SUITES ET TYPES DE CROISSANCE ASSOCIÉS

I) Notations Une suite est une liste de nombres. Exemple : J'ai un nénuphar magique dont la surface double chaque jour. On décide de noter un la surface qu'il aura dans n jours. Sachant qu'aujourd'hui il mesure 5 cm2, on cherche à calculer un : Demain, c'est à dire dans jour, la surface du nénuphar sera donc Après-demain, c'est à dire dans jours, la surface du nénuphar sera donc = 2 × 10 = 20 cm2 Le jour suivant, c'est à dire dans jours, la surface du nénuphar sera donc = 2 × 20 = 40 cm2 Aujourd'hui, c'est à dire "dans jours", la surface du nénuphar est donc = 5 cm2 Complétons le tableau : . n 1 2 3 4 5 6 un

Bilan : Nous avons défini une suite (un) telle que : Remarques : Par exemple, si n = 4, un+1 = et un + 1 = On aurait donc aussi pu écrire :

II) SUITES ARITHMÉTIQUES & CROISSANCE LINÉAIRE 1) Définition Une suite arithmétique est une suite telle que   Terme général défini par récurrence Il suffit de connaître le pour pouvoir déterminer tous les autres termes de la suite. Exemple : Soit la suite arithmétique (un) de 1er terme 2 et de raison 3 : u0 = u1 = u2 = u3 =  Remarque : Pour une suite arithmétique de raison r. un+1 − un > 0 équivaux à , la suite (un) est dite un+1 − un < 0 équivaux à , la suite (un) est dite Pour tout n de IN, un+1 = un + r

2) Calcul du terme général un en fonction de n Dans l'exemple ci-dessus, si nous voulons calculer u10000, il nous faut calculer auparavant ses prédécesseurs !!! Nous allons donc chercher une formule permettant de calculer directement un à partir de n.   Soit une suite arithmétique (un) de raison r : Pour tout n de IN, un+1 = un + r On a donc : u0 u1 = u2 = u3 = u4 = un = Terme général défini en fonction de n Remarque : Pour tout n de IN, un = Terme général défini en fonction de n Plus généralement : Pour tout n de IN, Terme général défini en fonction de n Pour tout n de IN, un = u0 + n r

3) Représentation graphique : croissance linéaire Exemple : Soit la suite arithmétique (un) de 1er terme u0 = 2 et de raison r = 1   un = Tous les points de la représentation graphique sont alignés sur la droite d’équation On parle donc de (même si la droite descend !) Si r > 0 Si r < 0 Remarque : .

4) Reconnaître si une suite est arithmétique ou non : 2 possibilités : Soit Exemple 1 : Soit une suite (un) telle que pour tout n de IN* : 3 un = 2 (5 + 1,5 un–1) On a alors : donc Exemple 2: Soit la suite (un) telle que pour tout n de IN : un = 1 − 2 n (n + 3) + 2 n2 Nous reconnaissons ici On ne peut commencer à parler de raison de la suite qu'une fois que l'on a montré Si l'on veut montrer qu'elle n'est pas arithmétique, Soit la suite (un) telle que pour tout n de IN, un = n2 On a :

III) SUITES GÉOMÉTRIQUES & CROISSANCE EXPONENTIELLE 1) Définition Terme général défini par Exemple: Soit la suite géométrique (un) de 1er terme 2 et de raison 3 :   2) Calcul du terme général un en fonction de n Soit une suite géométrique (un) de raison q : Pour tout n de IN, un+1 = un × q On a donc : u0 u1 = u2 = u3 = u4 = un = Terme général défini en fonction de n Pour tout n de IN , un+1 = un × q

3) Représentation graphique : croissance exponentielle Exemple : Soit la suite géométrique (un) de 1er terme u0 = 1 et de raison q = 2 On a donc pour tout n de IN : un = Tous les points de la représentation graphique sont situés sur la courbe d’équation y = Une telle courbe dont l'équation est de la forme y = est appelée par les mathématiciens On dit donc ici que

4) Reconnaître si une suite est géométrique ou non : 2 possibilités : On montre que est constant Exemple 1: Soit la suite (un) telle que pour tout n de IN : 3 un+1 = 2 un On a alors : Donc On met en évidence que un peut s'écrire sous la forme : Exemple 2 : Soit la suite (un) telle que pour tout n de IN : un = 5n+1 × 3 On a alors : un= Donc : un = Nous reconnaissons ici   Rappels : a m+n = a m×n = a 0 =

IV) Placements à intérêts simples ou composés On décide de placer un capital C0 au taux annuel de i%. Appelons Cn la valeur acquise du capital après n années de placement. On distingue deux types de placements : 1) Placements à intérêts simples  

2) Placements à intérêts composés Nous reconnaissons une suite géométrique de 1er terme: et de raison :

3) Exemple Un placement dont le taux annuel est fixe (ne varie pas selon les années) a rapporté 30% en 3 ans. Quel est ce taux annuel ? Appelons Cn la valeur acquise du capital après n années de placement et t le taux annuel. Il faut distinguer 2 cas selon le type de placement : Si le placement est On a d'une part C3 = = et d'autre part C3 = donc Le taux annuel est donc On a d'une part C3 = =

V) SYNTHESE

IV) UN EXEMPLE DE SUITE DE FIBONACCI