La notation scientifique Écriture et opérations

Écriture

La notation scientifique est une forme d’écriture servant à représenter des nombres très grands ou très petits. a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z Pour bien comprendre cette forme d’écriture, il faut connaître la principale caractéristique de la notation décimale.

La notation décimale est l’écriture utilisée par la majorité des gens. Exemples : 2 500 $ 2,5 kg 75 ans 8 frères et soeurs 2 automobiles 45,7 cm Elle est très pratique pour écrire des nombres parce qu’elle est facile à utiliser.

 : La caractéristique principale de la notation décimale est que :  chaque position des chiffres représente un multiple de 10. Vers : l’infiniment grand G : giga : Unité de milliard : 1 000 000 000 M : méga : Unité de million : 1 000 000 Centaine de mille : 100 000 Dizaine de mille : 10 000 k : kilo : Unité de mille : 1 000 h : hecto : Centaine : 100 10 da : déca : Dizaine : 1 L’unité : d : déci : Dixième : 0,1 c : centi : Centième : 0,01 m : milli : Millième : 0, 001  : micro : Millionième : 0, 000 001 n : nano : Milliardième : 0, 000 000 001 Vers : l’infiniment petit

Comme tous ces nombres sont des multiples de 10, on peut donc les écrire en utilisant la base 10. 0,01 0, 001 0, 000 1 1 1 000 000 000 1 000 000 100 000 10 000 1 000 100 10 0,1 0, 000 001 0, 000 000 001 = 109 G : giga = 106 M : méga = 105 = 104 = 103 k : kilo = 102 h : hecto = 101 da : déca = 100 = 10-1 d : déci = 10-2 c : centi = 10-3 m : milli = 10-4  : = 10-6 micro = 10-9 n : nano Remarque : Un exposant négatif signifie donc une petite quantité.

a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z Dans la définition mathématique de la notation scientifique : a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z le 10 signifie donc un nombre écrit en utilisant la base 10; l’exposant étant pris dans la famille des entiers, soit Z; a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z ce nombre doit être écrit égal ou plus grand que 1 et inférieur à 10. L’écriture de ce nombre en notation scientifique doit représenter la même quantité que son écriture en notation décimale.

Exemple 1 : Écrire 23 643 en notation scientifique. Dans 23 643 la virgule est à la fin : 23 643,0 Étape 1 : Déplacer la virgule entre le 2 et le 3; 2 3 6 4 3 0 , Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions, 1 ≤ 2,364 3 < 10 mais il n’est pas égal à 23 643 Étape 2 : Pour le rendre égal à 23 643, il faut le multiplier par 10 000. 23 643 = 2,364 3 X 10 000 c’est-à-dire 104. 23 643 = 2,364 3 X 104 Soit le nombre de positions traversées par la virgule.

Exemple 2 : Écrire 0,000 034 en notation scientifique. Étape 1 : Déplacer la virgule entre le 3 et le 4; 0 000 03 4 , Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions, 1 ≤ 3,4 < 10 mais il n’est pas égal à 0,000 034. Étape 2 : Pour le rendre égal à 0,000 034, il faut le multiplier par 0,000 01. 0,000 034 = 3,4 X 0,000 01 c’est-à-dire 10-5 0,000 034 = 3,4 X 10-5 Soit le nombre de positions traversées par la virgule.

Remarque Déplacer la virgule vers la gauche, fait augmenter l’exposant de la base 10. 2 3 6 4 3 0 , 23 643,0 X 100 2,364 3 X 104 Déplacer la virgule vers la droite, fait diminuer l’exposant de la base 10. 0 000 03 4 , 0,000 03 4 X 100 3,4 X 10-5

Exercices Transforme les nombres suivants en notation scientifique. 16 765 000 000 000: 1,676 5 X 1013 Remarque Les calculatrices peuvent afficher différentes écritures pour la notation scientifique : 1,676 5 1013; 1,676 5 E13. Le E remplace la base 10. 1,676 5 13. L’espace remplace la base 10. Tu dois donc bien connaître le fonctionnement de ta calculatrice.

Exercices Transforme les nombres suivants en notation scientifique. 156 000 : 1,56 X 105 234 000 000 000 000 : 2,34 X 1014 946 080 000 000 000 000 : 9,460 8 X 1017 0,0456 : 4,56 X 10-2 0,000 000 12 : 1,2 X 10-7 0,000 000 000 000 000 000 160 218 : 1,602 18 X 10-19 0, 000 000 000 456 : 4,56 X 10-10

À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on l’écrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement : 2,3 X 105 = 2,3 X 100 000 = 230 000 Remarque 230 000,0 Notation décimale Notation scientifique 2,3 X 105 2 3 0 0 0 0 0 , Notation scientifique 2,3 X 105 230 000,0 Notation décimale 2 3 0 0 0 0 0 ,

À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on l’écrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement : 1,5 X 10-3 = 1,5 X 0,001 = 0,001 5 Remarque : 0,001 5 Notation décimale Notation scientifique 1,5 X 10-3 0 001 5 , Notation scientifique 1,5 X 10-3 0,001 5 Notation décimale 0 001 5 ,

Exercices Transforme les nombres suivants en notation décimale. 1,27 X 106 : 1 270 000 4,5869 X 103 : 4 586,9 1,2 X 1010 : 12 000 000 000 3,475 X 1020 : 347 500 000 000 000 000 000 2,5 X 10-3 : 0, 002 5 1,897 X 10-10 : 0, 000 000 000 189 7 2, 49573 X 10-12 : 0, 000 000 000 002 495 73

Quelques symboles  : G : giga : unité de milliard : 1 000 000 000 = 1 X 109 M : méga : unité de million : 1 000 000 = 1 X 106 k : kilo : unité de mille : 1 000 = 1 X 103  : micro : millionième : 0, 000 001 = 1 X 10-6 n : nano : milliardième : 0, 000 000 001 = 1 X 10-9

Quelques symboles La centrale hydroélectrique de Manic 5 a une puissance de 1 528 MW. 1 528 MW = 1 528 X 1 000 000 = 1 528 000 000 watts La centrale hydroélectrique de la Baie-James a une puissance de 16 GW. 16 GW = 16 X 1 000 000 000 = 16 000 000 000 watts La construction de la première phase du projet du barrage de la Baie-James a coûté 13,7 G$. 13,7G$ = 13,7 X 1 000 000 000 = 13 700 000 000,00 $

La mémoire des ordinateurs a évolué. Il y a environ 20 ans, elle se calculait en Mo. 1 Mo = 1 mégaoctets 1 X 1 000 000 = 1 000 000 octets. 1 X 106 octets. Il y a environ 10 ans, elle se calculait en Go. 1 Go = 1 gigaoctets 1 X 1 000 000 000 = 1 000 000 000 octets. 1 X 109 octets. Aujourd’hui, elle se calcule To. 1 To = 1 téraoctets 1 X 1 000 000 000 000 = 1 000 000 000 000 octets. 1 X 1012 octets.

1 m

1 km

1 Mm

1 Gm

1 mètre

1 mm

1 m

1 nm

La technologie évolue très rapidement. Observe des réalisations faites au m (micromètre). 1 m = 0,000 001 m = 0,001 mm

La technologie évolue très rapidement. Observe des réalisations faites au nm (nanomètre). 1 nm = 0,000 000 001 m = 0,000 001 mm

Les opérations

Les opérations effectuées avec la notation scientifique se regroupent en deux catégories : 1) la multiplication et la division; 2) l’addition et la soustraction. Chaque catégorie possède ses propres règles de fonctionnement.

La multiplication Exemple : 2 X 102 X 3 X 103 On pourrait transformer ces quantités en notation décimale : 200 X 3 000 Calculer : 600 000 Reconvertir en notation scientifique : 6 X 105 Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.

Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants. 2 X 102 X 3 X 103 Multiplier les nombres accompagnant les bases 10. Étape 1 : 2 X 3 = 6 Étape 2 : Multiplier les bases 10 selon la loi de la multiplication des bases semblables : - on récupère la base; - on additionne les exposants; 102 X 103 = 102+3 = 105 Étape 3 : On regroupe le tout : 6 X 105 Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide. Exemple : 2 X 108 X 4 X 106 = 8 X 1014

1 ≤ a < 10 Exercices Calcule les quantités suivantes : 1,5 X 105 X 3 X 106 = 4,5 X 1011 4 X 1034 X 2 X 106 = 8 X 1040 2,5 X 105 X 5 X 103 = 1,25 X 109 Attention : 2,5 X 5 = 12,5 et 105 X 103 = 108, mais 12,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10. Une des conditions de la notation scientifique : 1 ≤ a < 10 On doit donc terminer l’écriture : 12,5 X 108 = 1,25 X 109

Calcule les quantités suivantes : 2,3 X 107 X 5,6 X 102 = 1,288 X 1010 4,81 X 105 X 3,4 X 106 = 1,6354 X 1012 1,7 X 104 X -2,3 X 105 = -3,91 X 109 La loi concernant la multiplication et la division de nombres positifs et négatifs s’applique aussi en notation scientifique. Attention -3,4 X 106 X 1,2 X 104 = - 4,08 X 1010 -2,1 X 105 X - 4,3 X 102 = 9,03 X 107

106 X 10-4 = 106+ -4 = 106 - 4 = 102 Calcule les quantités suivantes : 2 X 106 X 3 X 10-4 = 6 X 102 Attention 2 X 106 X 3 X 10-4 106 X 10-4 = 106+ -4 = 106 - 4 = 102 2,4 X 1010 X 3 X 10 -4 = 7,2 X 106 3,1 X 107 X 5,2 X 10-3 = 1,612 X 105

La division Exemple : ( 4 X 105 ) ÷ ( 2 X 102 ) On pourrait transformer ces quantités en notation décimale : 400 000 ÷ 200 Calculer : 2 000 Reconvertir en notation scientifique : 2 X 103 Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.

Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants. 4 X 105 ÷ 2 X 102 Diviser les nombres accompagnant les bases 10. Étape 1 : 4 ÷ 2 = 2 Étape 2 : Diviser les bases 10 selon la loi de la division des bases semblables : - on récupère la base; - on soustrait les exposants; 105 ÷ 102 = 105-2 = 103 Étape 3 : On regroupe le tout : 2 X 103 Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide. Exemple : ( 9 X 1014 ) ÷ ( 3 X 106 ) = 3 X 108

1 ≤ a < 10 Exercices Calcule les quantités suivantes : ( 3 X 106 ) ÷ ( 1,5 X 104 ) = 2 X 102 ( 4 X 1034 ) ÷ ( 2 X 106 ) = 2 X 1028 ( 2,5 X 108 ) ÷ ( 5 X 103 ) = 5 X 104 Attention 2,5 ÷ 5 = 0,5 et 108 ÷ 103 = 105, mais 0,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10. Une des conditions de la notation scientifique : 1 ≤ a < 10 On doit donc terminer l’écriture : 0,5 X 105 = 5 X 104

Calcule les quantités suivantes : ( 2,8 X 107 ) ÷ ( 5 X 102 ) = 5,6 X 104 ( 1,02 X 108 ) ÷ ( 3,4 X 103 ) = 3 X 104 ( 1,5 X 106 ) ÷ ( 2 X 102 ) = 7,5 X 103 ( 8 X 106 ) ÷ ( 2 X 10-4 ) = 4 X 1010 Attention 8 X 106 ÷ 2 X 10-4 106 ÷ 10-4 = 106- -4 = 106 + 4 = 1010 ( 2,4 X 1010 ) ÷ ( 3 X 10-2 ) = 8 X 1011 ( 1,2 X 10-6 ) ÷ ( 4 X 10-3 ) = 3 X 10-4

L’addition et la soustraction Exemple : 4 X 105 + 2 X 103 On pourrait transformer ces quantités en notation décimale : 400 000 + 2000 Calculer : 2 000 400 000 + 402 000 Reconvertir en notation scientifique : 4,02 X 105

Pour additionner et soustraire des nombres écrits en notation scientifique, la règle est quelque peu différente. Pendant le calcul, la condition 1 ≤ a < 10 ne s’applique pas. Il faut écrire les nombres avec la même puissance de 10. Exemple : 4 X 105 + 2 X 103 Transformer le plus petit des nombres : 4 X 105 + 0,02 X 105 On additionne alors les nombres accompagnant les bases 10. 4 + 0,02 = 4,02 On récupère la puissance de 10 sans la modifier : 105 4 X 105 + 0,02 X 105 On regroupe le tout : 4,02 X 105

Exercices 3 X 106 + 1,5 X 104 = 3,015 X 106 2,5 X 106 + 5 X 103 = 2,505 X 106 8,4 X 105 - 2,3 X 104 = 8,17 X 105 1,6 X 104 - 5,2 X 106 = - 5,184 X 106 La loi concernant l’addition et la soustraction de nombres positifs et négatifs s’applique aussi en notation scientifique. Attention

Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée. Exercices Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée. 1,25 X 105 km en m : 1,25 X 108 m Convertir des unités de mesures en utilisant la notation scientifique est simple et rapide, car selon le tableau des unités de longueur : km hm dam m dm cm mm par 10 pour chaque unité franchie. donc X 1 000 ou 103 1,25 X 105 X 103 = 1,25 X 105 + 3 = 1,25 X 108 m

Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée. Exercices Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée. 3,2 X 109 m3 en cm3 : 3,2 X 1015 cm3, car selon le tableau des unités de volume : km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 par 1 000 pour chaque unité franchie. donc X 1 000 000 ou 106 3,2 X 109 X 106 = 3,2 X 109 + 6 = 3,2 X 1015 cm3

Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée. Exercices Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée. 4,71 X 1012 m3 en km3 : 4,71 X 103 km3, car selon le tableau des unités de volume : km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 par 1 000 pour chaque unité franchie. donc ÷ 1 000 000 000 ou 109 4,71 X 1012 ÷ 109 = 4,71 X 1012 - 9 = 4,71 X 103 km3

Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée. Exercices Convertis les unités de mesures suivantes dans l’unité demandée. 2,7 X 109 m2 en hm2 : 2,7 X 105 hm2, car selon le tableau des unités de surface : km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 par 100 pour chaque unité franchie. donc ÷ 10 000 ou 104 2,7 X 109 ÷ 104 = 2,7 X 109 - 4 = 2,7 X 105 hm2