Réalisé par GHADA YOUNES MATH 5108 Réalisé par GHADA YOUNES Centre L’Escale 2010

Les fonctions Trigonométriques ( 2 de 4) Les graphiques

dans l'équation canonique: Rôle des paramètres a, b, h et k dans l'équation canonique: f(x) = a sin b (x-h) +k

La fonction de base sinus: f (x) = sin x

Graphique sin x x 1 a=1 -1 Période: p = 2π -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π

Rôle du paramètre a a>0: modifie l'amplitude de la fonction Rôle du paramètre a a>0: modifie l'amplitude de la fonction a<0: un a négatif produit une réflexion par rapport à l'axe des “x”

a>1 f(x) = 1,5 sinx sinx x 1,5 1 -1 -1,5 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π

0 < a < 1 f(x) = 0,5 sinx sin x x 1 0,5 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π -0,5 -1

a<0 ex: a = -1,5 f(x) = -1,5 sinx g(x) = 1,5 sinx sin x x 1,5 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π -1,5 g(x) = 1,5 sinx

Rôle du paramètre b. 1 - Modifie la période de la fonction Rôle du paramètre b 1 - Modifie la période de la fonction 2 - Un b négatif provoque une réflexion par rapport à l'axe des y dans la fonction sin

La période est inversement proportionnelle au paramètre b. formule: I b I= 2π/p

Calcul de b: pour (p = π) calcul: IbI = 2π /π IbI = 2 pour (p = 4 π) Équation: f(x) = sin2x pour (p = 4 π) calcul: IbI = 2π /4π IbI = ½ OU 0,5 Équation: f(x) = sin(x/2)

b >1 ex: b =2 f(x) = sin2x P = π sin x x g(x) =sinx P = 2π 1 -π -π/2 π/2 π 2π g(x) =sinx -1 P = 2π

b<1 ex :b =1/2 P = 4π f(x) = sin x/2 sinx x 1 -4π -2π -π -π/2 π/2 π -1

b<0 ex: b = -1/2 g(x) = sin x/2 sin x x f(x) = sin ( - x/2) 1 -4π -2π 2π 4π x f(x) = sin ( - x/2) -1

Rôle du paramètre h Le déphasage h < 0: f(x) subit une translation horizontale vers la gauche de h h > 0: f(x) subit une translation horizontale vers la droite de h

h>0 ex: Le déphasage h = +π/2 sin x f(x) = sin(x-π/2) 1 -2π -3π/2 -π/2 π/2 3π/2 2π 5π/2 x g(x) =sinx -1 π/2

h<0 ex: Le déphasage h = - π/2 sin x -π/2 1 f(x) =sin(x+π/2) x -5π/2 -2π -3π/2 -π/2 π/2 3π/2 2π g(x) =sinx -1

k provoque une translation verticale de la fonction Rôle du paramètre k k provoque une translation verticale de la fonction k<0: déplacement vers le bas de k. k>0: déplacement vers le haut de k.

Si k = -1 sinx 1 x -2π -3π/2 -π/2 π/2 π 3π/2 2π K =-1 -1

Pour tracer un graphique: Donc, 5 étapes à suivre Pour tracer un graphique:

1- Ramener l'équation sous la forme y = a sin b(x-h)+k ou y = a cos b(x-h)+k 2- Trouver p, a, h et k translation: T (h, k) 3- Tracer y = sin x ou y = cos x 4- Rajouter les paramètres un à un (dans l'ordre) 5- Vérifier les signes pour la réflexion

Applications

Tracer la fonction: f(x) = 1,5 sin2 (x+π/2) + 1

Trouver les valeurs de: p, a, h et k

f(x) = 1,5 sin2 (x+π/2) + 1 π/2 1 1,5 2 h = -π/2 a=1,5 k=1 b=2 un allongement vertical 2 b=2 P = 2 π/ IbI P= 2 π/2 = π h = -π/2 π/2 déplacement horizontal de π/2 vers la gauche k=1 1 déplacement vertical de +1 vers le haut

TRACER LA FONCTION DE BASE: f(x) = sin x 1 g(x)=sinx -2π -π -π/2 π/2 π 2π x -1

Rajouter les paramètres un à un (dans l'ordre)

la période: P = π f(x) = sin2x 1 g(x)=sinx -2π -π -π/2 π/2 π 2π x -1

UN ALLONGEMENT VERTICAL: a = 1,5 f(x) =1,5 sin 2x g(x)=sinx -2π -π -π/2 π/2 π 2π x -1 -1,5

h = -π/2 translation horizontale de π/2 vers la gauche f(x) = 1,5 sin2 (x + π/2) -2π -π -π/2 π/2 π 2π x -1 -1,5

k = 1 translation verticale de 1 vers le haut f(x) =1,5 sin2 (x+π/2) + 1 2,5 1 -π -π/2 π/2 π 2π -2π x -1 -1,5

La fonction de base cosinus: f (x) = cos x

graphique cos x x a=1 Période: P = 2π 1 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 -1 Période: P = 2π

Applications

Tracer la fonction : f(x) = 1,5 cos2 (x-π/4) + 1

Trouver les valeurs de: p, a, h et k

f(x) = 1,5 cos2 (x-π/4 ) +1 1 π/4 1,5 2 h = π/4 a=1,5 k=1 b=2 un allongement vertical 2 b=2 P = 2π/ IbI P = 2π/2 = π h = π/4 π/4 déplacement horizontal de π/4 vers la droite k=1 1 déplacement vertical de +1 vers le haut

la période: P = π cos x x f(x) = cos2 x g(x) = cosx 1 π 3π/2 2π π/4 -π/4 -π/2 π/2 3π/4 5π/4 7π/4 x -1

UN ALLONGEMENT VERTICAL (a = 1,5) f(x) = 1,5 cos 2x g(x) = cos x x 3π/2 2π -π/2 π/2 π -1 -1,5

déplacement horizontal de π/4 vers la droite ( h = π/4) f(x) =1,5 cos2 (x-π/4) g(x) = cosx x π/2 -π/2 -π/4 π/4 π 3π/2 2π -1 -1,5

déplacement vertical de 1 vers le haut (k = 1) f(x) =1,5 cos2 (x-π/4) + 1 2,5 1,5 1 g(x) = cosx x -π/2 π/2 π 3π/2 2π -1 -1,5

La fonction tangente fonction de base: f(x) = tan x La période: P = π I bI = π /P I bI = π / π = 1 Les équations des asymptotes x = n π/2 ( n est un entier)

Tan x f(x) = tan x 1 3π/2 -π -π/2 0 π/2 π 3π/2 x -1 P = π

Cahier d’apprentissage MAT-5108, Brault et Bouthillier Applications Cahier d’apprentissage MAT-5108, Brault et Bouthillier Sous-module 08 Pages 309 et 310 Sous-module 09 Pages 302 à 325

Je tiens à remercier Mme France Garnier pour son soutien techno-pédagogique.