Formules d’aires des solides

Le calcul de l’aire totale d’un solide correspond à l’aire de tous les polygones ou cercles qui le composent. Le calcul se fait en trois étapes : On calcule l’aire des bases ou de la base; 1 On calcule l’aire des faces latérales; 2 On additionne le tout. 3

Aire totale des prismes Pour bien comprendre, faisons une représentation en 2 dimensions de ce prisme. largeur hauteur Longueur Les bases Les faces latérales L l l h L h l h L h L l On peut donc calculer l’aire de chaque rectangle et en faire la somme pour obtenir l’aire totale du prisme. Cependant, il existe une formule plus rapide pour obtenir le même résultat.

Aire totale des prismes h L l largeur hauteur Longueur 1) Calculer l’aire des bases : - chaque base est un rectangle, donc A = L X l; - il y a 2 bases, donc l’aire des deux bases = 2 X L X l. 2) Calculer l’aire latérale : l’ensemble des rectangles forme un grand rectangle. La longueur de ce rectangle correspond au périmètre d’une base, donc L + l + L + l ou 2 ( L + l ) ; on multiplie ensuite par la hauteur. Aire latérale = 2 ( L + l ) X h Aire totale d’un prisme = Aire des 2 bases + l’aire latérale ou Aire totale d’un prisme = Aire des 2 bases + périmètre d’une base X hauteur

Aire totale d’un prisme = Aire bases + Pbase X h 2 X L x l + 2 ( L + l ) h Aire totale = 2 X n c a 2 + n c h n : nombre de côtés (ici 6) h c : mesure d’un côté a : mesure de l’apothème h h Aire totale = 2 2 X b X h ( c1 + c2 + c3 ) h + h c3 c2 c1 Attention : Il ne faut pas confondre la hauteur du triangle et la hauteur du prisme. Remarque : La hauteur d’un prisme est le segment reliant les deux bases.

Exemple Calcule l’aire totale de ce prisme. 3 cm 5 cm 4 cm Aire totale d’un prisme = Aire bases + Pbase X h Aire totale = 2 X L X l + 2 ( L + l ) X h Aire totale = 2 X 4 X 5 + 2 ( 4 + 5 ) X 3 Aire totale = 40 + 54 Aire totale = 94 cm2

Prends le temps de lire et de comprendre la situation. Remarque : Certaines situations peuvent ne demander que l’aire latérale. Prends le temps de lire et de comprendre la situation. 4 cm 5 cm 3 cm Calcule l’aire latérale de ce prisme : Exemple : Tu n’as pas besoin de toute la formule. Aire totale d’un prisme = Aire bases + Pbase X h Aire latérale = Aire totale = 2 X L x l + 2 ( L + l ) X h 2 ( 4 + 5 ) X 3 Aire latérale = Aire latérale = 54 Aire latérale = 54 cm2

Aire totale du cube c Le cube est une figure régulière composée de 6 carrés. La formule pour calculer son aire totale est simple. Aire totale = 6 c2, car il est composé de 6 carrés. Aire latérale = 4 c2, car l’aire latérale est composée de 4 carrés. Remarque : Tu peux aussi utiliser la formule des prismes puisque le cube est un prisme.

Exemple 5 m 4 m 12 m Calcule l’aire totale de ce prisme. Aire totale d’un prisme = Aire bases + Pbase X h Aire totale = 2 X n c a 2 n c h + Aire totale = 2 X 6 X 5 X 4 2 6 X 5 X 12 + Aire totale = 120 + 360 Aire totale = 480 m2

Exemple 10 cm Calcule l’aire totale de ce prisme. 8 cm 4,8 cm 6 cm 9 cm Aire totale d’un prisme = Aire bases + Pbase X h Aire totale = 2 2 X b X h ( c1 + c2 + c3 ) h + 2 X 10 X 4,8 Aire totale = 2 ( 6 + 8 + 10) X 9 + Aire totale = 48 216 + Aire totale = 264 cm2

Attention Exemple Calcule l’aire totale de ce cube. Aire totale d’un cube = 6c2 Aire totale du cube = 6 X 102 On doit calculer l’exposant avant d’effectuer la multiplication par le coefficient. Aire totale du cube = 6 X 100 10 dm Aire totale du cube = 600 dm2 Attention Priorité d’opérations Calcule l’aire latérale de ce cube. Aire latérale d’un cube = 4c2 Aire latérale du cube = 4 X 102 Aire latérale du cube = 400 dm2

Aire totale des pyramides Avant de calculer l’aire, il faut connaître 3 segments très importants. La hauteur d’une pyramide droite arrive perpendiculairement au centre de la base. L’apothème de la pyramide L’apothème est une ligne joignant le sommet d’une pyramide au milieu d’un des côtés de la base. Hauteur 3 Exemple Demi-côté 6 Comme la hauteur arrive au centre de la base, la mesure du demi-côté vaut la moitié de la mesure du côté.

La relation de Pythagore nous sera donc très utile. b c c2 = a2 + b2

Aire totale des pyramides Pour bien comprendre, faisons une représentation en 2 dimensions de cette pyramide. L’apothème de la pyramide correspond à la hauteur du triangle. 1) Calculer l’aire de la base : dans cet exemple, la base est un carré donc c2. 2) Calculer l’aire latérale : la longueur totale des bases de ces triangles correspond au périmètre de la base. - Le périmètre de la base est un carré, donc 4 c. La mesure du périmètre de la base est multipliée par l’apothème et divisée par 2 (puisque ce sont des triangles). Aire latérale = 4 X c X a 2 Aire totale d’une pyramide = Aire de la base + Périmètre de la base X apothème 2

Droite à base hexagonale. Aire totale d’une pyramide = Aire de la base + Périmètre de la base X apothème 2 Aire totale d’une pyramide = Aire base + P base X apothème 2 Droite à base carrée. Aire totale de la pyramide = c2 + 4c X apothème 2 Droite à base hexagonale. apothème a Aire totale de la pyramide = + nc X apothème 2 nca n : nombre de côtés c : mesure d’un côté Attention : Il ne faut pas confondre l’apothème du polygone et l’apothème de la pyramide.

Exemple : Calcule l’aire totale de cette pyramide. 5 cm 6 cm 6 cm Aire totale de la pyramide = Aire base + P base X apothème 2 Aire totale de la pyramide = c2 + 4c X apothème 2 Aire totale de la pyramide = 62 + 4 X 6 X 5 2 36 + 60 = 96 cm2

Exemple : Calcule l’aire totale de cette pyramide. c b a ? La mesure de l’apothème est inconnue, donc il faut : 8 m 1) Déterminer le demi-côté : 6 m 6 m 12 m 12 m 2) Utiliser la hauteur : 8 m 3) Déterminer l’apothème : c2 = a2 + b2 c2 = 82 + 62 c2 = 100 c = 10 m

Exemple : Calcule l’aire totale de cette pyramide. 10 m 8 m 12 m 12 m Aire totale de la pyramide = Aire base + P base X apothème 2 2 Aire totale de la pyramide = c2 + 4ca Aire totale de la pyramide = 122 + 4 X 12 X 10 2 144 + 240 = 384 m2

Exemple : c = 7 m a hexagone = 4 m a pyramide = 12 m Calcule l’aire totale de cette pyramide. Aire totale de la pyramide = Aire base + P base X a 2 2 ncap Aire totale de la pyramide = ncah + apothème de la pyramide apothème de l’hexagone 2 6 X 7 X 12 Aire totale de la pyramide = 6 X 7 X 4 + Aire totale de la pyramide = 84 m2 + 252 m2 = 336 m2

Aire totale d’un cylindre Pour bien comprendre le problème, faisons une représentation en 2 dimensions de ce cylindre. h En déroulant la face latérale d’un cylindre, nous obtenons un rectangle. 1) Calculer l’aire des bases : - chaque base étant un cercle, donc A = πr2. - il y a 2 bases, donc 2πr2. 2) Calculer l’aire latérale : - la largeur du rectangle correspond à la hauteur du cylindre; - la longueur du rectangle correspond à la circonférence du cercle. Aire latérale = 2πr X h Aire totale d’un cylindre = Aire des bases + aire latérale Aire totale d’un cylindre = 2πr2 + 2πrh

Calcule l’aire totale de ce cylindre. Exemple : 5 cm 10 cm Calcule l’aire totale de ce cylindre. Aire totale d’un cylindre = Aire des bases + aire latérale Aire totale d’un cylindre = 2πr2 + 2πrh Aire totale d’un cylindre = 2 X π X 52 2 X π X 5 X 10 + Aire totale d’un cylindre ≈ 157,08 314,16 + ≈ 471,24 cm2

L’aire totale d’un cône Pour le calcul de l’aire, nous devons connaître 3 segments très importants. Hauteur Apothème La hauteur d’un cône droit arrive perpendiculairement au centre du cercle. L’apothème est une ligne joignant le sommet d’un cône à un point de la circonférence de la base. Rayon Remarque : On fait correspondre l’apothème avec le côté du cône.

Encore une fois, la relation de Pythagore nous sera très utile. b c c2 = a2 + b2

Aire totale d’un cône Nous pourrions comparer un cône à une pyramide dont la base serait composée d’une infinité de segments avec une infinité de faces latérales. La formule pour trouver l’aire totale d’un cône ressemble donc à celle de la pyramide.

π X r2 π r2 Aire totale d’un cône Aire totale d’un cône = Aire de la base + Aire latérale Aire totale d’un cône = Aire de la base + 2 Circonférence de la base X apothème π X r2 2 X π X r X a 2 Aire totale d’un cône = + Aire totale d’un cône = π r2 + 2 π r a 2

π r2 π X 32 Exemple 3 cm 5 cm Calcule l’aire totale de ce cône. Aire totale d’un cône = π r2 + 2 π r a 2 Aire totale de ce cône = π X 32 + 2 X π X 3 X 5 2 Aire totale de ce cône ≈ 28,27 + 47,12 ≈ 75,39 cm2

Exemple Calcule l’aire totale de ce cône. c b a ? La mesure de l’apothème est inconnue, donc il faut : 1) Utiliser le rayon : 9 m et la hauteur : 12 m 12 m 2) Déterminer l’apothème : c2 = a2 + b2 9 m c2 = 122 + 92 c2 = 144 + 81 c2 = 225 c = 15 m

π r2 π X 92 Calcule l’aire totale de ce cône. 15 m 12 m 9 m Aire totale d’un cône = π r2 + 2 π r a 2 Aire totale de ce cône = π X 92 + 2 X π X 9 X 15 2 Aire totale de ce cône ≈ 254,47 + 424,12 ≈ 678,59 m2

Aire d’une sphère Une sphère n’a pas de développement. Cependant, si nous défaisions sa surface, nous obtiendrions 4 cercles. A = π r2 Comme l’aire d’un cercle se calcule avec la formule et que la sphère est composée de 4 cercles, alors 4 π r2 Aire d’une sphère =

Exemple Calcule l’aire de la sphère suivante. A sphère = 4 π r2 r = 5 dm A sphère = 4 X π X 52 A sphère ≈ 314,16 dm2

Ces deux formules dépendent de la forme des bases. En résumé Aire totale d’un prisme = Aire bases + Pbase X h Aire totale d’une pyramide = Aire base + P base X apothème 2 Ces deux formules dépendent de la forme des bases. 2πr2 + 2πrh Aire totale d’un cylindre = Aire des bases + aire latérale π r2 + 2 π r a 2 Aire totale d’un cône = Aire base + C base X apothème Aire d’une sphère = 4 π r2 Aire totale du cube : 6 c2 Aire latérale du cube : 4 c2