Rapports et proportions

Une proportion est l’égalité entre deux fractions ou deux rapports. Exemple : 2 4 3 6 = Ces deux fractions sont égales; 1 2 = en effet, si on les simplifie, on constate qu’elles sont équivalentes. Deux fractions équivalentes unies par le signe = forment une proportion. 2,5 7,5 12,5 37,5 = Ces deux rapports sont égaux; Exemple : 1 3 = en effet, si on les simplifie, on constate qu’ils sont équivalents. Deux rapports équivalents unis par le signe = forment une proportion.

Remarque : Il existe une légère différence entre un rapport et une fraction. Dans un rapport, le numérateur et le dénominateur ne sont pas nécessairement des nombres entiers. 2,5 7,5 Exemple : C’est un rapport, mais pas une fraction. 2 4,1 C’est un rapport, mais pas une fraction. 3,5 7 C’est un rapport, mais pas une fraction. Dans une fraction, le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers. 2 4 C’est un nombre entier. Exemple : C’est un nombre entier. Une fraction est donc un rapport, mais composée uniquement de nombres entiers.

On généralise une proportion comme suit : Remarque On généralise une proportion comme suit : A C Le premier et le dernier termes s’appellent les Le deuxième et le troisième termes s’appellent les = extrêmes. B D moyens.

On peut prouver que deux rapports forment une proportion de plusieurs façons. 8 10 16 20 = 4 5 = 1) Simplifier les rapports : 2) Écrire les deux rapports de manière à ce que les numérateurs = 1. 8 10 16 20 = 8 10 ÷ = 1 1,25 16 20 ÷ = 1 1,25 1 1,25 = et 3) Écrire les deux rapports de manière à ce que les dénominateurs = 1. 8 10 16 20 = 8 10 ÷ = 0,8 1 16 20 ÷ = 0,8 1 et 0,8 = 4) Multiplier les extrêmes entre eux et les moyens entre eux; s’il y a égalité alors les rapports sont proportionnels. 8 10 16 20 = 8 10 16 20 = 8 X 20 = 16 X 10 Donc, forment une proportion. 160 =

Les proportions ont plusieurs propriétés : 2 3 1) Inverser les rapports donne une nouvelle proportion : = 4 6 2 3 2) Intervertir les extrêmes donne une nouvelle proportion : = 4 6 3) Intervertir les moyens donne une nouvelle proportion : 2 3 = 4 6 2 4 3 6 = 4) Le produit des extrêmes égale le produit des moyens : 2 X 6 = 3 X 4 Remarque : Cette dernière propriété sera très utile pour déterminer une mesure manquante. Le produit des extrêmes égale le produit des moyens.

x Trouver une mesure manquante dans une proportion Une proportion est un outil très utilisé en mathématiques, en sciences et dans la vie de tous les jours. Exemple : À ton dernier examen, tu as reçu une note de 35 sur 40. Quel est ton résultat sur 100 ? Voici la proportion à utiliser : Écris toujours ton rapport en français pour bien placer tes nombres. Ton résultat : 35 100 ? Quand on cherche une inconnue, on utilise souvent la lettre x. = Le total de l’examen : 40 Ton résultat : Le total de l’examen : 100 35 40 = x Remarque : Dans un problème, lorsque l’on donne 3 informations et qu’il faut en trouver une quatrième, c’est souvent la proportion qu’il faut utiliser.

x x Ton résultat : 35 Démarche : = Le total de l’examen : 40 100 1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. » 100 35 40 = x 35 X 100 = 40 X x 3 500 = 40 x 2) Isoler x : 3 500 = 40 x 40 40 87,5 = x 87,5 87,5 Ta note est donc de ou 87,5 % 100

Problème Une recette de gâteaux pouvant servir 5 personnes demande 400 g de beurre. Tu voudrais faire le même gâteau pour 8 personnes. Quelle quantité de beurre auras-tu besoin ? Écris toujours ton rapport en français pour bien placer tes nombres. 400 quantité de beurre (g) : nombre de personnes : 5 x 8 = 1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. » 400 5 = x 8 8 X 400 = 5 X x 3 200 = 5 x 2) Isoler x : 3 200 = 5 x 5 5 640 = x Réponse : 640 g

Problème Dans une vente de liquidation, un disquaire offre tous les CD de musique au même prix. Un client paie 22,50 $ pour trois CD. Combien paiera-t-il pour 7 CD ? Écris toujours ton rapport en français pour bien placer tes nombres. 22,50 3 Nombre de CD : Prix ($) : 7 x = 1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. » 3 X x = 7 X 22,50 3 x = 157,50 2) Isoler x : 3 x = 157,50 3 3 52,50 = x Réponse : 52,50 $

Problème Sur une carte dont l’échelle est 1 : 29 000, on a mesuré la distance entre deux villes. Cette mesure est de 22,5 cm. Quelle est la distance réelle entre les deux villes ? distance sur la carte (cm) : distance réelle (cm) : 1 29 000 22,5 x = 1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. » 1 X x = 22,5 X 29 000 1x = 652 500 2) Isoler x : 1 x = 652 500 1 1 Ici, ce n’est pas nécessaire de diviser par 1 pour isoler x, car lorsque que le coefficient de x est 1, x est isolé. x = 652 500 Réponse : 652 500 cm ou mieux : 6,525 km

Problème Au super marché, tu as acheté 3,6 Kg de viande pour 16,20 $. Combien coûte 1 kg ? Quantité de viande (kg) : Prix ($) : 3,6 16,20 1 x = 1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. » 3,6 X x = 1 X 16,20 3,6x = 16,20 2) Isoler x : 3,6 x = 16,20 3,6 3,6 Avec de l’argent, toujours 2 chiffres après la virgule ! x = 4,5 Réponse : 4,50 $ Remarque : Dans cette situation, on aurait pu aussi faire simplement : 16,20 ÷ 3,6 = 4,5 On cherchait le prix à l’unité, donc pour 1 kg.

Problème Une auto roule à vitesse constante (toujours à la même vitesse). Après 3 heures, la distance franchie est 285 km; quelle distance sera franchie après 7 heures ? Temps (h) : Distance (km) : 285 3 x 7 = 1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. » 285 x 7 = 3 X x 1 995 = 3 x 2) Isoler x : 1 995 = 3 x 3 3 x = 665 Réponse : 665 km Si le conducteur ne s’arrête pas pour manger, se reposer ou faire le plein… Remarque : Savais-tu qu’il existe une formule pour calculer la vitesse ? distance 285 km 3 hres 665 km 7 hres Vitesse = : = 95 km/h = 95 km/h temps C’est ce qu’on appelle la vitesse moyenne.

Conclusion Lorsqu’on se retrouve dans une situation de proportionnalité, il faut toujours prendre le temps de comprendre correctement le rapport à poser. pour placer les nombres aux bons endroits. On prend le temps d’écrire le rapport en français, Ton résultat : Le total de l’examen : 100 35 40 = x = x 8 400 quantité de beurre (g) : nombre de personnes : 5 = 7 x 22,50 3 Nombre de CD : Prix ($) : distance sur la carte (cm) : distance réelle (cm) : 1 29 000 = 22,5 x = Temps (h) : Distance (km) : 285 3 x 7 Quantité de viande (kg) : Prix ($) : 3,6 16,20 = 1 x