Flexion 1 Une poutre droite, de longueur L et d’inertie constante est soumise à une charge uniformément répartie de taux p. Elle repose sur deux appuis simples situés à une distance a de chaque extrémité (avec a < L/4). 1°/ Déterminer les éléments de réduction et tracer leurs diagrammes. 2°/ Déterminer les équations de la déformée de la poutre. 3°/ Déterminer la contrainte normale maximale ainsi que le rapport a/L qui la minimise.

Projection /y : Ry0 + Ry1 = pL Flexion1 Résolution Détermination des réactions d’appui par le Principe Fondamental de la Statique RyO Ry1 Projection /y : Ry0 + Ry1 = pL Problème symétrique en géométrie et en chargement donc Ry0 = Ry1 = pL/2 De plus l’effort tranchant sera antisymétrique et le moment fléchissant symétrique par rapport à la droite x=L/2. On n’étudie donc que la section de poutre 0 ≤ x ≤ L/2.

- + Détermination des éléments de réduction Tracé des diagrammes T + p Flexion1 Détermination des éléments de réduction Pour 0 ≤ x < a (tronçon de gauche) Tracé des diagrammes + x T a y p T=0 x - x Remplacement de la charge répartie par une force d’intensité égale à l’aire de la charge répartie, et appliquée au centre de gravité. T=-pa -pa y px + x M a pa2/2 x x/2 x + N = 0 T = -px M = px.x/2 Pente nulle

Tracé des diagrammes + T p x + px M x Flexion1 Pour a ≤ x < L/2 (tronçon de gauche) Tracé des diagrammes + y x T a L/2 p -pa+pL/2 x G0 + T=0 a - x -pa Remplacement par la charge équivalente y px + M a L/2 pa2/2 x G0 + Bras de levier : (x-a) x x - N = 0 T = -px + pL/2 M = px.x/2 – (x-a).pL/2 pL/2.(a-L/4) <0 car a<L/4

Détermination de l’équation de la déformée f(x) Flexion1 Détermination de l’équation de la déformée f(x) F y Physiquement, la déformée f(x) correspond au déplacement vertical de la fibre neutre de la poutre au niveau d’une section d’abscisse x. f(x) x exemple L’équation de cette déformée s’exprime en fonction de l’élément de réduction « moment de flexion » (MGz dans un problème de flexion plane simple) selon la formule : E module de Young (en MPa) I moment d’inertie (en mm4) Cet élément de réduction dépend de x, donc l’équation de la déformée aussi.

Pour 0 ≤ x < a (tronçon de gauche) on appellera la déformée f1(x) Flexion1 Pour 0 ≤ x < a (tronçon de gauche) on appellera la déformée f1(x) Pour a ≤ x < L/2 (tronçon de gauche) on appellera la déformée f2(x) On intègre une 1ère fois l’équation On intègre une 1ère fois l’équation A2 première constante d’intégration A1 est la première constante d’intégration On intègre une 2nde fois l’équation On intègre une 2nde fois l’équation B2 deuxième constante d’intégration B1est la deuxième constante d’intégration

Comment déterminer les constantes d’intégration ? Flexion1 Comment déterminer les constantes d’intégration ? En utilisant les conditions aux limites. Ces conditions aux limites peuvent être obtenues par : - les appuis, - la continuité physique de la poutre (en rotation  f1’=f2’ et en déplacement vertical  f1=f2) , - la symétrie du problème. x y f(x) Appui simple au point G quelconque : f(xG) = 0 (la poutre ne « décolle » pas de l’appui) G x y f(x) Articulation au point G quelconque : f(xG) = 0 (la poutre ne « décolle » pas de l’appui) G x y Encastrement au point G quelconque : f’(xG)=0 et f(xG) = 0 (la poutre reste « perpendiculaire » à l’encastrement) f(x) G

Détermination des constantes d’intégration Flexion1 Détermination des constantes d’intégration Par continuité physique de la poutre : f’1(a)=f’2(a) Donc A1=A2 Par symétrie du problème : f’1(L/2)=f’2(L/2)=0 Par continuité physique de la poutre : f1(a)=f2(a) Donc B1=B2 Et par l’appui simple en a : f1(a)=f2(a)=0

En résumé l’équation de la déformée f(x) est Flexion1 En résumé l’équation de la déformée f(x) est Pour 0 ≤ x < a Pour a ≤ x ≤ L/2

Flexion1 3°/ Déterminer la contrainte normale maximale ainsi que le rapport a/L qui la minimise. Expression de la contrainte normale maximale : Avec Mfmax le moment de flexion maximal I le moment quadratique (en mm4) v la plus grande distance à la fibre neutre (en mm) En considérant la section de la poutre constante, le rapport I/V est constant. Alors la contrainte normale maximale dépend directement du moment de flexion maximal. D’après le diagramme du moment fléchissant : M pa2/2 ? On pose le rapport t=a/L et on obtient : x a L/2 ? pL/2.(a-L/4)<0 car a<L/4

Flexion1 On extrait les termes constants et on enlève les « valeurs absolues » : t t2 Représentation graphique de la fonction Mfmax en fonction de t Mfmax=sup(…) Rappel : on cherche la valeur de t=a/L qui minimise la contrainte maximale, donc qui minimise le moment de flexion maximal. t0 ¼-t Graphiquement on constate que cette valeur appelée t0 se trouve à l’intersection des droites t2 et ¼-t On obtient une équation du 2nd degré Avec 2 racines Seule la racine positive a un sens physique puisque t est un rapport de distances donc t0 = 0,207 est le rapport de distance entre a et L qui minimise la contrainte normale maximale sur la poutre. Autrement dit, pour solliciter le moins possible en flexion une poutre de 1 m de long, il faut placer l’appui à une distance de 207 mm de l’extrémité de la poutre.

Flexion1 Fin Flexion 1 Cela termine Le premier exemple

Flexion 2 Une poutre droite, de longueur 2L et d’inertie constante est soumise à une charge uniformément répartie de taux p entre A et B. Elle repose sur deux appuis simples situés à ses extrémités. 1°/ Déterminer les éléments de réduction et tracer leurs diagrammes. 2°/ Déterminer les équations de la déformée de la poutre. 3°/ Donner les expressions du déplacement vertical du point A et l’angle de rotation de la section initiale O. 4°/ Application numérique : La poutre est de section carrée de côté a. Poutre en acier de module de Young E = 200000 MPa Contrainte admissible de traction u = 120 MPa p = 320 N/m L = 2 m Calculer le côté a pour assurer la condition de résistance. Calculer alors le déplacement vertical en A. p O B A L L

Résolution RyO RyB + RyO RyB pL (en 3L/2) Flexion 2 Résolution Détermination des réactions d’appui par le Principe Fondamental de la Statique y RyO RyB x O A B L L Remplacement de la charge répartie par une force d’intensité égale à l’aire de la charge répartie, et appliquée au centre de gravité. + y RyO RyB pL (en 3L/2) x O A B L L Projection /y : RyO + RyB = pL Moment /O : RyB.(2L) = pL.(3L/2) Solution : RyO = pL/4 RyB = 3pL/4

+ - Détermination des éléments de réduction Tracé des diagrammes T + Flexion 2 Détermination des éléments de réduction Tracé des diagrammes Pour 0 ≤ x < L x T pL/4 y + RyO + x O L x x M L - N = 0 T = RyO = pL/4 M = -RyO.x = -pLx/4 -pL2/4

Détermination des éléments de réduction Tracé des diagrammes Flexion 2 Détermination des éléments de réduction Tracé des diagrammes Pour L ≤ x < 2L x T L y + 5L/4 RyO pL/4 p + T=0 2L x O A - L x -3pL/4 Remplacement par la charge équivalente x y M x L 2L RyO p(x-L) en L+(x-L)/2 + pL2/4 O A L Bras de levier : (x-L)/2 x - N = 0 T = RyO – p(x-L) = pL/4 - p(x-L) M = -RyO.x + p(x-L).(x-L)/2 = -pLx/4 + p(x-L)2/2 -pL2/4 -9pL2/32

Détermination de l’équation de la déformée f(x) Flexion 2 Détermination de l’équation de la déformée f(x) Pour 0 ≤ x < L (tronçon de gauche) on appellera la déformée f1(x) Pour L ≤ x < 2L (tronçon de gauche) on appellera la déformée f2(x) On intègre une 1ère fois l’équation On intègre une 1ère fois l’équation A2 est la première constante d’intégration A1 est la première constante d’intégration On intègre une 2nde fois l’équation On intègre une 2nde fois l’équation B2 est la deuxième constante d’intégration B1est la deuxième constante d’intégration

Détermination des constantes d’intégration Flexion 2 Détermination des constantes d’intégration Par continuité physique de la poutre : f’1(L)=f’2(L) Donc A1=A2 Par continuité physique de la poutre : f1(L)=f2(L) Donc B1=B2 Par l’appui simple en O : f1(0)=0 Donc B1=B2=0 Et par l’appui simple en B : f2(2L)=0

En résumé l’équation de la déformée f(x) est Flexion 2 En résumé l’équation de la déformée f(x) est Pour 0 ≤ x < L Pour L ≤ x ≤ 2L

Déplacement vertical du point A Flexion 2 Déplacement vertical du point A Angle de rotation de la section initiale x=0 Applications numériques avec et donc et enfin

Flexion 2 Fin Flexion 2 Cela termine Le premier exemple