Fonction partie entière Graphique et règle Remarque : Tu devrais visionner : « Fonction partie entière, rôle des paramètres.ppt », avant de visionner celle-ci.

On peut tracer le graphique d’une fonction partie entière en utilisant : - un texte (une mise en situation); - une table de valeurs; - une règle. On peut également déterminer la règle d’une fonction partie entière en utilisant : - un texte (une mise en situation); - une table de valeurs; - un graphique.

Tracer le graphique à partir d’une mise en situation. Exemple : Pour stimuler ses vendeurs et vendeuses, le gérant d’une boutique leur accorde une prime supplémentaire de 50,00 $ pour chaque tranche de 1 000,00 $ de ventes effectuées. Trace le graphique représentant cette situation. Il faut analyser le texte. Variable indépendante (x) : le montant des ventes ($) Variable dépendante (y) : la prime ($) La valeur initiale est 0, car s’il n’y a aucune vente, il n’y a aucune prime. Chaque marche (intervalle) aura une longueur de 1 000 unités, fermée à gauche, car il faut avoir complété chaque tranche de 1 000,00 $ pour obtenir la prime. La distance verticale entre chaque marche sera de 50 unités; comme il y aura accumulation, la fonction sera croissante ( a > 0 ).

Primes reçues en fonction des ventes effectuées. a = 50 longueur de la marche = 1 000 b > 0 h = 0 k = 0 Primes reçues en fonction des ventes effectuées. Primes ($) 250 200 150 100 50 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 Montant des ventes ($) Remarque : Il est préférable d’utiliser du papier quadrillé pour tracer une fonction partie entière.

Exemple La mère de François lui a prêté 500,00 $ pour qu’il puisse participer à un voyage d’études. Il est convenu qu’il remboursera 25,00 $ tous les premiers du mois à compter du 1er janvier prochain. Il faut analyser le texte. Variable indépendante (x) : le nombre de mois Variable dépendante (y) : le montant de la dette ($) La valeur initiale est 500 car, au début, sa dette est de 500,00 $. Chaque marche (intervalle) aura une longueur de 1 unité, fermée à gauche, car il faut que le mois soit complété pour que la dette diminue. La distance verticale entre chaque marche sera de 25 unités; comme il y aura remboursement la fonction sera décroissante ( a < 0 ).

Remboursement de la dette de François a = - 25 longueur de la marche = 1 b > 0 h = 0 k = 500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 300 325 350 375 400 425 450 475 500 Remboursement de la dette de François Temps écoulé ( en mois ) Dette ($)

Coût de la prime par année pour 1000,00 $ d’assurance ($) Tracer le graphique à partir d’une table de valeurs. Il est très facile de tracer le graphique d’une fonction partie entière quand on connaît la table de valeurs associée à la situation. Exemple : Le tableau suivant indique le coût d’une prime d’assurance selon le groupe d’âge de la personne. Coût de l’assurance en fonction de l’âge Groupes d’âges (ans) Coût de la prime par année pour 1000,00 $ d’assurance ($) [ 0 , 13 [ [ 13 , 26 [ [ 26 , 39 [ [ 39 , 52 [ [ 52 , 65 [ 6 8 10 12 14 Variable indépendante Variable dépendante

Coût de la prime par année pour 1000,00 $ d’assurance ($) Coût de l’assurance en fonction de l’âge Groupes d’âges (ans) Coût de la prime par année pour 1000,00 $ d’assurance ($) [ 0 , 13 [ [ 13 , 26 [ [ 26 , 39 [ [ 39 , 52 [ [ 52 , 65 [ 6 8 10 12 14 Variable indépendante Variable dépendante + 2 + 2 La fonction est croissante, donc a > 0; l’augmentation est de 2 unités donc | a | = 2. Les crochets indiquent que les bornes des segments sont pleines à gauche et vides à droite, donc b > 0. De plus, la largeur des marches est de 13 unités donc | b | = 1/13. La première classe débute à 0 donc h = 0. La valeur initiale est 6 et h = 0 donc k = 6.

Coût de l’assurance en fonction de l’âge a = 2 b = 1/13 h = 0 k = 6 Coût de l’assurance en fonction de l’âge 10 20 30 40 50 60 70 Groupes d’âge (années) 2 4 6 8 12 14 Coût de la prime par année pour 1000,00 $ d’assurance ($)

Tracer le graphique à partir de la règle. Tracer le graphique d’une fonction partie entière à partir de la règle de la fonction demande de bien comprendre chaque paramètre. Rappel : f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k Le paramètre a : - il donne la distance verticale entre les marches; il se calcule en valeur absolue : | a |, puisque une distance est positive; si a > 0, la fonction est croissante; si a < 0, la fonction est décroissante. 1 2 3 -1 -2 -3 Exemples : a = 3 a = 1 a = -1 a = -3

f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k Le paramètre b : - il indique si l’intervalle (marche) est ouvert à gauche ou à droite; b > 0 : [ [ b < 0 : ] ] - il donne la longueur des marches (intervalles); - il se calcule en valeur absolue : | b |, car une longueur est positive. Attention 1 2 Chaque marche de la fonction partie entière de base mesure 1 unité. Si b = 2 , on atteint la partie entière plus rapidement ce qui diminue la longueur de la marche. 1 2 Si b = 0,5 , on atteint la partie entière moins rapidement ce qui augmente la longueur de la marche. 1 2

La longueur d’une marche est égale à : | b | 1 marche d’une unité valeur de b en absolue | b | 1 | 1 | 1 = 1 1 2 b = 1 Une unité de longueur pour atteindre la partie entière. 1 2 | b | 1 | 2 | 1 = 0,5 b = 2 Une demi-unité de longueur pour atteindre la partie entière. 1 2 | b | 1 | 0,5 | 1 = 2 b = 0,5 Deux unités de longueur pour atteindre la partie entière.

Remarque : | b | 1 1 longueur de la marche = longueur de la marche et = | b | 1 2 1 0,5 = | 2 | b = 2 1 2 1 2 = | 0,5 | b = 0,5

donc à la borne pleine des marches. f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k Les paramètres h et k Ces deux paramètres correspondent à la [ partie entière ] de chaque intervalle, donc à la borne pleine des marches. 1 2 -1 -2 x y x y 1 2 -1 -2 1 2 -1 -2 x y h = 0 , k = 0 h = -1 , k = 0 h = 1 , k = -2 ( h , k ) = ( 0 , 0 ) ( h , k ) = ( -1 , 0 ) ( h , k ) = ( 1 , -2 )

f(x) = a [ b ( x - h ) ] + k Soit tracer le graphique de la fonction f(x) = -2 [ x ] + 1 +1 ( – h ) Étape 1 : Déterminer la valeur des paramètres : a = -2, b = 1, h = 0 k = 1 Étape 2 : Interpréter les paramètres. a et b sont de signes contraires, donc la fonction est décroissante; a = | -2 | = 2, donc la distance entre les marches est de 2 unités; b = 1, donc la longueur des marches est de 1 unité; | b | 1 | 1 | = b > 0, donc les segments sont fermés à gauche; h = 0, donc il n’y a pas de translation horizontale; k = 1, donc il y a translation verticale de 1 unité vers le haut.

Étape 3 : Tracer le graphique. a = -2 , b = 1 , h = 0 , k = 1 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y 1) On commence par placer une borne pleine en utilisant ( h , k ). ( 0 , 1 ) 2) On détermine la longueur et l’orientation d’un segment à l’aide de la valeur de b. 1 | b | = 1 | 1 | = 1 et b > 0 donc 3) On répète les segments en utilisant la valeur de a. a < 0 et | a | = | -2 | = 2 donc Remarque : Les extrémités des marches doivent être vis-à-vis les unes des autres.

Soit tracer le graphique de la fonction f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] - 1 Étape 1 : Déterminer la valeur des paramètres : a = 2 , b = - 0,5 , h = -1 , k = -1 Étape 2 : Interpréter les paramètres. a et b sont de signes contraires, donc la fonction est décroissante; a = | 2 | = 2, donc la distance entre les marches est de 2 unités; 1 b = - 0,5, donc la longueur des marches est de 2 unités; | b | | -0,5 | = b < 0, donc les segments sont fermés à droite; h = -1, donc il y a translation horizontale de 1 unité vers la gauche; k = -1, donc il y a translation verticale de 1 unité vers le bas.

Étape 3 : Tracer le graphique. a = 2 , b = - 0,5 , h = -1 , k = -1 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y 1) On commence par placer une borne pleine en utilisant ( h , k ). ( -1 , -1 ) 2) On détermine la longueur et l’orientation d’un segment à l’aide de la valeur de b. 1 | b | = 1 | -0,5 | = 2 et b < 0 donc 3) On répète les segments en utilisant la valeur de a. a > 0 et | a | = | 2 | = 2 donc Remarque : a > 0 et b < 0 donc fonction décroissante.

Soit tracer le graphique de la fonction f(x) = 3 [ 2x – 4 ] Attention : Cette écriture n’est pas en forme canonique. Il faut donc commencer par écrire cette règle sous la forme canonique. f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k f(x) = 3 [ 2x – 4 ] f(x) = 3 [ 2 ( x – 2 ) ] par simple mise en évidence. Étape 1 : Déterminer la valeur des paramètres : a = 3 , b = 2 , h = 2 , k = 0 Étape 2 : Interpréter les paramètres. a et b sont du même signe, donc la fonction est croissante; a = | 3 | = 3, donc la distance entre les marches est de 3 unités; 1 b = 2, donc la longueur des marches est de 0,5 unité; | b | | 2 | = b > 0, donc les segments sont fermés à gauche; h = 2, donc il y a translation horizontale de 2 unités vers la droite; k = 0, donc il n’y a pas de translation verticale.

Étape 3 : Tracer le graphique. a = 3 , b = 2 , h = 2 , k = 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y 1) On commence par placer une borne pleine en utilisant ( h , k ). ( 2 , 0 ) 2) On détermine la longueur et l’orientation d’un segment à l’aide de la valeur de b. 1 | b | = 1 | 2 | = 0,5 et b > 0 donc 3) On répète les segments en utilisant la valeur de a. a > 0 et | a | = | 3 | = 3 donc Remarque : a > 0 et b > 0 donc fonction croissante.

Soit tracer le graphique de la fonction f(x) = [ 2 ( x + 2 ) ] + 0,5 + 1 Étape 1 : Déterminer la valeur des paramètres : a = 1 , b = 2 , h = - 2 , k = 0,5 Étape 2 : Interpréter les paramètres. a et b sont du même signe, donc la fonction est croissante; a = | 1 | = 1, donc la distance entre les marches est de 1 unité; 1 b = 2, donc la longueur des marches est de 0,5 unité; | b | | 2 | = b > 0, donc les segments sont fermés à gauche; h = -2, donc il y a translation horizontale de 2 unités vers la gauche ; k = 0,5, donc il y a translation verticale de 0,5 unité vers le haut.

Étape 3 : Tracer le graphique. a = 1 , b = 2 , h = - 2 , k = 0,5 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y 1) On commence par placer une borne pleine en utilisant ( h , k ). ( -2 , 0,5 ) 2) On détermine la longueur et l’orientation d’un segment à l’aide de la valeur de b. 1 | b | = 1 | 2 | = 0,5 et b > 0 donc 3) On répète les segments en utilisant la valeur de a. a > 0 et | a | = | 1 | = 1 donc Remarque : a > 0 et b > 0 donc fonction croissante.

Déterminer la règle en utilisant un texte (une mise en situation). Exemple : Pour stimuler ses vendeurs et vendeuses, le gérant d’une boutique leur accorde une prime supplémentaire de 50,00 $ pour chaque tranche de 1 000,00 $ de ventes effectuées. Détermine la règle représentant cette situation. Il faut analyser le texte. Variable indépendante (x) : le montant des ventes ($) Variable dépendante (y) : la prime ($) La valeur initiale est 0, car s’il n’y a aucune vente, il n’y a aucune prime : h = 0 k = 0 Chaque marche (intervalle) aura une longueur de 1 000 unités, fermée à gauche, car il faut avoir complété chaque tranche de 1 000,00 $ pour obtenir la prime. longueur d’une marche 1 = 1 000 1 donc b = 0,001 soit = 0,001

La distance verticale entre les marches sera de 50 unités; comme il y aura accumulation, la fonction sera croissante (a > 0). a = 50 b = 0,001 h = 0 k = 0 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k f(x) = 50 [ 0,001 ( x – 0 ) ] + 0 f(x) = 50 [ 0,001 x ]

Déterminer la règle en utilisant un texte (une mise en situation). Exemple : La mère de François lui a prêté 500,00 $ pour qu’il puisse participer à un voyage d’études. Il est convenu qu’il remboursera 25,00 $ tous les premiers du mois à compter du 1er janvier prochain. Détermine la règle représentant cette situation. Il faut analyser le texte. Variable indépendante (x) : le nombre de mois Variable dépendante (y) : le montant de la dette ($) La valeur initiale est 500 car, au début, sa dette est de 500,00 $. h = 0 et k = 500 Chaque marche (intervalle) aura une longueur de 1 unité, fermée à gauche, car il faut que le mois soit complété pour que la dette diminue. longueur d’une marche 1 = 1 donc b = 1 soit = 1

La distance verticale entre les marches sera de 25 unités; comme il y aura diminution, la fonction sera décroissante (a < 0). a = - 25 b = 1 h = 0 k = 500 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k f(x) = -25 [ 1 ( x – 0 ) ] + 500 f(x) = -25 [ x ] + 500

Coût de la prime par année pour 1000,00 $ d’assurance ($) Déterminer la règle en utilisant une table de valeurs Coût de l’assurance en fonction de l’âge Groupes d’âges (ans) Coût de la prime par année pour 1000,00 $ d’assurance ($) [ 0 , 13 [ [ 13 , 26 [ [ 26 , 39 [ [ 39 , 52 [ [ 52 , 65 [ 6 8 10 12 14 Variable indépendante Variable dépendante Les crochets indiquent que les bornes des segments sont pleines à gauche et vides à droite donc: b > 0. largeur d’un intervalle 1 = 13 1 La largeur des classes est de 13 unités donc | b | = La première classe débute à 0 et la valeur initiale est 6, donc h = 0 et k = 6

La distance verticale entre les marches sera de 2 unités, car le coût de la prime augmente de façon régulière à chaque changement d’intervalle. a = 2 b = 1/13 h = 0 k = 6 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k f(x) = 2 [ 1/13 ( x – 0 ) ] + 6 f(x) = 2 [ 1/13 x ] + 6

Déterminer la règle en utilisant un graphique. Déterminer la règle à partir d’un graphique est le moyen le plus facile. Il s’agit simplement de bien comprendre les paramètres de la fonction. Exemple : Montant des ventes ($) Primes ($) 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 Primes reçues en fonction des ventes effectuées. 50 100 150 200 250

Montant des ventes ($) Primes ($) 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 Primes reçues en fonction des ventes effectuées. 50 100 150 200 250 En utilisant la borne de la marche la plus près de l’origine, on constate que h = 0 et k = 0 b > 0, car le segment est fermé à gauche. b = 0,001 longueur d’une marche 1 = soit 1 000 1 = 0,001 donc b = 0,001 a > 0, car la fonction est croissante et b > 0 | a | = 50 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k donc a = 50 f(x) = 50 [ 0,001 ( x – 0 ) ] + 0 f(x) = 50 [ 0,001 x ]

Remarque : Montant des ventes ($) Primes ($) 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 Primes reçues en fonction des ventes effectuées. 50 100 150 200 250 La fonction partie entière possède plusieurs marches. Pour déterminer la valeur de h et de k, il y a donc plusieurs possibilités. Exemples h et k pourraient être ( 1 000 , 50 ) ( 3 000 , 150 ) Il y a plusieurs possibilités, donc plusieurs règles possibles. f(x) = 50 [ 0,001 x ] f(x) = 50 [ 0,001 ( x – 1 000 ) ] + 50 f(x) = 50 [ 0,001 ( x – 3 000 ) ] + 150

Pour déterminer les différentes valeurs de x ou de f(x), toutes ces règles sont équivalentes. Exemples : f(x) = 50 [ 0,001 x ] f(x) = 50 [ 0,001 ( x – 1 000 ) ] + 50 f(2 000) = 50 [ 0,001 X 2 000 ] f(2 000) = 50 [ 0,001 ( 2 000 – 1 000 ) ] + 50 f(2 000) = 50 [ 2 ] = 100 f(x) = 50 [ 1 ] + 50 = 100 f(x) = 50 [ 0,001 ( x – 3 000 ) ] + 150 f(2 000) = 50 [ 0,001 ( 2 000 – 3 000 ) ] + 150 f(2 000) = 50 [ -1 ] + 150 = 100 Pour éviter la lourdeur des calculs, on détermine h et k avec une marche près de l’origine; on travaille ainsi avec des paramètres plus petits.

Remboursement de la dette de François Détermine les règles des graphiques suivants : h = 0 k = 500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 300 325 350 375 400 425 450 475 500 Remboursement de la dette de François Temps écoulé (en mois) Dette ($) b > 0 car 1 longueur d’une marche | b | = 1 = 1 donc b = 1 a < 0, car la fonction est décroissante et b > 0 | a | = 25 donc a = -25 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k f(x) = - 25 [ x ] + 500

a < 0, car la fonction est décroissante et b > 0 h = 0 k = 1 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y b > 0 car 1 longueur d’une marche | b | = 1 = 1 donc b = 1 a < 0, car la fonction est décroissante et b > 0 | a | = 2 donc a = -2 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k f(x) = - 2 [ x ] + 1

a > 0, car la fonction est décroissante et b < 0 h = -1 k = -1 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y b < 0 car 1 longueur d’une marche | b | = 1 2 = 0,5 donc b = - 0,5 a > 0, car la fonction est décroissante et b < 0 | a | = 2 donc a = 2 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] - 1

a > 0, car la fonction est croissante et b > 0 h = 2 k = 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y b > 0 car 1 longueur d’une marche | b | = 1 0,5 = 2 donc b = 2 a > 0, car la fonction est croissante et b > 0 | a | = 3 donc a = 3 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k f(x) = 3 [ 2 ( x – 2 ) ]

a > 0, car la fonction est croissante et b > 0 h = -2 k = 0,5 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x y b > 0 car 1 longueur d’une marche | b | = 1 0,5 = 2 donc b = 2 a > 0, car la fonction est croissante et b > 0 | a | = 1 donc a = 1 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k f(x) = [ 2 ( x + 2 ) ] + 0,5