9 La complexité des activités mathématiques 9-2 Façons de calculer la multiplication 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Les méthodes de calculs sont nombreuses Elles diffèrent par diverses propriétés: Le matériel disponible (doigts, boulier, baguettes, planche à poussière, papier et plume, etc.); les répertoires mentaux du calcul : les doubles pour méthode égyptienne ou russe); la table de Pythagore pour la méthode per gelosia) les conditions d’utilisation (temps, place: Ex. Fibonacci) Le « coût » des apprentissages et le temps disponible La fiabilité: les risques d’erreurs dépendent de différents facteurs liés à la méthode de calcul… 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Variantes de la méthode de Fibonacci Même lorsque les méthodes sont les mêmes, les dispositions peuvent être différentes FRANCE 1 2 3744 1872 . 1 1 22464 624 x 36 CHILI ? 1 1 retenues somme 1 retenues 2ième produit 1 2 retenues 1er produit 624 x 36 3744 + 1872 22464 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Étude théorique Modélisation 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

La détermination théorique des variables 1 Le calcul, par la méthode de Fibonacci, d’une opération a(i)10i (0 i  n-1) x b(j)10j (0  j  m-1) , de taille (n, m) | (mn) se décompose en : Le calcul en ligne de m produits partiels tels que a(i)10i (0 i  n-1) x b(j)10j de taille (n, 1) - Chaque produit partiel étant formé lui-même de n produits élémentaires : a(i) 10i x b(j)10j de taille (1,1) - dont r d’entre eux présentent une retenue (r est le nombre de produits élémentaires tels que a(i)xb(j)> 9) b) Le calcul de la somme des m produits partiels. Représenter les méthodes de calcul par un organigramme 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Les propriétés ergonomiques varieront donc : De toute façon il faudra effectuer nxm produits élémentaires, leur affecter une puissance de dix et sommer tous ces nombres . Les propriétés ergonomiques varieront donc : suivant les difficultés propres aux chiffres figurant dans les deux nombres (ceux de la table qui sont utilisés) suivant les opérations de service - le repérage des produits élémentaires à effectuer, - la complexité des opérations à effectuer mentalement entre deux étapes achevées (résultats intermédiaires), - la quantité de types d’informations différents à mémoriser à titre provisoire à un même instant (position des chiffres, retenues…,) Il suffit d’imaginer ce qu’un élève devrait noter à chaque instant s’il devait interrompre son travail pour pouvoir le reprendre exactement au même endroit plus tard. - la disposition des résultats intermédiaires Le premier modèle de l’action des élèves que nous allons établir sur ces bases ne prévoira pas les difficultés résultant des interactions entre les difficultés 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Créer l’organigramme Il suffit de décrire la suite des opérations effectuées par les élèves comme on le ferait pour un processus industriel à l’aide de la méthode P.E.R.T. ou pour le graphe d’un programme informatique Nous prenons pour modèle la description de l’exécution d’un produit élémentaire, dans le calcul d’un produit partiel d’une opération particulière. C’est le cœur de l’organigramme. Décrire le travail de l’élève implique aussi noter le travail de mémorisation immédiate (temporaire). A chaque instant l’élève doit garder en mémoire puis modifier trois renseignements provisoires (les deux places des nombres qu’il traite ou va traiter, la trace de la retenue qu’il utilise ou qu’il va évaluer. La valeur n - nombre de chiffres du multiplicande - joue un rôle important car c’est le nombre de boucles que l’élève doit enchaîner sans pause. Elles forment un sous programme assez long et complexe à l’intérieur duquel les erreurs se répercutent, et par conséquent qui doit être effectué ou vérifié d’un trait. P.E.R.T. Program Evaluation and Review Technique 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Boucle élémentaire dans un produit partiel O. Repérer (i, j)= (2,1) rappel mémoire de la position Lire les chiffres en i et j : (6 , 2) Produit 6x2= 12 rappel table x (mémo perma.) Rappel retenue 2 rappeler la retenue précédente Somme 14 table + (mémo permanente) Décomposer [1,4] mémoriser la retenue suivante Écrire 4 Écrire le chiffre unités , Le i suivant existe-t-il? Si oui incrémenter i  i+1, (3,1) mémoriser la position Si non écrire la retenue devant le chiffre des unités Incrémenter j  j+1, i=1 mémoriser la position lire les chiffres en j+1 et 1 si les places sont vides  aller à « somme » Si non décaler la position du premier chiffre à poser  Retourner à O 3744 1872 . 22464 1 1 624 x 36 . i j 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Boucle élémentaire simplifiée de la méthode de Fibonacci Calcul du ou des chiffres correspondant à la position i,j Début Calcul du j+1ème produit partiel Fin Non de ligne J ? des produits Calcul de la somme oui Nombre chiffres du multiplicande : m Nombre de chiffres du multiplicateur: p La taille t de l’opération est t = m x p t est le nombre de reproductions de la procédure i,j 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Voici un organigramme de la même boucle que précédemment Voici un organigramme de la même boucle que précédemment. Mais il décrit les « actes » du calculateur à l’aide d’un répertoire de décisions beaucoup plus détaillé que le précédent. La complexité du graphe dépend donc du répertoire avec lequel l’action est décrite 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

L’analyse a priori du modèle L’influence de la taille des opérations sur la réussite des élèves suivant la probabilité d’erreur p à un produit élémentaire (de taille 1). Supposons que les boucles élémentaires d’une opération de taille nxm = t présentent des risques d’erreurs égaux, qu’elles soient indépendantes (nous avons vu qu’elles ne le sont pas) et que la probabilité d’une erreur dans chaque boucle soit constante p (non). La probabilité que l’opération entière soit juste (la fiabilité f de l’élève) est f = (1 – p)t Cette fonction est très sensible à la valeur p  Probabilité de réussite de trois élèves selon la taille et la fiabilité f (2 %) f (5%) f(10%) Taille 1 (boucle) 4 16 64 * 2% 0,92 0,72 0,27 5% 0,81 0,44 0,037 10% 0,65 0,18 0,011 * Note Dans les calculs professionnels d’aires agraires on pouvait trouver jadis des multiplications de taille 8x8 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Probabilité de réussite suivant la taille de l’opération Erreurs de table 2% fiabilité 98% Erreurs de table 5% fiabilité 95% Erreurs de table 8% fiabilité 92% Zone d’usage le plus fréquent La discrimination y est maximale % d’opérations justes Les tailles les plus utilisées sont celles qui sont le plus discriminantes. La courbe théorique a été empiriquement vérifiée en 1970 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Conclusions de l’étude théorique La fiabilité d’une boucle dépend : Des paires de chiffres concernés (table) De la présence de retenues (0, 1 importation ou exportation, les 2) Du rang dans le produit partiel Ces paramètres feront l’objet d’études empiriques (voir ci-après) Pour assurer une note de 16/20 sur les opérations 4x4 proposées dans les évaluations, les élèves doivent atteindre une fiabilité de 99% sur chaque boucle. Il suffit d’une connaissance hésitante sur UNE valeur de la table pour compromettre ce résultat Il reste à évaluer le temps et les efforts d’apprentissage ainsi que les contraintes didactiques nécessaires pour atteindre cette performance, dans l’environnement moderne où les élèves ne voient plus personne calculer 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

et Modélisations expérimentales études empiriques et Modélisations expérimentales 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Méthodes empiriques : principes, exemples Les méthodes empiriques Elles consistent à étudier les facteurs d’erreurs effectivement observées dans les résultats de cohortes d’élèves répondant à des épreuves didactiques spontanées (par exemple on pourrait prendre tous les travaux des élèves des écoles Michelet (COREM) et noter toutes les valeurs des variables que l’on possède à ce sujet et procéder à des analyses de la variance divers types d’analyses factorielles … Qui permettent des confrontations à des modèles théoriques ou empiriques Par exemple on peut observer que la distribution des fréquences des différentes types de difficultés n’y est pas uniforme : les difficultés sont plus fréquentes que le hasard ne le prévoit 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Connaissance des tables (résultats empiriques) Taille 1x1 Dans la table de Pythagore Dissymétrie erreurs [ n x 0] << erreur [0 x n] Rangement global des fréquences d’erreurs. 1 < 10< 2  5 < 4  3 <… En fait on peut distinguer des zones de difficultés croissantes: Zones nx0 11x0 (11produits) Zone 0xn (10 produits) Zone 1xn ou nx1 (ad.19p) Zone 2xn ou nx2 8 produits Zone 5xn ou nx5 7 produits supplémentaires Zone 3xn… 4 produits sup. Zone 4 3 produits sup. Zone des carrés (6 résultats nouveaux) Zone des 9 : 6x9 ;7x9; 8x9; Zone des 6x7; 6x8; 7x8 ; 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Un ordre des apprentissages complémentaires Zone des doubles n X 1 1 X n Multiples de 5 Multiples de 3 Multiples de 4 Les carrés Multiples de 9 6X7 6X8 7X8 n X 0 0 X n X X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Effet de la retenue Résultat empirique 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Les méthodes expérimentales Elles consistent à préparer des plans d’expériences pour contrôler le rôle de certains facteurs, et mettre en évidence leurs relations avec certaines propriétés des élèves eux aussi constitués en cohortes aux caractéristiques déterminées C’est un procédé que nous avons utilisé pour comparer la méthode per gelosia (à l’arabe, à la grecque) avec la méthode de Fibonnacci que nous allons traiter à titre d’exemple Ou pour observer des dépendances entre diverses conditions d’apprentissage ou rechercher les conditions favorables ou défavorables à la compréhension. 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Les difficultés d’apprentissage Dans la logique classique où les sous procédures doivent être apprises avant les procédures, l’organisation et le temps de l’apprentissage sont déterminés par la complexité de la procédure. C’est le premier facteur à considérer L’étude de la méthode Fibonacci à l’école primaire s’étire sur quatre années et a besoin du soutien d’un grand nombre de problèmes « d’application » Notons que les raccourcis d’experts comme les points à la place des zéros dans la multiplication et le calcul simultané des multiplications et des soustractions pour obtenir le reste dans la division coûtent beaucoup trop cher pour l’avantage qu’ils apportent aujourd’hui. Ces vestiges ne devraient plus avoir de place dans l’apprentissage du calcul humain moderne. 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Le rôle du sens dans l’apprentissage Dans les progressions didactiques habituelles, l’apprentissage d’une opération complexe est structurée par l’inclusion progressive de sous algorithmes appris préalablement et séparément Et son « sens » est composé d’un agrégat de métaphores regroupant les « problèmes similaires » chargés d’assurer l’unité du concept. Dans ce procédé le rôle des mathématiques est réduit, statique et caché Pour faire reposer le sens et la construction sur une conception plus mathématique et générale, il fallait échapper à l’inclusion et faire dériver la construction d’une situation type (si possible fondamentale) qui permette l’apprentissage et l’usage d’algorithmes plus variés moins coûteux et mieux compris. Ce sujet sera abordé dans le diaporama 9.2 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

L’algorithme per gelosia 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Description de la tâche multiplication «per gelosia » Pour multiplier 7503 par 945, il faut dessiner un tableau et disposer les chiffres de la façon suivante : 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

commencer par ce qu’on sait 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

7 x 9 peut être gardé pour la fin et éventuellement recalculé 7 x 9 peut être gardé pour la fin et éventuellement recalculé. Par exemple, la somme des cases 4 fois 7 et 5 fois 7 c’est à dire 35 +28 Résultat : 7090335 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Structure de la méthode per gelosia L’ordinogramme de la méthode de multiplication per gelosia est beaucoup plus simple que celui de Fibonacci; mêmes produits, mais, indépendants et sans conditions toutes les cellules se calculent directement, dans un ordre quelconque, et toutes de la même façon, sans retenues ni superpositions. Seule l’addition est une peu plus longue Quelles hypothèses nulles peut-on avancer ? Comment établir un plan d’expérience. Quels résultats peut-on espérer ? 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Comparaison de deux méthodes de Calcul Du point de vue de leur usage et de leur apprentissage 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

La Complexité des algorithmes On peut percevoir ici comment une définition mathématique de la complexité formelle d’un algorithme, d’une théorie, ou d’une situation pourrait guider la recherche des modèles les plus « économiques » et les mieux adaptés… Ex. La mesure de complexité de Mc Cabe comptabilise le nombre de « chemins » d'un programme représenté sous la forme d'un graphe. cf wikipedia « Nombre cyclomatique » Mais il n’est pas sûr que l’on puisse définir aujourd’hui un tel indice sans tenir compte du fonctionnement du système utilisateur de l’algorithme. Pour l’instant, au contraire, c’est le temps mis par un système donné pour effectuer l’opération qui est pris comme indice pratique de la complexité. http://lgl.isnetne.ch/isnet72/Phase3/complexiteCode.pdf 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

ORGANIGRAMME du CALCUL d’un produit partiel (Fibonacci) 7 cent Mul-ande Multi-eur 8 x 61 cent + 1 cent (r) Retenue 6 mil (r) 56 cent k cent 9 unit 2 unit (r) 7 diz 6 diz 48 diz 55 diz 5 diz (r) 5 cen Le produit représenté est ... k 7 6 9 multiplié par y 8 z …(6?)152 Les éléments de la complexité : Le nombre de nombres à considérer – (les carrés composants) ; le nombre d ’opérations de chaque catégorie : x, +, et la décomposition en dizaines et unités (les nœuds) ; Le nombre de choix d’objets ou d’opérations à considérer (les flèches ou arêtes) Remarque : 1. Un résultat a été omis sur ce graphe (lequel?) 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Complexité du calcul d’un produit élémentaire isolé 9 diz Mul-ande Multi-eur 8 x 72 A nombre d’arêtes du graphe : 3 (flèches noires) N nombre de nœuds : 1 C nombre de composantes : 3 Complexité de McCabe : M = A – N + 2C = 8 Complexité du calcul d’un élément de produit partiel 6 diz Mul-ande Multi-eur 8 x 55 diz + 5 diz (r) Retenue 5 cen 48 diz Complexité A = 9 N = 3 C= 6 M = 9 -3 +12 = 18 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Complexité d’un produit partiel 9 unit Mul-ande Multi-eur 8 2 unit (r) Retenue 7 diz 6 diz x 55 diz + 5 diz (r) 5 cen 48 diz 7 cent 61 cent 1 cent (r) 6 mil (r) 56 cent k cent M1 = 6-2+10 = 14 M2 = 9-3+12 = 18 M2 = 9-3+12 = 18 Complexité du calcul du produit partiel : M = M1 +M2+M3 = 14 + 2x18 = 50 Pour n chiffres au multiplicande M = 14 + (n-1) 18 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Complexité de l’algorithme per gelosia : produits 9 diz Mul-ande Multi-eur 8 x 72 6 diz 48 diz 7 cent 56 cent v 7 6 9 56 48 72 8 Les calculs des produits sont devenus élémentaires et indépendants (les retenues créaient des possibilités d’erreurs en chaîne) M = 8 x 3 = 24 Mais il faudra examiner la complexité de l’addition qui était intégrée dans le calcul précédent. 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Chaque cellule est débarrassée des additions de 9 diz Mul-ande Multi-eur 8 x 72 6 diz 48 diz 7 cent 56 cent Chaque cellule est débarrassée des additions de retenues et des décompositions explicites qui demandaient un niveau supplémentaire de complexité – un calcul sur un calcul- dans chaque cellule Les produits et les sommes élémentaires sont les mêmes dans les deux méthodes. Il semble donc que la méthode de Fibonacci devrait être plus complexe que per gélosia mais … 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Complexité de l’algorithme per gelosia : sommes 1 1 Le tableau présente la décomposition des nombres résultant des produits mais pas ceux résultant de la somme 5 4 7 6 8 2 1 2 1 cent (r) Retenue 1 mil 6 5 + 8 7 diz(r) 1 cent 4 11 Complexité : A = 17 ; N = 6 ; C = 12 M = 17-6+24 = 47 Ainsi la complexité totale de l’algorithme per gelosia est 47 + 24 = 71 bien supérieure à celle de l’algorithme de Fibonacci 50. Étonnant non? 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

L’expérience disqualifie le modèle brut Or nos expériences ont montré le contraire: Les élèves qui calculent avec la méthode per gelosia le font aussi rapidement que ceux qui calculent avec l’autre (ces derniers doivent recompter plusieurs fois à cause du manque de fiabilité de leur méthode), ils font moins d’erreurs et ils apprennent plus vite à faire l’opération. Il faut remarquer que la complexité de McCabe suppose que toutes les opérations élémentaires sur tous les nombres et que toutes les liaisons sont de complexité égale !! Elle ne prend pas en compte les performances différenciées de l’élève à ce sujet (l’addition est plus facile qu’une multiplication), ni la probabilité des erreurs en chaîne, ni les facilités de contrôle offertes. La modélisation empirique, l’observation et les expériences sont indispensables pour affiner le modèle 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Le sens de la multiplication comme moteur d’apprentissage L’apprentissage Le sens de la multiplication comme moteur d’apprentissage 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Comment faire découvrir per gelosia? 1. Problème: un grand rectangle dans du papier quadrillé 35 cases sur 23, combien de cases (de 1cm2)? 2. Les enfants essaient, par petits groupes, de compter les cases une à une. 3. Puis rapidement ils décomposent le rectangle en parties quelconques qu’ils comptent séparément. Ils ajoutent les nombres obtenus 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

4. Par la suite, ils organisent progressivement le découpage du rectangle en parties égales puis faciles à compter (10x10). Ils les alignent. Ils obtiennent finalement des découpages du type suivant. 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Grouper, Additionner 15 100 90 600 805 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Raffinement : Aligner les puissances de 10 Centaines Dizaines Unités Le professeur montre comment additionner les nombres, en biais, par puissances de 10, sans les réécrire pour calculer l’addition 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Avec les nombres décimaux 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

. 1,8 x 0,5 = 0,9 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010

Études et exercices Discuter les avantages et les inconvénients des deux méthodes Expliciter les paramètres d’une comparaison expérimentale entre les apprentissages des deux méthodes. 9-2 Ulysse 24-67 Cours GB 2010