Franck VIOLLET Direction des risques de marché et de modèle HSBC-CCF Calibration de modèles de volatilité stochastique Collège de Polytechnique 15/10/2003 Franck VIOLLET Direction des risques de marché et de modèle HSBC-CCF

Plan de l’exposé Definition des modèles Evaluation Calibration Black & Schloes Heston Modèles à sauts : Merton & Bates Evaluation Formule de Bates Méthode de Madan & Carr Calibration Fonction objectif. Problèmes potentiels. Algorithmes.

Le modèle de Black & Scholes Hypothèses Le modèle de Black et Scholes fait l’hypothèse que l’actif sous-jacent suit un mouvement brownien géométrique. Log-normalité des prix Volatilité implicite fonction du strike et de la maturité

Le modèle de Black & Scholes

Le modèle d’Heston La volatilité suit un processus mean-reverting Permet une distribution plus riche

Le modèle d’Heston

Le modèle d’Heston

Le modèle de Bates Le modèle de Bates ajoute des sauts gaussiens à l’actif.

Cas particulier : Modèle de Merton Uniquement des sauts gaussiens Avantages Skew court-terme important. Modélisation uniquement d ’observables (spot) Les volatilités implicites sont constantes au cours du temps Inconvénients Incomplétude (hedging difficile)

Cas particulier : Modèle de Merton

Cas particulier : Modèle de Merton

Le modèle de Bates

Le modèle de Bates

Méthodes d ’évaluation (1) Formule de Bates Expression du prix d’un call On connaît la transformée de Fourier E(eiuln(ST/S0)) On en déduit P1 et P2

Méthodes d ’évaluation(2)

Méthodes d ’évaluation(3) Formule de Madan et Carr Coefficient d’atténuation

Méthode d ’intégration Méthodes d ’évaluation(4) par FFT: méthode suggérée par Madan et Carr. Méthode très rapide pour donner un grand nombre de prix en fonction du strike. Par quadrature: Pour la calibration, l’évaluation de T en 15 abscisses donne des prix d’une précision suffisante quand on utilise la méthode de la quadrature de Gauss avec les polynômes de Laguerre.

On retient souvent l ’erreur quadratique comme mesure de cette erreur: Calibration(1) Trouver les paramètres (Heston ou Bates) tels que l’on obtienne les prix de calls observés dans le marché. Minimisation de l’erreur entre les prix donnés par le marché et ceux donnés par le modèle. On retient souvent l ’erreur quadratique comme mesure de cette erreur: Sur les prix Sur les volatilités implicites

Calibration(2) Problème si on part de v et * élevés: => on tombe dans une « vallée ». La plupart des algorithmes de minimisation ne savent pas sortir de cette zone. On trouve un chapelet de minima locaux pour des valeurs basses de v.

Calibration(3)

Calibration(4)

Calibration(5) On peut fixer le paramètre * par l’observation des trajectoires de volatilité. Des plages de larges variations de volatilité suivent des plages où les variations sont moins amples : => on parle de volatility clustering lorsque les fortes variations se regroupent par paquet. 1/* correspond justement à l’ordre de grandeur de la durée de ces paquets.

Calibration(6)

Calibration(7) Levenberg-Marquardt : combinaison de l’utilisation de la hessienne et d’une méthode de descente. => une matrice singulière. Powell: génération de n vecteurs conjugués de descente, où n est le nombre de paramètres. => empiriquement plus stable

Méthode d ’intégration Références STEVEN L. HESTON, A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options, The Review of Financial Studies, 1993 Volume 6, number 2, pp. 327-343 DAVID S. BATES, Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in Deutsche Mark Options, The Review of Financial Studies, 1996 Vol.9, No. 1, pp. 69-107 PETER CARR, DILIP B. MADAN, Option Valuation Using the Fast Fourier Transform, December 2, 1998 Numerical Recipes, www.nr.com