Triangles et parallèles

Théorème 1 : Toute droite sécante à deux côtés d’un triangle et parallèle au troisième côté forme un petit triangle semblable au grand. A C E Construisons le triangle ACE. B D Traçons une parallèle au côté CE et nommons-la BD. Affirmations Justifications 1) B C ~ = D E ~ = et Ce sont des angles correspondants formés par des parallèles et des sécantes. 1) 2) ∆ ABD ~ ∆ ACE 2) Propriété AA.

Application D E x A A Dans le triangle ADE, on a tracé la parallèle BC au côté DE. 7 7 Quelle est la mesure du côté DE ? 12 B C 3 Les triangles étant semblables, on peut poser le rapport suivant : m AB m AD m BC m DE = 10 + 7 10 = 12 x Attention Il faut voir les 2 triangles; AB est homologue à AD et BC est homologue à DE . 7 10 = 12 x 7x = 120 x = 120 7

A B C D E x 2 3 4 Dans le triangle ABC, on a tracé la parallèle DE au côté BC. Quelle est la mesure du côté AD ? m AB m AD = m BC m DE (x + 2) x = 4 3 3 (x + 2) = 4x 3 x + 6 = 4x 6 = x

Théorème 2 : Toute droite sécante à deux côtés d’un triangle et parallèle au troisième côté détermine, sur les deux côtés, des segments dont les mesures sont proportionnelles. A B C D E À partir du théorème 1, on sait que : m AB m AD = m AC m AE En soustrayant 1 à chaque membre de l’équation, on obtient : m AB m AD - 1 m AC m AE - 1 = Remplaçons - 1 par une fraction-unité. m AB m AD - m AC m AE - =

A B C D E m AB m AD - m AC m AE = Regroupons : m AB m AD - m AC m AE - = m DB m AD = m EC m AE Simplifions : Toute droite sécante à deux côtés d’un triangle et parallèle au troisième côté détermine, sur les deux côtés, des segments dont les mesures sont proportionnelles.

Toute droite sécante à deux côtés d’un triangle et parallèle au troisième côté détermine, sur les deux côtés, des segments dont les mesures sont proportionnelles. 7 2,8 x 3,92 A B D C F Application Quelle est la mesure du segment AC ? Attention Ce théorème ne calcule que des portions de côtés; comme s’il n’y avait pas vraiment de triangle. m AB m BD = m AC m CF 7 2,8 = x 3,92 7 X 3,92 = 2,8x x = 9,8

A Attention Si on cherche des portions de triangles, x 7 la proportion à utiliser est : B C m AB m AC = m BD m CF 2,8 3,92 F x 3,92 7 2,8 = D Si on cherche des côtés de triangles, A B C 7 12 3 D E x = la proportion à utiliser est : m AB m BC m AD m DE 12 x 7 10 =

Théorème 3 : Des sécantes, coupées par des parallèles, sont partagées en segments de longueurs proportionnelles. A E B F En ajoutant une 3e parallèle et en faisant une démonstration similaire au théorème 2, nous obtenons la proportion suivante : C D m AC m CE = m BD m DF Attention Les portions de sécantes, à l’extérieur des parallèles, se sont pas proportionnelles, car on ne peut pas les limiter.

Application C D A E B F 3 2 x 4 Quelle est la mesure du segment BD ? m AC m CE = m BD m DF 3 2 = x 4 3 X 4 = 2x 6 = x

∆ ABC ~ ∆ ADE A B C D E Théorème 4 : Le segment de droite qui joint le milieu de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté et sa mesure est la moitié de celle du troisième côté. Il faut prouver que : m BC m DE = 1 2 et BC DE // Affirmations Justifications A A ~ = 1) Il est commun aux deux triangles. 1) m AC m AE = 1 2 2) m AB m AD 2) Donnée du problème. ∆ ABC ~ ∆ ADE 3) 3) Propriété CAC.

∆ ABC ~ ∆ ADE : A B C D E Affirmations Justifications 4) m BC m DE = 1 2 4) Dans les triangles semblables, les mesures des segments homologues sont proportionnels. 5) B D ~ = 5) Dans les triangles semblables, les angles homologues sont isométriques. BC DE // 6) 6) Si deux droites coupées par une sécante possèdent des angles correspondants isométriques, alors elles sont parallèles entre elles. Le segment de droite qui joint le milieu de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté et sa mesure est la moitié de celle du troisième côté.

Conclusion Les axiomes reliés aux droites parallèles coupées par une sécante procurent beaucoup d’informations. La situation doit spécifier que les droites sont parallèles, sinon il faut préalablement le démontrer avant de pouvoir utiliser les axiomes utilisant cette propriété.