.999 1.76 0.68 1.08 0.04 19.95 3.002 1.83 2.96 0.26 18.04 3.001 1.66 1.81 0.02 18.87 3.07 1.3 17.75 1.84 0.78 0.52 0.03 19.83 3.003 1.70 1.19 1.18 19.52 1.80 1.21 0.28 19.48 1.78 0.15 0.1 20.22 1.87 0.91 1.12 19.64 3.22 19.78 … 3.000 0.5 19.85 1.74 0.21 18.55 1.79 0.2 18.84 1.85 0.9 0.62 0.01 19.70 1.88 2.11 0.13 19.08 F R J Amplitude C D Régres Coef s T P Const 17,4 0,82 21,28 0,000 F 1,51 0,45 3,36 0,002 R -0,798 0,02 -34,58 J 8,71 2,98 2,92 0,007 Amp = 17.4 + 1.51 F - 0.798 R + 8.71 J S = 0.1508 R-carré (ajus) = 97.8%

Application multicritères F R Amp = 17.4 + 1.51 F - 0.798 R + 8.71 J J Amplitude C S = 0.1508 R-carré (ajus) = 97.8% D Les valeurs cibles sont fixées par la relation Amp = 17.4 + 1.51 F - 0.798 R + 8.71 J On déduit facilement les tolérances avec la relation suivante : V(Amp) = 1,51² V(F) +0,80² V(R) + 8,71² V(J) +se²

Conclusions Tolérancement au pire des cas ; tolérancement statistique ; Comment garantir la qualité ? A quelle coût ? Une solution : Prendre en compte simultanément les critères d’écart et de dispersion Tolérancement inertiel, Statistique + Cpm D F R C J A 2.999 1.76 0.68 1.08 0.04 19.95 3.002 1.83 2.96 0.26 18.04 … 1.88 2.11 0.13 19.08 Tolérancement statistique Aussi lorsqu’on en connaît pas la relation Y = f (X)