Introduction aux plans d'expériences Master 1 – Outils statistiques Introduction aux plans d'expériences 25/03/2017

Introduction aux plans d’expériences Plan du cours Introduction aux plans d’expériences Problématique Notion d’espace expérimental Plans factoriels complets à deux niveaux: 2k Plan à deux facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des générateurs d’aliases Calcul des contrastes Technique pour désaliaser 25/03/2017

Problématique Les systèmes peuvent être complexes. Ils sont pilotés par de nombreux paramètres de conception et de réglages (X1, X2, Xi,…). L'objet des plans d’expériences (experimental designs) est de quantifier l'influence des paramètres sur la réponse à partir de résultats d'expérimentations. 25/03/2017

Pour cela, il existe plusieurs stratégies d'expérimentation : Problématique Pour cela, il existe plusieurs stratégies d'expérimentation : Les plans complets : Cette stratégie consiste à tester toutes les combinaisons des paramètres sélectionnés (très long et coûteux) Les plans réduits : Cette stratégie consiste à tester une partie de toutes les combinaisons des paramètres. Les plans Taguchi : Génichi Taguchi a proposé une sélection de plans réduits (non traité ici). 25/03/2017

bandage de l’élastique accrochage de l’élastique Problématique Cette catapulte a été conçue de manière à ce que l’on puisse facilement modifier 5 des paramètres de construction ou d’utilisation : bandage de l’élastique accrochage de l’élastique position du bol sur le bras angle de butée de percussion angle d’armement Catapulte et ses différents réglages 25/03/2017

But: Optimiser la distance de tir! Problématique En résumé But: Optimiser la distance de tir! 25/03/2017

Problématique Méthode classique: on fixe le niveau de toutes les variables sauf une et on mesure la réponse y en fonction de plusieurs valeurs non fixées x1 25/03/2017

Méthode des plans d’expériences Problématique Méthode des plans d’expériences On fait varier les niveaux de tous les facteurs à la fois à chaque expérience, mais de manière programmée et raisonnée. Choquant? Non!! Avantages (mais pas toujours intuitifs): Diminution du nombre d’essais. Nombre de facteurs étudiés très grand Détection des interactions entre facteurs Détection des optimaux Meilleure précision sur les résultats Optimisation des résultats Modélisation des résultats DANS CE COURS, LE BUT SERA SURTOUT LA RECHERCHE DES FACTEURS INFLUENTS (PAS FORCEMMENT DE L’OPTIMAL) 25/03/2017

Introduction aux plans d’expériences Plan du cours Introduction aux plans d’expériences Problématique Notion d’espace expérimental Plans factoriels complets à deux niveaux: 2k Plan à deux facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des générateurs d’aliases Calcul des contrastes Technique pour désaliaser 25/03/2017

Notion d’espace expérimental La valeur donnée à un facteur pour réaliser un essai est appelée niveau. Lorsqu'on étudie l'influence d'un facteur, en général, on limite ses variations entre deux bornes. La borne inférieure est le niveau bas. La borne supérieure est le niveau haut. 25/03/2017

Notion d’espace expérimental 25/03/2017

Eventuellement: modéliser la réponse Notion d’espace expérimental Eventuellement: modéliser la réponse 25/03/2017

Introduction aux plans d’expériences Plan du cours Introduction aux plans d’expériences Problématique Notion d’espace expérimental Plans factoriels complets à deux niveaux: 2k Plan à deux facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des générateurs d’aliases Calcul des contrastes Technique pour désaliaser 25/03/2017

Plans factoriels complets à deux niveaux PLANS FACTORIELS COMPLETS A DEUX NIVEAUX Ces plans possèdent un nombre de niveaux limité à deux pour chaque facteur. Toutes les combinaisons de niveaux sont effectuées au cours de l'expérimentation. Ces plans peuvent être utilisés indistinctement pour les variables continus et pour les variables discrètes. Exemple: Le rendement d’une réaction dépend de t° et de P. A B C D 60°C 80°C 60°C 80°C 1 bar 1bar 2 bars 2 bars 25/03/2017

Plans factoriels complets à deux niveaux 2 A B 1 60 80 t On peut démontrer que la meilleure stratégie consiste à choisir les 4 points aux extrémités du domaine expérimental. 25/03/2017

Facile: meilleur rendement 80°C, 2 bars Plans factoriels complets à deux niveaux N essais T (facteur 1) P(facteur 2) rendement 1 2 3 4 - + 60 70 80 90 Niveau - 60°C 1 bar Niveau + 80°C 2 bars Facile: meilleur rendement 80°C, 2 bars 25/03/2017

Plans factoriels complets à deux niveaux Moyenne des réponses au niveau haut de t 80% 90% y3 y4 +1 70% 80% Effet moyen de t y1 y2 -1 60% 70% -1 +1 t Moyenne des réponses au niveau bas de t Effet moyen de P 25/03/2017

Ajoutons la moyenne Plans factoriels complets à deux niveaux 25/03/2017

Plans factoriels complets à deux niveaux N essais T (facteur 1) P(facteur 2) rendement 1 2 3 4 - + 60 70 80 95 Niveau - 60°C 1 bar Niveau + 80°C 2 bars Autre exemple, mais cette fois avec un catalyseur 25/03/2017

Plans factoriels complets à deux niveaux Effet moyen de t Effet moyen de P Interaction température pression 25/03/2017

Plans factoriels complets à deux niveaux N essais Moyenne T (facteur 1) P(facteur 2) Interaction rendement 1 2 3 4 + + + + - + 60 70 80 95 diviseur Effet 76,5 6,25 11,25 1,25 25/03/2017

Plan complet à trois facteurs 23 Plans factoriels complets à deux niveaux Plan complet à trois facteurs 23 N° essai M F1 F2 F3 Rep. 1 2 3 4 5 6 7 8 + - 38 37 26 24 30 28 19 16 25/03/2017

Plans factoriels complets à deux niveaux N° essai M F1 F2 F3 I12 I13 4 5 6 7 8 + - div. Effet 27,5 -1 -6 -4 -0,25 0,25 Sans effet 25/03/2017

Construction des plans d’expériences Plans factoriels complets à deux niveaux Construction des plans d’expériences Signes du facteur 1: - + - + - + … Signes du facteur 2: - - + + - - + + … Signes du facteur 3: - - - - + + + + … Etc… 25/03/2017

Plans factoriels complets à deux niveaux 25/03/2017

Plans factoriels complets à deux niveaux Sans influence 25/03/2017

Plans factoriels complets à deux niveaux 1,3,9,11 identiques puisque les facteurs 2 et 4 sont sans influence 25/03/2017

Plans factoriels complets à deux niveaux Tout se passe comme si l’on avait répété quatre fois un plan à trois facteurs 25/03/2017

Concentration maïs faible Présence de précurseur Absence de glucose Plans factoriels complets à deux niveaux Meilleur résultat: Concentration maïs faible Présence de précurseur Absence de glucose 25/03/2017

Notation matricielle Plans factoriels complets à deux niveaux N essais Moyenne T (facteur 1) P(facteur 2) Interaction TP 1 2 3 4 + + + + - + transposée 25/03/2017

XtY=4E E=XtY/n Matrice vecteur Y des réponses Plans factoriels complets à deux niveaux Matrice vecteur Y des réponses Matrice vecteur E des effets soit XtY=4E E=XtY/n Une fois généralisée: 25/03/2017

Introduction aux plans d’expériences Plan du cours Introduction aux plans d’expériences Problématique Notion d’espace expérimental Plans factoriels complets à deux niveaux: 2k Plan à deux facteurs Plan à trois facteurs Un exemple de plan à cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des générateurs d’aliases Calcul des contrastes Technique pour désaliaser 25/03/2017

Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Pour 7 facteur, 27 = 128 essais!!! Pour diminuer le nombre des essais en conservant la possibilité d'étudier tous les facteurs, les plans factoriels fractionnaires à deux niveaux sont introduits. 25/03/2017

On expliquera ce choix plus tard Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Plan complet à trois facteurs 23 Plan fract. 23-1 N° essai M F1 F2 F3 Rep. 1 2 3 4 5 6 7 8 + - 38 37 26 24 30 28 19 16 N° essai M F1 F2 F3 Rep. 2 3 5 8 + - 37 26 30 16 On expliquera ce choix plus tard 25/03/2017

… Très proches finalement… mais quel est le prix à payer?? Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p … Plan complet Plan fract. I Fact1 Fact 2 Fact 3 27,5 -1 -6 -4 -0,75 -6,25 -4,25 Très proches finalement… mais quel est le prix à payer?? 25/03/2017

Reprenons les calculs de E3 et E12 Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Reprenons les calculs de E3 et E12 e3 = E3 + E12 E3 et E12 sont dits aliasés, e3 peut être appelé aliase ou contraste ou simplement effet. 25/03/2017

Nombre d’expériences divisé par 2. Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Nombre d’expériences divisé par 2. Prix à payer: Les effets calculés ne sont plus « purs », ils sont mélangés ou aliasés avec les interactions. Ici les interactions étaient négligeables donc Interprétations d’une façon générale plus complexe!! e3  E3 25/03/2017

Hypothèses d’interprétation Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Hypothèses d’interprétation 1. Les interactions du troisième ordre ou plus sont considérées comme négligeables. 2. Si un contraste est nul, cela peut signifier : que les effets aliasés sont nuls que les effets aliasés se compensent (cas rare) 3. Si deux effets sont faibles, on supposera que leur interaction l’est aussi 4. Si deux effets sont forts, on se mefiera de leur interaction qui peut également être forte. 25/03/2017

Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p N° essai I F1 F2 F3 I12 I13 I23 I123 5 2 3 8 + - + + 1 6 7 4 1er demi plan 2e demi plan Identiques pour les facteurs 1 et 2 Notation de Box Si on considère le ½ plan sup. 3 = 12 équivalent à e3=E3+E12 Si on considère le ½ plan inf. 3 = -12 équivalent à e’3=E3-E12 25/03/2017

Sur le premier ½ plan: e1 = E1 + E23 e2 = E2 + E13 e3 = E3 + E12 Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Sur le premier ½ plan: e1 = E1 + E23 e2 = E2 + E13 e3 = E3 + E12 eM = I + E123 Sur le deuxième ½ plan: e’1 = E1 - E23 e’2 = E2 - E13 e’3 = E3 - E12 e’M = I - E123 Une colonne de signes multipliée par elle-même donne une colonne de signes + I = 12 = 22 = 32 25/03/2017

Générateur d’aliases Pour le ½ plan sup. I = 123 I x 1 = 123 x 1 Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Générateur d’aliases Pour le ½ plan sup. I = 123 I x 1 = 123 x 1 1 = 1223 1 = 23 2 = 13 3 = 12 générateur d’aliases On comprend maintenant le choix des essais 5, 2, 3, 8. On a pris les essais correspondant aux signes + de l’interaction 123. 25/03/2017

Au mieux, seulement la moitié des expériences est réalisée. Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Méthode dangereuse? Non, on peut toujours réaliser la deuxième moitié du plan s’il y a un doute. Au mieux, seulement la moitié des expériences est réalisée. Outils qui s’adapte parfaitement à l’acquisition progressive des données 25/03/2017

Contruction des plans fractionnaires Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Contruction des plans fractionnaires 2 facteurs -> 3 facteurs (23-1 fractionnaire) N° essai M F1 F2 I12 1 2 3 4 + - N° essai M F1 F2 F3 1 2 3 4 + - 3 = 12 On prend une interaction d’ordre élevé. Ici I12 Générateur d’aliases : 123 25/03/2017

Contruction des plans fractionnaires Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Contruction des plans fractionnaires 3 facteurs -> 5 facteurs (25-2 fractionnaire) I F1 F2 F3 I23 I123 + - I F1 F2 F3 F4 F5 234 1235 + - 4 = 23 5=123 On prend deux interactions d’ordre élevé. Ici I23 et I23 Deux générateurs d’aliases : I = 234 et I = 1235 25/03/2017

Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p 25/03/2017

Groupe des générateurs d’aliases des plans 2k-p Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Groupe des générateurs d’aliases des plans 2k-p Ces deux générateurs d’aliases : I = 234 et I = 1235 sont dits indépendants. Ils traduisent le fait que 234 = 1235 = I Si l’on multiplie entre eux les générateurs d’aliases indépendants, on obtient: I x I = 1235 x 234 I = 1223245 = 145 I = 234 = 1235 = 145 Tous ne présentent que des signes + Le générateur I = 145 est dit dépendant 25/03/2017

Calcul des contrastes I = 234 = 1235 = 145 Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Calcul des contrastes I = 234 = 1235 = 145 I x 1 = 234 x 1 = 1235 x 1 = 145 x 1 1 = 1234 = 235 = 45 e1 = E1 + E1234 + E235 + E45 … 25/03/2017

Générateur d’aliases: faisons une parenthèse Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Générateur d’aliases: faisons une parenthèse Imaginons 4 = 123 5 = 12 6 = 23 7 = 13 Ce qui donne comme GA indépendants I = 1234 = 125 = 236 = 137 Les générateurs d’aliases dépendants se calculent à partir des générateurs indépendants en les multipliant 2 à 2, 3 à 3, et 4 à 4 25/03/2017

Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Multiplication 2 à 2 1234 x 125 = 345 1234 x 236 = 146 1234 x 137 = 247 125 x 236 = 1356 125 x 137 = 1267 Multiplication 3 à 3 1234 x 125 x 236 = 2456 1234 x 125 x 137 = 567 125 x 236 x 137 = 567 1234 x 236 x 137 = 3467 Multiplication 4 à 4 1234 x 125 x 236 x 137 = 1234567 25/03/2017

Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Le GGA devient: I = 1234 = 125 = 236 = 137 = 345 = 146 = 247 = 1356 = 2357 = 1267 = 2456 = 1457 = 567 = 3467 = 1234567 Ouf! Heureusement on néglige les interactions d’ordre supérieur à 2 dans les calculs des contrastes. 25/03/2017

Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Notion de résolution: On appellera plan de résolution III, un plan fractionnaire dans lequel les facteurs principaux seront aliasés aux interactions d’ordre 2. C’est le cas d’un plan 23-1 défini par I = 123 e1 = E1 + E23 e2 = E2 + E13 e3 = E3 + E12 On appellera plan de résolution IV, un plan fractionnaire dans lequel les facteurs principaux seront aliasés aux interactions d’ordre 3. C’est le cas d’un plan 24-1 défini par I = 1234 Exemple… 25/03/2017

Un exemple: le gâteau d’anniversaire Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Un exemple: le gâteau d’anniversaire La réponse est la hauteur du cake mesurée en millimètres. Plus, il sera haut meilleur sera le résultat. Comme on ne veut pas préparer 32 gâteaux, on décide d'exécuter un plan factoriel fractionnaire 25-2 en aliasant le facteur 4 sur l'interaction 123 et le facteur 5 sur l'interaction 13. 25/03/2017

Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p + + - Générateur d’aliases indépendants: 1234 et 135 Générateur d’aliases dépendant: 1234 x 135 = 245 I = 135 = 245 = 1234 25/03/2017

Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p I x 1 = 135 x 1 = 245 x 1 = 1234 x 1 1 = 35 = 1245 = 234 e0= E0 + E135 + E245 + E1234  E0 e1 = E1 + E35 + E1245 + E234  E1 + E35 e2 = E2 + E45 + E134 + E1235  E2 + E45 e3 = E3 + E15 + E124 + E2345  E3 + E15 e4 = E4 + E25 + E123 + E1345  E4 + E25 e5 = E5 + E13 + E24 + E12345  E5 + E13 + E24 e12 = E12 + E34 + E235+ E145  E12 + E34 e14 = E14 + E23 + E125 + E345  E14 + E23 Les contrastes sont simplifiés en tenant compte des hypothèses d'interprétation (Hypothèse 1) 25/03/2017

e0  E0 = 30 e1  E1 + E35 = -11 e2  E2 + E45 = 1 e3  E3 + E15 = -2 Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p e0  E0 = 30 e1  E1 + E35 = -11 e2  E2 + E45 = 1 e3  E3 + E15 = -2 e4  E4 + E25 = 1 e5  E5 + E13 + E24 = 12 e12  E12 + E34 = 2 e14  E14 + E23 = 1 Cinq contrastes sont faibles. D'après l'hypothèse 2, on peut conclure que les effets et les interactions aliasés dans ces contrastes sont tous faibles. On néglige les facteurs Durée (2), Farine (3) et Sucre (4). 25/03/2017

Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p En revanche les contrastes e1 et e5 ne sont pas négligeables. Il faut donc se méfier de l'interaction E15 qui pourrait être forte (Hypothèse 4). Cette interaction est aliasée avec le facteur 3 dans le contraste e3. Comme ce contraste est faible, l'interaction l'est aussi (Hypothèse 2). On peut donc conclure qu'il y a 2 facteurs influents sur la hauteur du gâteau, la Température (1) et le nombre d'oeufs (5). Il n'y a pas d'interaction entre ces deux facteurs. Si l'on veut un gâteau de bonne hauteur, il faut travailler à 160°C (niveau bas) et avec 4 oeufs (niveau haut). 25/03/2017

Technique pour désaliaser Un exemple: Un plan fractionnaire 25-2 Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Technique pour désaliaser Un exemple: Un plan fractionnaire 25-2 On construit un plan de base 23 que l’on aliase avec les facteurs supplémentaires 4 = 123 et 5 = 13 Le groupe de générateur d’aliases devient I = 1234 = 135 = 245 On obtient après simplification… 25/03/2017

Semblent non significatifs Semblent significatifs Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Semblent non significatifs e2  E2 + E45  0 soit E2  0 et E45  0 e4  E4 + E25  0 soit E4  0 et E25  0 e12  E12 + E34  0 soit E12  0 et E34  0 e14  E14 + E23  0 soit E14  0 et E23  0 Semblent significatifs e1  E1 + E35 = -2,18 e3  E3 + E15 = -3,33 e5  E5 + E13 + E24 = -4,55 Il est difficile de conclure car l’interaction 35 peut être différente de zéro étant donné que les effets 3 et 5 sont influents. De même pour les interactions 15 et 13… 25/03/2017

Il faudrait pouvoir calculer les contrastes: Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Il faudrait pouvoir calculer les contrastes: e’1  E1 - E35 e’3  E3 - E15 e’5  E5 - E13 Générateur d’aliases I= -135 parce qu’on obtiendrait: E1 = (e1 + e’1)/2 E35 = (e1 - e’1)/2 Nous devons donc bâtir un plan complémentaire 4 = 123 et 5 = -13 Avec comme GGA : I = 1234 = -135 = -245 25/03/2017

Conclusion Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p Seuls deux facteurs sont influents et une forte interaction existe entre ces deux facteurs E1 E2 E3 E4 E5 E15 E25 E35 E45 E12+E34 E13+E24 E14+E23 I +E1234 -1,34  1 -0,78  1 -0,07  1 -0,87  1 -3,84  1 -3,26  1 0,97  1 -0,84  1 0,22  1 0,09  1 -0,71  1 -0,68  1 25,45  1 25/03/2017