Références épistémologiques pour la didactique des mathématiques Guy Brousseau En marge du Cours 2010

Ce diaporama est une mise à jour de celui qui a accompagné la conférence «  épistémologie et didactique des mathématiques » présentée au colloque de l’Afirse (Association francophone internationale de recherche scientifique en éducation, section française) « Didactiques, quelles références épistémologiques, IUFM d’Aquitaine 2005 » et de l’article éponyme

I. Visite de définitions Épistémologie Didactique

ÉPISTÉMOLOGIE

ÉPISTÉMOLOGIE Une partie de la didactique des mathématiques est-elle une science ? L’autre partie est-elle, elle-même, une partie de l’épistémologie ? « L’épistémologie est, étymologiquement, la théorie de la science…

Bien que la forme anglaise du vocable ait existé avant que le français ne l’assimile, c’est pourtant avec le sens différent et plus large de « théorie de la connaissance » qu’il est généralement utilisé par les Anglo-Saxons. »…  …… « le mot français lui-même renvoie à deux styles de théorie de la science ;

l’un, plus proche de la philosophie d’obédience américaine ou britannique, met l’accent sur les processus les plus généraux de la connaissance, sur leur logique, sur leur fondement notamment psychologique ; l’autre, assez caractéristique des épistémologues français, et même continentaux, depuis la fin du XIXe siècle, privilégie volontiers l’étude spécifique des sciences, voire du développement historique et concret de leurs problèmes. » …

La science ou les sciences ? … la prolifération des champs et des procédures apparemment très nouvelles posent de façon toujours plus pressante la question de l’unité de la science et du sens qu’il lui faut accorder…. G.G. GRANGER. La science ou les sciences ? Tendance des disciplines à produire leur épistémologie. L’épistémologie peut-elle être une science? Une épistémologie ou des épistémologies?

L’épistémologie génétique Les courants épistémologiques et le renouvellement de la didactique (réalisme, cartésianisme, empirisme, positivisme, structuralisme, constructivisme…) D’où, la proposition suivante :

1. Une conception épistémologique (ou une épistémologie) est un ensemble de croyances, de connaissances et de savoirs scientifiques ou non, tendant à dire ce que sont les connaissances des sujets ou des groupes humains, leur fonctionnement, les moyens d’établir leur validité, de les acquérir, de les développer, de les échanger et donc de les enseigner et de les apprendre.

2. L’épistémologie est une tentative d’identifier et d’unifier des conceptions épistémologiques diverses attachées à des sciences, à des mouvements d’idées, à des groupes humains, à des institutions ou à des cultures.

DIDACTIQUE

DIDACTIQUE La didactique d’une connaissance (d’un objet, d’un fait, d’une discipline…) est d’abord le projet social de la faire approprier par un individu ou par un organisme social, et l’étude de la façon dont les sociétés diffusent, transforment et s’approprient cette connaissance en fonction de leurs besoins et de leurs désirs. Elle comprend l’enseignement, l’ingénierie, les approches scientifiques et les réflexions épistémologiques à ce propos

Est-ce une Théorie-Pratique ? La Pratique (l’enseignement lui même) La didactique serait l’art de produire des conditions qui peuvent déterminer l’apprentissage d’une connaissance chez un actant (organisme quelconque : humain, institution, animal ou système) La Théorie de cette pratique La Didactique serait alors l’étude - scientifique ou non - de la didactique.

La didactique est un objet d’études et un champ « scientifique » pour de nombreuses disciplines : La Psychologie , la Sociologie…, La linguistique… l’Anthropologie … et bien d’autres… et naturellement la discipline enseignée Mais aucune ne semble, seule, pouvoir l’absorber entièrement, ni lui donner une définition catégorique ni pouvoir recevoir ses résultats, ni assumer la responsabilité des transformations spécifiques que doivent subir les connaissances que ces disciplines lui proposent. Hors de leur champ d’origine, elles sont le plus souvent de simples métaphores…

LES THEORIES DES SITUATIONS « Il n’y a de liberté qu’en situation il n’y a de situation que par la liberté » J. P. SARTRE La « théorie des situations » vise-t-elle à justifier des prescriptions pour l’enseignement ?

Non. La théorie des situations ne vise directement aucun but pratique : Elle vise seulement à la connaissance d’une catégorie de phénomènes, à les décrire, à les expliquer, à les questionner expérimentalement Elle vise à être consistante et à rendre compte de ses fondements empiriques Ses résultats peuvent néanmoins être utilisés par des décideurs – sous leur responsabilité - . Elle essaie d’éliminer de son champ les spéculations abstraites et les prescriptions

La théorie des situations est-elle « fermée » Pas du tout, elle se transforme. Elle subit des modifications et des adjonctions : extensions successives, adjonction de modèles : situation de rappel (M.J. Perrin), étude (Y. Chevallard).  Récuse-t-elle les autres approches ? A priori non, au contraire, par contre « elle prétend » pouvoir les analyser, les décrire, les critiquer, s’en augmenter, s’en démarquer etc., ou les ignorer selon les cas.

Alors en quoi est-elle constante (principes) ? La didactique scientifique doit satisfaire une double contrainte : a) interpréter des évènements didactiques, (prenons pour l’instant ce terme avec son sens naïf) b) et produire des dispositifs susceptibles de reproduire ces évènements.

Pour cela il faut : construire des modèles d’interaction étudier leur consistance vérifier leur compatibilité avec les résultats (de didactique) et les apports (d’autres sciences) acceptés et leur adéquation à l’interprétation et à l’action didactique

Primauté 1. De la connaissance mathématique que l’observateur croit déceler chez l’actant ou que le professeur veut enseigner. 2. Des conditions dans lesquelles cette connaissance peut se manifester pour interpréter, comprendre et prévoir les comportements désirés, puis pour les provoquer.

Importance 3. d’interpréter ces conditions comme des systèmes : les milieux matériels ou non 4. de représenter les motivations - effectives ou supposées - des actions, en modélisant la relation de l’actant avec le milieu et avec la connaissance nécessaire ou visée : les situations

Les situations sont des systèmes d’interaction d’un ou plusieurs actants avec un milieu, qui nécessitent une connaissance précise. Elles sont des modèles structurés comme des jeux mathématiques Z (distinguer le modèle : « la situation » et sa référence « les conditions »). Toute situation est en fait une classe de situations générée par diverses conditions ou variables.

5. La connaissance (désirée, utilisée ou obtenue) n’est pas celle de tel ou tel « élève » particulier, elle est celle d’une population dans ce qu’elle a de commun Son développement résulte de processus socio psychologiques. D’où une possibilité de modéliser plus facilement les sujets par des actants aux règles simplifiées qu’en les différenciant

Principes méthodologiques : Les objets de la théorie sont définis par leur fonction dans une situation (et non pas par leur aspect empirique). Cette attitude correspond à la méthode utilisée en mathématiques, où un objet est défini par une relation (ensembles d’axiomes ou définitions). Ainsi un évènement didactique devient « un ensemble de faits interprétables par l’évolution d’une « situation didactique ». Ex. Pauline à enseigné à sa cousine Mathilde comment jouer à la marelle.

Un phénomène de didactique est une relation établie expérimentalement entre des observables. Ex1. En situations scolaires, un processus didactique « constructiviste » ne peut pas aboutir et même ne peut pas se poursuivre en l’absence d’institutionnalisations. Ex2. La répétition « à l’identique » d’une même situation didactique, même avec des élèves différents produit une « obsolescence » c'est-à-dire un difficulté croissante pour le professeur à assurer son fonctionnement.

conséquences Tout fait ou relation « importé », de l’observation, de la pratique ou de la culture didactique spontanée (même celle des professeurs) ainsi que tout objet ou tout concept importé d’un domaine non didactique (la psychologie par exemple) devra donc être interprété par une définition didactique appropriée (par une situation).

Remarque sur l’insertion d’informations psychologiques individuelles Dans le champ de la didactique, prendre en compte une information psychologique sur les sujets signifie : « introduire une contrainte supplémentaire dans le modèle simplifié d’actant utilisé dans les analyses de situations ». Il reste alors à réorganiser l’ensemble du modèle et à voir ses conséquences (dans quelle mesure le jeu en vaut-il la chandelle).

D’autres principes précisent les objets et les règles de la théorie : Postulat de correspondance entre les connaissances mathématiques et les situations. Règles de décomposition et composition des situations: Hypothèse de l’existence de situations fondamentales etc.

Métaphores et Théories

Métaphores et théories Suivant la structure et les règles d’évolution nécessaires il a fallu distinguer au moins deux systèmes théoriques imbriqués : La Théorie des situations mathématiques (TSM) S a-didactiques: situations qui suscitent une activité mathématique, mais qui excluent toute intervention didactique, ex. les problèmes ) La Théorie des situations didactiques en mathématiques (TSDM)

La Théorie des situations mathématiques (a-didactiques*) Spontanément ou non, les sujets créent des connaissances au cours d’interactions avec leur (leurs) milieux, Connaissance apprenti Milieu La psychologie cognitive, l’épistémologie génétique … étudient ce système Ce schéma s’applique aussi bien aux élèves qu’aux enfants ou aux mathématiciens)

Le savoir est une partie des connaissances L’enseignement est une partie du milieu L’élève un des aspects de l’apprenti Ensemble ou isolément, leur fonctionnement ne se réduit pas à des fonctions psychologiques Connaissance apprenti Milieu Savoir Enseignement élève

L’enseignement classique est conçu comme l’action d’un système éducatif sur des étudiants à propos d’un savoir scolaire étudiant Système Educatif Savoir Scolaire La pédagogie s’intéresse à l’éducation, à l’élève et plus accessoirement au savoir (péda. spéciale) La didactique rationnelle de Comenius se limite au système et aux savoirs généraux ou particuliers Le classique et réducteur triangle didactique, intègre le savoir à l’une et l’étudiant à l’autre.

L’enseignement est alors conçu comme un système qui agit sur les élèves et leur savoir : le professeur interprète les connaissances de l’élève en termes de savoirs scolaires, confond étudiant et apprenti et utilise mais ignore le milieu étudiant Système Educatif Savoir Scolaire Enseignement aculturation Connaissance apprenti Milieu Action

La recherche en didactique étend son étude aux interactions entre le système éducatif et le système propre de l’apprenti Connaissance apprenti Milieu étudiant Système Educatif Savoir Scolaire Interactions

La Théorie des situations didactiques envisage l’ensemble comme un système hexagonal Connaissance apprenti Milieu étudiant Système Educatif Savoir Scolaire Enseignement aculturation Interaction

arguments

Ainsi chacune des approches anciennes ou actuelles tend à isoler une partie des éléments du modèle. L’infernale métaphore du « triangle didactique » incline à ignorer le rôle du « milieu » propre à la connaissance, à confondre les connaissances avec le savoir et avec le savoir à enseigner à confondre l’élève avec le sujet psychologique (et ainsi à confondre le personnage joué par un acteur avec la personne privée qui exerce cette profession!) Or les principaux problèmes de didactique exigent souvent encore de considérer l’ensemble tous les sous systèmes au cours de l’étude de l’un d’entre eux. Les phénomènes que nous avons mis en évidence montrent que la combinaison d’approches partielles indépendantes conduit à des errements.

La création des mathématiques serait-elle seulement affaire de psychologie? Dans cette perspective les contemporains d’Hadamard ont donc imaginé que l’acquisition de nouvelles connaissances par les mathématiciens relèverait de la psychologie (et plus tard des neurosciences). L’apprentissage des connaissances déjà établies devait suivre d’autres lois – toujours psychologiques -, mais plus simples que celles de l’invention, puisqu’il ne s’agirait après tout « que » d’assimiler et de pratiquer. La didactique résidait entièrement dans la reformulation et la réorganisation « rationnelle » des connaissances. L’enseignement suivait cette « rationalité » du savoir, il ne mobilisait que la mémoire des élèves, la compréhension n’étant qu’un plus individuel. Les approches classiques sont précieuses mais insuffisantes

Or cette conception réduit ou même ignore des facteurs essentiels: Les caractéristiques du fonctionnement des cerveaux humains accessibles aux neurosciences sont très générales (peu spécifiques à telle ou telle connaissance précise), communes à la plus grande partie de l’humanité, et probablement à peu près constantes depuis des siècles. Les différences entre les comportement cognitifs et leurs évolutions proviennent essentiellement des modifications de la société, du milieu, de la culture, et surtout du savoir lui-même. Vouloir ignorer l’effet du temps et de l’histoire des individus et des sociétés dans le fonctionnement et la genèse des connaissances et des savoirs est probablement une erreur.

La Philosophie des sciences et la sociologie L’organisation actuelle des sciences est encore fondée sur les conceptions philosophiques du 19ième siècle. Elle s’est incarnée dans des structures sociales qui ont permis à chacune des développements très importants dans leur champs. Mais elles ont dû accepter les mythes fondateurs communs, et elles peinent à remettre en cause, leur partie, mais surtout celle des autres, par des démarches scientifiques; Abandonner la protection assurée par une structuration sociale appuyée sur un tel travail ne va pas de soi.

Par exemple, la psychologie, telle qu’elle est, ne peut pas remettre en cause les résultats, l’essence, ou même l’organisation didactique des mathématiques, ni se charger d’imposer aux études historiques, à la sociologie, à la linguistique ou à l’anthropologie des catégories qui correspondraient à ses hypothèses. Comme la psychologie, chaque discipline reste confinée dans des généralités insuffisantes pour expliquer les phénomènes de construction et de diffusion des connaissances. Construire une science de la didactique est aujourd’hui une entreprise d’une complexité comparable à la construction de la théorie de l’évolution au 19ième siècle.

Contrastes, Oppositions, Paradoxes L’étude anthropologique des pratiques professionnelles et des opinions des différents partenaires de l’éducation fait apparaître des divergences importantes et des oppositions : 1. La complexité des modalités d’actions envisageables – et envisagées par les professeurs : formes de cours, méthodes,… s’oppose à l’extrême simplicité de la représentation qu’en a le public. Elle finit par être partagée par les professeurs à propos du travail de leurs collègues 2. Grande flexibilité des réponses opportunes des professeurs et grande rigidité des réponses qu’ils doivent exiger des élèves 3. Importance mais grande difficulté à utiliser et à gérer (utiliser, décrire, prévoir, assumer) le non dit ou le non dicible, l’intention, qui jouent pourtant un rôle essentiel mais caché et qui ne sont pas identifiés 4. L’opposition entre la complexité effective du travail d’enseignement tel qu’il est éprouvé par les enseignants, et la simplicité dérisoire de l’image qu’en donne la société par ses décisions, par ses discours et par les approches scientifiques qu’elle encourage.

Conséquences et causes 1. Ces vues schématiques ont pénétré les composantes du système au point que chaque sous système et même chaque enseignant croit que de ses collègues réussissent avec des méthodes simplistes et que ses difficultés résultent de sa propre insuffisance. Ce sentiment créée un incoercible obstacle à l’activité d’enseignement et un désarroi fatal dans la population Une vision absurde de l’enseignement et de la façon de le conduire est propagée et encouragée par différents milieux (économiques, scientifiques, politiques et religieux) pour des raisons différentes mais qui se conjuguent en un assaut de la société contre ses structures éducatives, sociales et culturelles.

2. La fonction de l’école est d’acculturer ensemble les élèves à une société déterminée, telle qu’elle est. En faire un projet éducatif individuel ou particulier, ou l’instrument d’une évolution politique ou sociale déterminée la rend illégitime, a fortiori si ce n’est qu’un projet privé. Cette société se fait alors l’ennemie de son école, la détruit et se détruit ainsi elle-même. Les activités sont dévalorisées aussi par la réduction aux traces dérisoires qu’elles laissent dans les principaux domaines scientifiques. Il en résulte à tous les niveaux des erreurs systémiques si profondes que les prétendues corrections ne cessent d’aggraver ce qu’on prétend qu’elles doivent réformer ** L’abaissement de son l’école livre une société à sa désagrégation et à ses ennemis. Mais des ambitions excessives pour l’école, ont un jour le même effet : elles deviennent de grandes déceptions par l’école.

La Macrodidactique

Les observations précédentes montrent que le fonctionnement des systèmes microdidactiques que nous avons étudiés plus haut peuvent avoir des relations étroites avec des phénomènes socioculturels de grande ampleur, des dysfonctionnement spécifiquement liés à des confusions, à des conceptions didactiques inappropriées…, dont nous rassemblons l’étude sous le nom de macrodidactique**. **en référence à l’organisation de l’étude de l’Économie

La microdidactique concerne l’organisation des dispositifs (longs ou courts, à grande ou à petite échelle) de la diffusion des savoirs et des conditions de la reconstitution permanente d’une culture. Par opposition nous appelons macrodidactique des mathématiques l’étude des caractères et des comportements des grands systèmes politiques, culturels, sociaux ou administratifs, en regard des divers savoirs et de leur enseignement. Son champs s’étend des modes de gestion de l’enseignement (techniques, observations et théorie) à l’ethnomathématique, qui étudie les différences de formes et d’usages des connaissances développées dans diverses sociétés. Par exemple, la conception et l’usage des statistiques différent sensiblement dans les pays anglo-saxons et dans les pays latins.

L’étude des comportements de certaines composantes du système éducatif fait ressortir de graves inadaptations Les plus importantes sont dues à des conceptions inappropriées et cloisonnées à des confusions épistémologiques à des conceptions systémiques inappropriées à des ambitions excessives à l’assujettissement à des projets économiques et politiques contraires à l’éthique éducative

Diagnostics

Le diagnostic Gérer l’enseignement selon le modèle économique, comme une société que l’on détruit quand son rendement n’est pas satisfaisant est une absurdité. Déjà l’économie fonctionne comme si le profit était l’image universelle et limpide de l’utilité publique. On peut en douter. Mais les évaluations des résultats scolaires ne se lisent pas comme les cours de la bourse. Ce ne sont pas les évaluations qui sont trompeuses c’est leur analyse et leur usage dans la métaphore économique. Personne ne sait ce qu’elles représentent au juste ni quelles décisions générales peuvent leur être associées.

Depuis 1970 les évaluations sporadiques résultant de grossiers sondages et associés à des décisions drastiques et générales sont progressivement substituées à l’empirique mais subtil système d’évaluation permanente utilisé traditionnellement par les enseignants professionnels, associé à des décisions variées et continûment corrigibles. Cette mesure est absurde et elle se révèle inefficace depuis des décennies. Corriger les institutions et les professeurs comme s’ils étaient toujours capables de remédier à ce qui nous déplaît est un procédé barbare, imbécile, et illégitime comme le serait celui d’opposer un devoir de résultat à la médecine. Soutenir obstinément la pertinence de ce procédé relève d’une perversité coupable ou d’une ignorance, d’une prétention, d’une suffisance tout aussi coupables.

Questions La didactique est autoréférentielle (Popper). Est-ce vrai? Dans quelle mesure peut-elle échapper à cette objection et devenir une science…? Les rapports réciproques de la didactique, de l’épistémologie et des autres sciences peuvent ils se révéler vraiment ailleurs que dans l’intimité de recherches scientifiques spécifiques ? En quoi la didactique est elle vraiment l’épistémologie expérimentale ?

Plan de la conférence initiale I. Visite de définitions La conférence et le texte initial de « Épistémologie et didactique des mathématiques » ont été présentés au colloque de l’AFIRSE « Didactiques, quelles références épistémologiques? » (IUFM d’Aquitaine, 2005) Une première forme de ce diaporama a été présentée à la journée des conseillers pédagogiques de la Gironde en 2008 Plan de la conférence initiale I. Visite de définitions Épistémologie et Didactique Théorie des situations, métis, praxis et logos un texte et des dessins nouveaux sont présentés ci-après II. Exemple : obstacles épistémologiques Naturels, sauts de complexité, obstacles III Conclusions Sur les axes du colloque Les didactiques, quels assujettissements Cette partie du Diaporama n’est pas reproduite ici. Se rapporter au texte de la conférence