Les familles de fonctions Situations et Modèles mathématiques

Une fonction est une relation entre deux éléments. Plusieurs situations concrètes peuvent être représentées par des fonctions. Exemples : - le salaire en fonction du temps; - la température d’un corps en fonction du temps; - l’aire d’un disque en fonction de son rayon; - l’ampérage en fonction de la résistance; - etc. Chaque fonction possède donc son propre modèle.

Fonction polynomiale de degré 0 Fonction polynomiale de degré 1 x y x y x Fonction polynomiale de degré 0 Fonction polynomiale de degré 1 Fonction polynomiale de degré 1 ou ou ou fonction constante fonction linéaire de variation directe fonction linéaire de variation partielle f(x) = ax0 f(x) = a f(x) = x1 f(x) = x1 + b f(x) = x f(x) = x + b

Fonction inversement proportionnelle Fonction rationnelle y x y x Fonction inversement proportionnelle Fonction rationnelle f(x) = a x

Fonction partie entière y x y x Fonction polynomiale de degré 2 Fonction partie entière ou f(x) = [ x ] fonction quadratique f(x) = x2

Fonction racine carrée Fonction exponentielle y x y x Fonction racine carrée Fonction exponentielle f(x) = x f(x) = cx y x y x Fonction valeur absolue Fonction périodique f(x) = x

Examinons quelques situations.

On veut représenter le salaire d’un ouvrier en fonction de ses heures de travail pour une semaine. Nous dirons qu’il gagne 10 $ de l’heure et que sa semaine de travail comporte 40 heures. Le graphique ci-contre illustre cette situation. Salaire ($) 5 Heures 50 Forme d’équation la plus simple : f(x) = x

Courbe de la tension en fonction du courant En électricité, plusieurs phénomènes peuvent être représentés par des fonctions linéaires de variation directe. Courbe de la tension en fonction du courant Courant (A) 0,25 0,50 0,75 1 Tension (V) 2 4 6 8

Conversion de température Aux Etats-Unis, la mesure de la température ne se fait pas en degré Celsius mais avec une autre unité de mesure, soit le degré Fahrenheit. Il existe une formule permettant de convertir les degrés Celsius en degré Fahrenheit; cette formule est : 5 0F = 9 0C + 32. 20 0C 25 0F Conversion de température La représentation graphique ce cette fonction est illustrée ci-contre. La conversion de température des degrés Celsius en degrés Fahrenheit est une fonction linéaire de variation partielle. Forme d’équation la plus simple : f(x) = x + b

Forme d’équation la plus simple : f(x) = a Dans une loto, plus on achète de billets et plus on a de chances de gagner. Tu demandes donc à tes amis de participer à l’achat des billets lors d’un tirage de 20 000$. Tu aimerais savoir quel montant recevra chacun en fonction du nombre de participants. Plus le nombre de participants sera élevé et plus le montant gagné par chacun sera petit. Partage d’une somme d’argent de 20 000 $ Nombre de participants 2 Somme gagnée (K$) Cette situation représente une fonction inversement proportionnelle (appelée aussi fonction rationnelle). Seulement une partie du plan cartésien est utilisé, mais le modèle s’apparente au modèle de la fonction inversement proportionnelle. Forme d’équation la plus simple : f(x) = a x

Le coût d’utilisation d’un stationnement public est de 2,00 $ de l’heure ou partie d’heure. On s’intéresse à la relation entre les heures de stationnement et le coût. Cette situation s’explique comme suit. Dès la première minute à laquelle on entre dans le stationnement, le coût est automatiquement de 2,00 $. Coût de stationnement Temps (heures) Coût ($) 1 2 4 6 8 3 Si on reste 30 minutes, le coût est aussi de 2,00 $. Si on reste 1 heure + une minute, le coût augmente subitement à 4,00 $ pour toute la deuxième heure et ainsi de suite. C’est le modèle de variation en escalier. On l’appelle ainsi car le graphique ressemble à un escalier. Il représente la fonction appelée partie entière. Forme d’équation la plus simple : f(x) = [ x ]

Ce type de courbe s’appelle une parabole. Un ballon de football est botté dans les airs. La hauteur H du ballon (en mètres) selon le temps (en secondes) est donnée par la règle H(t) = -2t2 + 12 t. 1 2 6 3 9 12 15 18 Temps (sec) Hauteur (m) Botté d’un ballon de football 4 5 21 Ce type de courbe s’appelle une parabole. Ici encore, on ne représente qu’une partie de la parabole soit la partie positive puisque la situation est une situation réelle. Forme d’équation la plus simple : f(x) = x2

Voici une table de valeurs représentant cette situation. Au début d'une expérience, il y avait 20 bactéries. Depuis, l'augmentation des bactéries double à chaque heure. On veut connaître le nombre de bactéries après 6 heures. Heures Bactéries 1 2 3 4 5 20 40 80 160 320 640 6 1280 Voici une table de valeurs représentant cette situation. Heures 1 2 3 4 5 6 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 Développement de bactéries Nombre de bactéries Cette table de valeurs et ce graphique représentent le modèle exponentielle. Au début, la relation progresse assez lentement, mais par la suite, elle augmente très rapidement. Forme d’équation la plus simple : f(x) = cx

On voudrait connaître la longueur du côté d’un carré en fonction de son aire. Ici, il faut extraire la racine carré des différentes aires que peut avoir un carré. Aires et côtés de carrés Aire (m2) Côté (m) 1 4 9 2 3 Forme d’équation la plus simple : f(x) = x

Il varie donc constamment de + 110 Volts à – 110 Volts. L’électricité que nous recevons dans nos maisons à une tension de 110 Volts et le courant est alternatif. Il varie donc constamment de + 110 Volts à – 110 Volts. La courbe ci-contre représente un cycle. Fréquence d’un courant alternatif (110 V) Temps (sec) Tension (V) + 110 V - 110 V 1 60 Ce cycle a une durée de 1/60 de seconde, il se répète donc 60 fois dans une seconde. Cette situation s’apparente donc à la fonction périodique. Temps (sec) Tension (V) + 110 V - 110 V 1 60 Une des formes d’équation la plus simple de ce genre de situation : f(x) = sin x

Conclusion Chaque modèle mathématique illustre une multitude de situations ou de phénomènes de la vie courante. Cependant, ces situations ne correspondent le plus souvent qu’à une partie du modèle. Chaque fonction possède ses propres propriétés (domaine, codomaine, intervalles de croissance et de décroissance, etc.); être capable de les analyser est donc essentiel. Il existe encore d’autres fonctions, nous ne les avons pas toutes abordées. Une bonne connaissance de l’algèbre est essentielle pour pouvoir utiliser adéquatement toutes les notions gravitant autour du concept de fonctions.