Système de Numération : Décimal, Binaire, Octal et Hexadécimal Système de numération base b Système de Numération base 2 (Binaire) Opération d’Addition dans un système de numération Conversion binaire Octal, binaire Hexadécimal. Réalisé par : OUZEGGANE Redouane Département de Technologie Faculté de Technologie – Université A.Mira, Bejaia Année Universitaire 2015/2016

Système de Numération Base Quelconque (1/3) Définition Soit b un nombre naturel (entier positif) supérieur ou égale à 2. Soit N un nombre entier quelconque. Dans le système de numération à base b, le nombre N peut s’écrire comme suit : N = (cncn-1…..c3c2c1c0)b Tel que : chaque chiffre ci (i=0…n) est un nombre entier entre 0 et (b-1), c-à-d : 0 ≤ ci  b L’écriture N = (cncn-1…..c3c2c1c0)b tel-que : b-0,1 et pour chaque i=0…n 0 ≤ ci  b signifie que : N = c0b0 + c1b1 + c2b2 + … + cnbn ……… (1) Le résultat de cette formule est en décimal (base 10). Pour Convertir un nombre de Système b vers le système base 10, il suffit d’utiliser la formule (1). Exemple : (2301)4 = 140 + 041 + 342 + 243 = 1 + 0 +48 + 128 = 177 = (177)10 1ère Année Technologie Année Universitaire : 2015/2016 01/16

Système de Numération Base Quelconque (2/3) Conversion du Système 10 vers Système b Soit N un nombre écrit dans la base 10. Pour convertir le nombre N vers le système de numération base b (b-0,1), il suffit d’appliquer la formule suivante : N b Chiffre du Poids faible r0 q0 b r1 q1 b N = (rnrn-1…..r3r2r1r0)b r2 q2 . Chiffre du Poids Fort qn-1 b rn qn = 0 Puisque les ri sont des restes de division, donc 0 ≤ ri  b (division euclidienne) 1ère Année Technologie Année Universitaire : 2015/2016 02/16

Système de Numération Base Quelconque (3/3) Exemple de Conversion à partir de la base 10 Par exemple : N = 55 et b = 5 : Chiffre du Poids faible 55 5 55 = (210)5 11 5 1 2 5 2 Chiffre du Poids fort N = 5  Q + R 55 = 5  11 + 0 11 = 5  2 + 1 2 = 5  0 + 2 On arrête la division puisque le quotient = 0 Le premier reste de division est le chiffre du poids faible (le plus à droite) Le dernier reste de division est le chiffre du poids fort (le plus à gauche) 1ère Année Technologie Année Universitaire : 2015/2016 03/16

Système de Numération Base 2 (1/4) Conversion Base 10 vers Base 2 (1ère méthode) Dans la base 2, nous avons deux chiffres : 0 et 1. Pour convertir un nombre de la base 10 vers la base 2, on utilise les divisions euclidiennes successives par 2 jusqu’à avoir un quotient égale à 0. Exemple : 2014 = (?)2 N = 2  Q + R 2014 = 2  1007 + 0 1007 = 2  503 + 1 503 = 2  251 + 1 251 = 2  125 + 1 125 = 2  62 + 1 62 = 2  31 + 0 31 = 2  15 + 1 15 = 2  7 + 1 7 = 2  3 + 1 3 = 2  1 + 1 1 = 2  0 + 1 Chiffre du Poids faible (le plus à droite) 2014 = (11111011110)2 Chiffre du Poids fort (le plus à gauche) 1ère Année Technologie Année Universitaire : 2015/2016 04/16

Système de Numération Base 2 (2/4) Conversion Base 10 vers Base 2 (2ème méthode) Pour convertir un nombre de la base 10 vers la base 2, nous pouvons utiliser la méthode de tableau (c’est mieux de faire les puissances à partir de la droite). 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 k 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 2k Comment utiliser ce tableau : Pour Convertir de la base 10 vers la base 2 ? Et pour Convertir de la base 2 vers la base 10 ? 1ère Année Technologie Année Universitaire : 2015/2016 05/16

Système de Numération Base 2 (3/4) Conversion Base 10 vers Base 2 (2ème méthode) Prenons l’exemple suivant : 12 = (?)2 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 k 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 2k 1 1 On suit les étapes suivantes : On cherche la valeur 12 dans le tableau : Si la valeur existe, on passe à l’étape 3. Sinon on passe à l’étape 2. La valeur 12 n’existe pas. Donc, on passe à l’étape 2. On cherche la plus grande valeur qui soit inférieure à 12  On trouve la valeur 8. Donc :12 = 8 + 4. On refait l’étape 1 pour la valeur 4 On mis 1 dans les cases correspondants aux valeurs trouvées, et 0 dans les autre cases (Valeurs non utilisées). Ici, nous avons trouvé 8 et 4. 12 = (1100)2 3 = 2+1 = (11)2 Les étapes 1, 2 et 3 veulent dire : On écrit le nombre décimale sous forme de la somme de valeurs prises dans la tableau ci-dessus. En suite on mit 1 pour chaque valeur trouvée, et 0 pour les autres. 6 = 4+2 = (110)2 9 = 8+1 = (1001)2 1ère Année Technologie Année Universitaire : 2015/2016 06/16

Système de Numération Base 2 (4/4) Conversion Base 10 vers Base 2 (2ème méthode) (2014)10 = (?)2 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 k 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 2k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2014 = 1024 + 990 2014 = 1024 + 512 + 478 2014 = 1024 + 512 + 256 + 222 2014 = 1024 + 512 + 256 + 128 + 94 2014 = 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 30 2014 = 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 16 + 14 2014 = 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 16 + 8 + 6 2014 = 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 2 2014 = (11111011110)2 1ère Année Technologie Année Universitaire : 2015/2016 07/16

Opération d’Addition (1/4) Dans un système à base b Soit N1 et N2 deux nombres qui s’écrivent dans le système de numération à base b comme suit : N1 = (xnxn-1….x2x1x0)b et N2 = (ymxm-1….y2y1y0)b. Comment faire la somme N1+N2 dans la base b ? Pour réaliser la somme N=N1+N2 dans le système de numération base b, on suit les étapes suivantes : 1- Soit i = 0 et r = 0 (On commence par le poids faible et le retenu =0) 2- On fait l’addition : zi = xi+yi+r Cette addition est x réalisée en base 10. 3- Si zi < b alors : r0 et i  i+1 , ensuite on refait l’étape 2. 4- Si zi >= b alors : zi  zi – b ; r1 et i  i+1, en suite on passe à l’étape 2. Le résultat de la somme est : N = (zkzk-1…..z2z1z0)b 1ère Année Technologie Année Universitaire : 2015/2016 08/16

Opération d’Addition (2/4) Dans un système à base b Soit N1 et N2 deux nombres qui s’écrivent dans le système de numération à base 3 comme suit : N1 = (2012)3 et N2 = (202)3. Pour réaliser la somme N=N1+N2 dans le système de numération à base b, on suit les étapes suivantes : 1- Nous avons i=0 et r=0; 2- On commence par le poids faible : zi = xi + yi + r  z0 = 2 + 2 + 0 = 4 3- Nous avons z0 >= 3 alors r = 1 et z0 = 4-3 = 1  Z0 = 1 2- On refait le calcul pour i = 1 : zi = xi + yi + r  z1 = 1 + 0 + 1 = 2 3- Nous avons zi < 3 alors r=0 et z1 = 2 … On continue de la même façon, on trouve le résultat suivant : N = (2012)3 + (202)3 = ( )3 2 2 2 1 (2)3 + (1)3 = (10)3 1ère Année Technologie Année Universitaire : 2015/2016 09/16

Opération d’Addition (3/4) Dans le système à base 2 (0)2 + (1)2 = (1)2 (1)2 + (1)2 = (10)2 (10)2 + (1)2 = (11)2 (11)2 + (1)2 = (100)2 (100)2 + (1)2 = (101)2 (101)2 + (1)2 = (110)2 (110)2 + (1)2 = (111)2 (111)2 + (1)2 = (1000)2 (1000)2 + (1)2 = (1001)2 (1001)2 + (1)2 = (1010)2 (1010)2 + (1)2 = (1011)2 (1011)2 + (1)2 = (1100)2 (1100)2 + (1)2 = (1101)2 (1101)2 + (1)2 = (1110)2 (1110)2 + (1)2 = (1111)2 (1111)2 + (1)2 = (10000)2 1ère Année Technologie Année Universitaire : 2015/2016 10/16

Opération d’Addition (4/4) Exemples On Essaie d’appliquer la méthode indiqué dans la DIAPO N° 9 : 77 52 + = 8 1 7+2 = 9  9 - 8 = 1 7 + 5 + 1 = 13  13 - 8 = 5 1 5 1 101 111 + = 2 1 1 203 033 + = 4 1 1 53 33 + = 6 1 1 1 3 2 1 3 1ère Année Technologie Année Universitaire : 2015/2016 11/16

Conversion Binaire, Octal, Hexadécimal Conversion d’une base b vers une autre base d Pour convertir une nombre d’une base b vers une base d, il faut : Convertir le nombre de la base b vers la base 10 : utiliser la somme des multiplications des chiffres par poids de la base : (c0b0 + c1b1 + c2b2 + … + cnbn) ; Convertir le résultat trouvé ci-dessus à la base d en utilisant les divisions euclidiennes successives. Exemple : convertir (201)3 = (?)5 Somme des multiplications : (201)3=130+031+2 32=19 On divise 19 par 5 19 = 5  3 + 4 3 = 5  0 + 3 Donc (201)3 = (34)5 1ère Année Technologie Année Universitaire : 2015/2016 12/16

Conversion Binaire, Octal, Hexadécimal Conversion de la base 2 à la base 8 Dans le cas d’une conversion d’une base b vers une base d tel-que : d = bk. Tel-que k un nombre entier supérieur à 1 (k > 1), chaque k chiffres de la base b seront remplacés par un chiffre de la base d. Il suffit d’utiliser un tableau de correspondance. Par exemple : pour la conversion de la base 2 vers la base 8. Nous avons 8=23. On aura le tableau suivant : Base 2 Base 8 2 1 k 4 2k 000 001 1 010 2 6 5 7 011 3 (110101111)2= (110 101 111)2 100 4 101 5 (110101111)2= (657)8 110 6 111 7 1ère Année Technologie Année Universitaire : 2015/2016 13/16

Conversion Binaire, Octal, Hexadécimal Conversion de la base 8 à la base 2 Pour convertir un nombre de la base 8 vers la base 2, on replace chaque chiffre octal (base 8) par 3 chiffres binaires (base 2). Par exemple : (750237)8 = (?)2. Base 2 Base 8 2 1 k 4 2k 000 001 1 010 2 (650237)8 011 3 100 4 101 5 ( )2 110 101 000 100 101 111 110 6 111 7 1ère Année Technologie Année Universitaire : 2015/2016 14/16

Conversion Binaire, Octal, Hexadécimal Conversion de la base 2 à la base 16 Comme pour la base 8, nous avons 16 = 24. Base 2 Base 16 Base 2 Base 16 0000 1000 8 3 2 1 k 8 4 2k 0001 1 1001 9 0010 2 1010 A 0011 3 1011 B 0100 4 1100 C 0101 5 1101 D 0110 6 1110 E 0111 7 1111 F 1 A F (110101111)2= (0001 1010 1111)2 (110101111)2= (1AF)16 1ère Année Technologie Année Universitaire : 2015/2016 15/16

Résumé Dans le système de numération à base b, il y b chiffre : de 0 à (b-1). Dans le système de numération à base 2, il y a 2 chiffres : 0 et 1. Dans le système de numération à base 8, il y a 8 chiffres : 0, 1, …7. Dans le système de numération à base 16, il y a 16 chiffres: 0,1, …,9, A, B, C, D, E, F. (A=10, B=11, …, F=16) Lorsqu’on fait des opération d’addition sur la base b, il faut pas avoir des chiffres supérieur ou égale à b . On utilise des tableaux de correspondance pour convertir entre les systèmes : binaire, octal et hexadécimal. 1ère Année Technologie Année Universitaire : 2015/2016 16/16