Inéquations du premier degré à une inconnue

Inéquation Définition Une inéquation est un énoncé mathématique comportant une ou des variables et un symbole d’inégalité. Exemples : a < 1 6x > 25 3x + 5 ≤ - 40 7d - 13 ≤ d L’ensemble des valeurs qui vérifient une inéquation est appelé l’ensemble-solution.

< > ≤ ≥ Rappel : signifie : plus petit que … signifie : plus grand que … ≤ signifie : plus petit ou égal à … ≥ signifie : plus grand ou égal à … Remarques importantes sur les 4 symboles : En utilisant l’ensemble des entiers naturels ( N ), regardons des détails importants sur ces symboles. < La pointe signifie plus petit que; l’ouverture signifie plus grand que; ainsi, x < 5 se lit x est plus petit que 5; x > 5 se lit x est plus grand que 5.

< ≤ > ≥ ≤ x < signifie : plus petit que … ce qui exclut le nombre. 0, 1, 2, 3, Exemple : x < 4 signifie Le x représente tous les nombres qui nous intéressent. ≤ signifie : plus petit ou égal à … ce qui inclut le nombre. 0, 1, 2, 3, 4 Exemple : x ≤ 4 signifie > signifie : plus grand que … ce qui exclut le nombre. 7, 8, 9, 10, 11, … Exemple : x > 6 signifie ≥ signifie : plus grand ou égal à … ce qui inclut le nombre. 6, 7, 8, 9, 10, 11, … Exemple : x ≥ 6 signifie ≤ x < signifie : les nombres compris entre … Exemple : 2 ≤ x < 8 signifie 2, 3, 4, 5, 6, 7

R : les nombres réels L’ensemble des nombres réels englobe tous les autres ensembles N, Z, Q, Q’. Il est l’ensemble de nombres le plus utilisé en mathématique. On sait que l’ensemble des nombres réels remplit la droite numérique; on peut donc illustrer un ensemble particulier à l’aide de celle-ci. Exemple : On voudrait représenter tous les nombres réels plus grand que 1. ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 Ce trait plein symbolise tous les nombres réels plus grand que 1. ] 1 , ∞ + Algébriquement : x > 1 En intervalles : Les intervalles ne s’emploient qu’avec la famille des réels (R) . Remarque :

Les intervalles , Les intervalles sont représentés par des crochets : C’est une autre façon d’exprimer un ensemble-solution lorsqu’on travaille avec les réels. Exemple : 1 , 6 On place une virgule pour séparer les nombres. Cela signifie : 1 ≤ x ≤ 6 Soit tous les nombres réels plus grands ou égaux à 1 et plus petits ou égaux à 6; ou tous les nombres entre 1 inclus et 6 inclus. Les crochets peuvent être ouverts ou fermés , selon la situation à représenter. Exemples : -2 , 5 -2 ≤ x ≤ 5 -2 , 5 -2 < x ≤ 5 -2 , 5 -2 ≤ x < 5 -2 , 5 -2 < x < 5

Exercice En utilisant la droite numérique, les intervalles et les inéquations, décris les phrases suivantes. Droite numérique En intervalles Inéquation Tous les réels plus petits que 3 : 1 2 3 4 - 1 , 3 ∞ - x < 3 Tous les réels supérieurs à 100 inclus : 100 100 , ∞ + x ≥ 100 Tous les réels compris entre 5 inclus et 30 exclu : 5 30 5 , 30 5 ≤ x < 30

∞ ∞ ∞ Droite numérique En intervalles Inéquation Tous les nombres réels compris entre 5 exclu et 15 exclu : 5 5 , 15 5 < x < 15 0 , ∞ + Tous les nombres réels positifs : x ≥ 0 ∞ - , 0 Tous les nombres négatifs, sauf 0 : x < 0 ∞ - + , Tous les nombres réels : x R ou R

Écris algébriquement et à l’aide d’intervalles, l’ensemble-solution des inéquations suivantes. En intervalles ∞ - , 23 [ x est inférieur à 23 : x < 23 ∞ + [ 12 , x est supérieur ou égal à 12 : x ≥ 12 ∞ + [ -6 , x n’est pas plus petit que -6 : x ≥ -6 ∞ - , 3 ] x est inférieur ou égal à 3 : x ≤ 3 ∞ + ] 6 , x est plus grand que 6 : x > 6 ∞ - , 10 ] x vaut au maximum 10 : x ≤ 10

∞ ∞ ∞ ∞ Algébriquement En intervalles + [ 10 , x vaut au moins 10 : ] -5 , x est supérieur à -5 : x > -5 ∞ - , 2 ] x vaut au plus 2 : x ≤ 2 ∞ + [ 2 , x vaut au minimum 2 : x ≥ 2 x vaut au maximum 10 et au minimum -3 : -3 ≤ x ≤ 10 [ -3, 10 ] x est plus grand que 2 mais plus petit ou égal à 7 : 2 < x ≤ 7 ] 2 , 7 ]

Inéquation Une inéquation est un énoncé mathématique comportant une ou des variables et un symbole d’inégalité. Voici une égalité. Voici une équation. 4 X 2 = 8 3 x = 12 Voici une inégalité. Voici une inéquation. 4 X 3 > 8 3 x > 12 12 > 8

Remarque Résoudre une équation du premier degré à une variable ne donne qu’une seule valeur possible pour la variable. 3 x = 12 3 x = 4 Résoudre une inéquation du premier degré à une variable donne plusieurs valeurs possibles pour la variable. 3 x > 12 3 x > 4 ∞ + ] 4 , En intervalles,

∞ En intervalles : + ] 4 , 3 x > 12 x > 4 Vérifions avec quelques valeurs possibles : x > 4 3 x > 12 Pour x égal 5 : 3 X 5 > 12 15 > 12 Inégalité vraie. Pour x égal 7 : 3 X 7 > 12 21 > 12 Inégalité vraie. Pour x égal 9 : 3 X 9 > 12 27 > 12 Inégalité vraie. Pour x égal 10 : 3 X 10 > 12 30 > 12 Inégalité vraie. Résoudre une inéquation du premier degré à une variable donne plusieurs valeurs possibles pour la variable.

Règles de transformation des inéquations Les règles de résolution des inéquations sont les mêmes que pour les équations, excepté lorsqu’on retrouve des facteurs négatifs. Équations Inéquations 3 x = 12 3 x > 12 Pour que ce terme soit égal à 12, x ne peut pas valoir autre chose que 4. Pour que ce terme soit plus grand que 12, x peut prendre plusieurs valeurs. 3 3 x = 4 x > 4 C’est la solution qui est différente. Exemples : 3 x > 12 Pour x égal 5 : 3 X 5 > 12 15 > 12 Inégalité vraie. Pour x égal 7 : 3 X 7 > 12 21 > 12 Inégalité vraie. Pour x égal 9 : 3 X 9 > 12 27 > 12 Inégalité vraie.

Résous les équations et les inéquations suivantes. 3x - 5 = 10 3x - 5 ≥ 10 3x - 5 + 5 = 10 + 5 3x - 5 + 5 ≥ 10 + 5 3x = 15 3x ≥ 15 3 3 x = 5 x ≥ 5 5 , ∞ + x ou 5 , ∞ + x Cette expression signifie : Remarque : 5x - 17 = x + 4 5x - 17 < x + 4 toutes les valeurs de x appartiennent à l’intervalle 5 , ∞ + 5x - 17 = x + 4 - x 5x - 17 < x + 4 - x 4x - 17 = 0 + 4 4x - 17 < 0 + 4 4x - 17 = 4 + 17 4x - 17 < 4 + 17 4x + 0 = 21 4x + 0 < 21 4x = 21 4x < 21 4 4 x = 5,25 x < 5,25

Règles de transformation des inéquations Additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inéquation conserve le sens de cette inéquation. 2a + 5 > 6 5a – 6 ≤ 16 2a + 5 > 6 – 5 – 5 5a – 6 ≤ 16 + 6 + 6 2a > 1 5a ≤ 22

Règles de transformation des inéquations Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre positif conserve le sens de cette inéquation. × 2 ( ) 4 – 2,5a > 7 ÷ 3 ( ) 3a – 6 ≥ -15 3a – 6 ≥ -15 3 8 – 5a > 14 a – 2 ≥ -5

Règles de transformation des inéquations Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre négatif inverse le sens de cette inéquation. Pour bien comprendre cette règle, prenons un exemple algébrique. -2x > 6 Ce terme doit être plus grand que 6. Vérifions : - 2x > 6 - 2 X -2 > 6 -2x > 6 -2 4 > 6 Faux - 2 X 0 > 6 x > -3 0 > 6 Faux - 2 X 3 > 6 -6 > 6 Faux

Règles de transformation des inéquations Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre négatif inverse le sens de cette inéquation. -2x > 6 Ce terme doit être plus grand que 6. Vérifions : - 2x > 6 - 2 X -4 > 6 -2x > 6 -2 8 > 6 Vrai x < -3 - 2 X -5 > 6 10 > 6 Vrai Il faut donc inverser le signe. - 2 X -9 > 6 18 > 6 Vrai Lorsqu’on multiplie ou qu’on divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre négatif, on doit inverser le sens de cette inéquation.

Multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre négatif inverse le sens de cette inéquation. × -2 ( ) 4 – 8a ≥ 26 ÷ -3 ( ) -3a > 21 -3a > 21 -3 -8 + 16a ≤ - 52 a < -7 Remarque : Pour connaître les valeurs numériques que peut prendre la variable, il faut toujours que celle-ci soit positive dans l’inéquation. Exemple : - a ≤ 4 donc - a ≤ 4 -1 ou - a ≤ 4 -1 X X -1 a ≥ -4 a ≥ -4

Résous les inéquations suivantes et donne la réponse algébriquement et en intervalles. 2x + 50 ≥ 250 2x + 50 – 50 ≥ 250 – 50 2x ≥ 200 2 100 , ∞ + x x ≥ 100 -5x + 100 > 100 -5x + 100 – 100 > 100 – 100 -5x > 0 -5 ∞ - , 0 x x < 0

∞ ∞ x < -4 5x + 18 ≥ 3 -9x - 24 > 12 -9x - 24 > 12 - 18 + 24 -9x + 0 > 36 5x + 0 ≥ -15 -9x > 36 5x ≥ -15 5 -9 x ≥ -3 x < -4 [ -3 , ∞ + , - 4 ] ∞ -

Résolution d’une inéquation Déterminer les valeurs qui vérifient une inéquation, c’est résoudre cette inéquation. Dans un problème, on utilise parfois des inéquations pour trouver la solution. Exemple : Le périmètre d’un terrain rectangulaire est d’au moins 178 m. Sa longueur mesure 5 m de plus que le triple de sa largeur. On s’intéresse aux dimensions possibles du terrain. 1. Les inconnues sont : La largeur du terrain La longueur du terrain 2. Largeur du terrain (en m) : x Longueur du terrain (en m) : 3x + 5

Périmètre: 2 (L + l ) 3. L’expression 2 (3x + 5 + x) correspond au périmètre du terrain. On obtient : 2(x + 3x + 5) ≥ 178 2(4x + 5) ≥ 178 8x + 10 ≥ 178 4. Résoudre l’inéquation : 8x + 10 ≥ 178 8x + 10 – 10 ≥ 178 – 10 8x ≥ 168 8 x ≥ 21 5. On déduit que la largeur du terrain doit être d’au moins 21 m. Par exemple, le terrain pourrait mesurer 21 m sur 68 m.

5. On déduit que la largeur du terrain doit être d’au moins 21 m. Par exemple, le terrain pourrait mesurer 21 m sur 68 m. Possibilités : périmètre : largeur longueur : x 3x + 5 2 (L + l) 21 m 3 X 21 + 5 = 68 m 2 (68 + 21) = 178 m 22 m 3 X 22 + 5 = 71 m 2 (71 + 22) = 186 m 25 m 3 X 25 + 5 = 80 m 2 (80 + 25) = 210 m 30 m 3 X 30 + 5 = 95 m 2 (95 + 30) = 250 m … Le périmètre d’un terrain rectangulaire est d’au moins 178 m. Il y a donc beaucoup de valeurs possibles pour la variable.

Pour quelles valeurs de c le volume de ce cube est-il inférieur à 343 cm3 ? Volume cube = c3 Volume < 343 cm3 Donc, c3 < 343 cm3 c < 3 343 c < 7 cm soit 7 Mais, pour que le cube puisse exister, la valeur de c doit être : - positive, car une mesure négative en géométrie est impossible; - plus grande que 0, car pour c = 0 cm, il n’y aurait pas de cube. Il faut donc restreindre les valeurs de c. Réponse : 0 cm < c < 7 cm Remarque : Avec les inéquations, il faut souvent poser des conditions.