Raisonnement flou Variables linguistiques et propositions floues Proposition floue générale Implication floue Raisonnement Flou Modus ponens classique Modus ponens généralisé Application du Modus ponens généralisé Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Variable linguistique Une variable linguistique est représentée par un triplet (V, XV, TV) V : nom de la variable (age, taille, température, longueur,...) XV : univers des valeurs prises par V (ℝ,...) TV = {A1, A2, ...} : ensemble de sous-ensembles flous de XV, utilisés pour caractériser V. Par exemple: (Age-Personne, [0,130], {Très-jeune, Jeune, Agé}) 1 Age Très-jeune Jeune Agé Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Proposition floue Proposition floue élémentaire : qualification « V est A » d'une variable linguistique (V, XV, TV) Par exemple: « Age-personne est jeune » Proposition floue générale : composition de propositions floues élémentaires de variables linguistiques qui peuvent être distinctes Soit « V est A » p.f.e. de (V, XV, TV), et « W est B » p.f.e. de (W, XW, TW), Exemples de proposition floue générale : « V est A et W est B » « V est A ou W est B » Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Valeur de vérité d’une proposition floue Proposition classique : valeur de vérité  {0, 1} (FAUX ou VRAI) Proposition floue : la valeur de vérité est un sous-ensemble flou à valeurs dans [0,1] Valeur de vérité pA de « V est A » : fA fonction d'appartenance de A Négation: « V n'est pas A » : pAc= fAc = 1-fA Valeur de vérité p d'une proposition floue générale : agrégation des valeurs de vérité pA et pB de chaque proposition floue élémentaire Le type d'agrégation dépend de la composition réalisée (et, ou,...) Conjonction « V est A et W est B » : pAB= min(pA, pB) Disjonction « V est A ou W est B » : pAB= max(pA, pB) Maria Rifqi-Berger DESS TSI

x  X,  y  Y, fI(x, y) = (fA(x), fB(y)) Implication floue Règle de production : lien particulier (implication) entre 2 propositions floues « V est A  W est B » est lue « si V est A alors W est B » « V est A » est la prémisse « W est B » est la conclusion Par exemple: « si Age-personne est Jeune alors Salaire est Bas » Valeur de vérité de l'implication « V est A  W est B » : évaluée par une fonction implicative fI : X x Y  [0,1] x  X,  y  Y, fI(x, y) = (fA(x), fB(y))  est une fonction [0,1]x[0,1] [0,1] qui est équivalente à l'implication classique quand les propositions sont classiques. Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Principales fonctions d'implication floue fI(x, y) = (A(x), B(y)) - Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Logique classique vs Logique floue Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Mode de raisonnement classique Modus ponens de la logique classique Règle: Prémisse  Conclusion Observation: Prémisse-observée Déduction: Conclusion Modus ponens : règle de déduction pour inférer de la connaissance Règle: H est humain  H est mortel Observation: Socrate est humain Déduction: Socrate est mortel Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Mode de raisonnement flou Modus ponens généralisé : extension du MP aux propositions floues Soient (V, XV, TV) et (W, XW, TW) deux variables linguistiques Règle floue: V est A W est B fA fB Observation floue: V est A' fA' Déduction: W est B' fB' fA, fB, et fA' sont connus, on recherche la valeur de fB'(y),  y  Y Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Modus ponens généralisé Règle floue « V est A W est B » Implication x  X,  y  Y, fI(x,y)= (fA(x), fB(y)) Le MPG combine la règle floue avec l'observation « V est A' » pour construire la conclusion B' Opérateur de modus ponens généralisé : fonction T de [0,1]x[0,1] dans [0,1] pour combiner fI et fA' T est une t-norme T est liée à fI pour que le MPG soit compatible avec le modus ponens classique. On a, pour tout y  Y : fB' = supx  X T(fI(x,y), fA'(x)) Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Une règle Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Plusieurs règles Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Exemple d’un système de règles floues Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Max-Min inférence : exemple Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Max-Min inférence : autre exemple Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Exemples d'opérateurs de MPG Zadeh :  u,v  [0,1], T(u,v) = min(u,v) Utilisé avec les implications de Mamdani, Larsen,... Lukasiewicz :  u,v  [0,1], T(u,v) = max(u+v-1,0) Utilisé avec les implications de Lukasiewicz, Reichenbach, Mamdani, Larsen,... Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Applications du modus ponens généralisé Commande floue : ensemble de règles floues + entrée numérique + sortie numérique Contrôle flou de processus Phase de défuzzification nécessaire Systèmes experts flous : ensemble de règles floues + entrée floue + sortie floue Raisonnement flou, inférence de connaissances Pas de défuzzification Raisonnement par analogie : ensemble de règles floues + entrée floue + sortie floue B' est à B ce que A' est à A ressemblance (A,A') doit être la même que ressemblance(B,B') Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Imprécisions et incertitudes Théorie des sous-ensembles flous Modélisation des connaissances imprécises (« environ 20 ans ») ou vague (« jeune ») traitement dans un même cadre des connaissances numériques et des connaissances symboliques Ne permet pas de manipuler dans un même formalisme imprécisions et incertitudes ce qui est très généralement lié : « je suis sûr que nous sommes en fin d'après-midi » mais « je ne suis pas certain qu'il soit exactement 17h30 » De plus, un raisonnement basé sur des connaissances imprécises engendre souvent des incertitudes « Mon train est à 9h32, si je pars de chez moi vers 9h quelle est la certitude que je puisse l'avoir? » Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Théorie des possibilités Introduite en 1978 par L. A. Zadeh (puis popularisée par Dubois et Prade), en liaison avec la théorie des sous-ensembles flous : But: raisonner sur des connaissances imprécises ou vague, en introduisant un moyen de prendre en compte des incertitudes sur les connaissances. Incertitudes non-probabilistes sur des événements : impossibilité d'évaluer correctement leur probabilité de réalisation. « Serais-je en salle 506 lundi 24 Novembre à 14h ? » Probabilité: ici, peu réaliste à évaluer « Il est relativement possible que je sois dans cette salle, et c'est même assez certain. » Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Mesure de possibilité Soit un ensemble de référence fini X On souhaite attribuer à chaque sous-ensemble de X (on parle alors d'événements) un coefficient compris entre 0 et 1 évaluant à quel point cet événement est possible. Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de possibilité  définie sur P(X), l'ensemble des parties de X, à valeur dans [0,1], telle que: (∅)=0, et (X)=1 (A,B) P(X)2, (A∪B) = max((A), (B)) Un événement est tout à fait possible si la mesure de sa possibilité est égale à 1. Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Mesure de possibilité : propriétés Une mesure de possibilité vérifie: (A,B) P(X)2, (A∩B) ≤ min((A), (B)) En particulier, l'occurrence simultanée de 2 événements possibles peut être impossible Monotonie relativement à l'inclusion des parties de X Si A  B alors (A) ≤ (B)  A  P(X), max((A), (Ac)) = 1  A  P(X), (A) + (Ac) ≥ 1 Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Mesure de nécessité Une mesure de possibilité fournit une information sur l'occurrence d'un événement mais elle ne suffit pas pour décrire l'incertitude existante sur cet événement (A) = 1 et (Ac)=1 peuvent être vérifiés en même temps: indétermination complète sur la réalisation de A. On attribue à chaque événement un coefficient évaluant à quel point la réalisation de cet événement est certaine. Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de nécessité N définie sur P(X), à valeur dans [0,1], telle que : N(∅)=0, et N(X)=1 ∀(A,B)∈ P(X)2, N(A∩B) = min(N(A), N(B)) Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Mesure de nécessité : propriétés Une mesure de nécessité vérifie: (A,B) P(X)2, N(AB) ≥ max(N(A), N(B)) Monotonie relativement à l'inclusion des parties de X Si A  B alors N(A) ≤ N(B) A  P(X), min(N(A), N(Ac)) = 0 A  P(X), N(A) + N(Ac) ≤ 1 Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Relations possibilité / nécessité Une mesure de nécessité N peut être obtenue à partir d'une mesure de possibilité  par : A  P(X), N(A) = 1 - (Ac) Plus un événement A est affecté d'une grande nécessité, moins son complémentaire Ac est possible. On a de plus:  A  P(X), (A) ≥ N(A)  A  P(X), max((A), 1-N(A))=1 Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Distribution de possibilité Une mesure de possibilité est totalement définie si on attribue un coefficient de possibilité à toute partie de X. si on indique un coefficient seulement aux parties élémentaires de X, une partie quelconque étant l'union de parties élémentaires. Une distribution de possibilité  est une fonction définie sur X, à valeur dans [0,1], telle que : supxX (x) = 1 A partir d 'une distribution de possibilité , on construit une mesure de possibilité : A  P(X), (A) = supxA (x) Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Possibilité de sous-ensemble flou Possibilité et nécessité ont été introduites pour quantifier la certitude sur un événement, elles s'appliquent à des sous- ensembles ordinaires de X Pour des sous-ensembles flous de X, on peut indiquer dans quelle mesure ils sont possibles et/ou certains, à partir d'une connaissance préalable donnée sur X. Ainsi, étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X, un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A. On évalue alors la possibilité de B relative à A par : (B; A)= supxX min (fB(x), fA(x)) (B; A) mesure le degré maximal avec lequel un élément x de X peut appartenir à la fois à A et à B. Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Nécessité de sous-ensemble flou Étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X, un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A. On évalue alors la nécessité de B relative à A par : (B; A)= 1- (Bc; A)= infxX max (fB(x), 1-fA(x)) N(B; A) mesure le degré avec lequel B est inclus dans A. Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Exemple ~100 km/h Rapide 1 km/h 90 100 110 On représente le concept de « vitesse rapide » par un s.e.f. Sur l'espace des vitesses. Une moto roule à env. 100km/h. Questions: Avec qu'elle certitude peut on dire que la moto roule avec une vitesse rapide? Avec quel degré env. 100km/h signifie-t-il « vitesse rapide »? ~100 km/h Rapide 1 km/h 90 100 110 Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Exemple : possibilité et nécessité (env.100; Rapide)= supxX min (fenv.100(x), fRapide(x)) = 0,6 ~100 km/h Rapide 1 90 100 110 km/h 0,6 (env.100; Rapide)= infx  X max (fenv.100(x), 1-fRapide(x))= 0 90 100 110 1 km/h Rapide ~100 km/h Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Apprentissage non supervisé Étant donné un ensemble d'exemples (des points dans un plan, ...) On ne connaît pas de classe à associer aux exemples Il faut découvrir des classes, faire des regroupements d'éléments similaires Clustering = construction de paquets Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Méthodes de C-moyennes Une des plus anciennes méthodes de clustering existantes (1967). Algorithme des C-means. Partition d'une population Affectation sans équivoque ( ou ) de chaque exemple à une classe L'algorithme : Sélection de c points (au hasard) : centroïdes. Affectation de chaque exemple au centroïde le plus proche (distance). Constitution de clusters. Calcul de nouveaux centroïdes : on prend la moyenne, composante par composante, pour tous les exemples d'un cluster. Retour à l'étape 2 jusqu'à stabilisation des frontières entre les clusters. Maria Rifqi-Berger DESS TSI

C-moyennes: étape 1 Maria Rifqi-Berger DESS TSI

C-moyennes: étape finale X O X Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Méthodes des C-moyennes: Inconvénients Problèmes de prise en compte des variables non- numériques (nécessité de posséder une mesure de distance) Traduction en valeurs numériques Construction de matrices de distances Problème du choix du nombre de centroïdes c Problème du choix de la normalisation dans le calcul de la distance (même poids pour chaque composante) Pondération, normalisation, agrégation Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Méthode des C-moyennes floues Généralisation de l'algorithme des C-moyennes Partition floue des données Fonctions d'appartenance aux clusters Problématique : trouver une pseudo-partition floue et les centres des clusters associés qui représente le mieux la structure des exemples. Utilisation d'un critère permettant de mesurer les associations fortes à l'intérieur d'un cluster, faibles à l'extérieur Index de performance Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Rappels Pseudo-partition floue C-partition floue Ensemble de sous-ensembles flous non vides {A1, A2,..,An} de X tel que: xX, C-partition floue Une c-partition floue (c>0) de X est une famille P ={A1, A2,..,Ac} de c sous-ensembles flous tels que : Maria Rifqi-Berger DESS TSI

C-moyennes floues Soit X={x1, x2, ..., xn} un ensemble de données où chaque xk peut être un vecteur: xk=(xk1, xk2,...,xkp) Étant donné une c-partition floue P= {A1, A2,..,Ac}, les c centres v1, v2,..., vc associés à chaque cluster flou sont calculés par : Avec mℝ, m > 1, influence des degrés d'appartenance. vi: centre du cluster flou Ai Moyenne pondérée des données de Ai Le poids d'une donnée xk est la puissance mième de son degré d'appartenance à Ai. Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Index de performance d'une partition floue Soit la c-partition floue P= {A1, A2,..,Ac}, son indice de performance est défini par: Avec ||.||: norme sur ℝp qui permet de mesurer la distance entre xk et vi Plus Jm(P) est faible, meilleure est P Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Algorithme de Bezdek (1981) Algorithme d'optimisation d'une partition floue: algorithme des c-moyennes floues (Fuzzy c-means). Hypothèses: C connu, On possède une distance (mesure), Un réel m  ]1,+∞[ est donné, Un nombre positif ℇ petit est donné (critère d'arrêt). Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Algorithme de Bezdek Etape 1: Soit t=0, sélectionner une partition floue initiale P(0). Etape 2: Calculer les c centres v1(t), v2(t),...,vc(t) pour P(t) grâce à (1) Etape 3: Mise à jour de P(t) pour construire P(t+1):  xk  X, Si alors si pour quelque iI ℕc , alors on définit pour iI par tout nombre réel >0 tel que: et on définit pour tout iℕc-I Etape 4: Comparer P(t) et P(t+1) Si |P(t) - P(t+1)| ≤ ℇ alors on s'arrête, sinon on incrémente t et on retourne à l'étape 2. On a : (distance entre les partitions) Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Construction de clusters flous – Exemple Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Construction de clusters flous – Résultat final Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Arithmétique floue - Intervalles et nombres flous Un sef F est convexe si (x, y)RxR, z  [x,y], fF(z)min(fF(x), fF(y)) Propriété équivalente au fait que toute –coupe de F est une partie convexe de R. Quantité floue : sef normalisé de R. Intervalle flou : quantité floue convexe Nombre flou : intervalle flou de fonction d’appartenance semi-continue supérieurement et de support compact. 1 R a m b Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Addition floue Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Arithmétique floue – Intervalles flous de type L-R (1) Quantité floue I dont la fonction d’appartenance dépend de 4 paramètres (m,m’,a,b) et de 2 fonctions L er R telles que : L(0)=R(0)=1 L(1)=0 ou L(x)>0 x avec limx L(x)=0 R(1)=0 ou R(x)>0 x avec limx R(x)=0 I=(m,m’,a,b)LR Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Arithmétique floue – Intervalles flous de type L-R (2) Cas particulier : nombre flou I=(m,a,b) LR avec m=m’. Fonctions L et R particulières : L(x)=R(x)=max(0,1-x) pour des intervalles flous trapézoïdaux ou des nombres flous triangulaires. Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Arithmétique floue – Opérations sur les L-R I=(m,m’,a,b)LR J=(n,n’,c,d)LR alors : -I=(-m’,-m,b,a)RL I  J = (m+n, m’+n’, a+c, b+d)LR I  J = (m-n’, m’-n, a+d, b+c)LR si L=R Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Fonction appliquée à un nombre flou Maria Rifqi-Berger DESS TSI