Une introduction aux systèmes linéaires positifs C Une introduction aux systèmes linéaires positifs C.Commault Laboratoire d’Automatique de Grenoble FRANCE

Plan C’est quoi ? Des exemples Des difficultés nouvelles Caractérisation Les points de vue état et entrée-sortie L’atteignabilité

C'est quoi ? Un système qui à une entrée positive associe une sortie positive Une représentation d’état avec les mêmes conditions + état positif si état initial positif

Des exemples Des systèmes à variables physiques positives par nature (niveaux, débits, concentrations, …). Exemple : problèmes de bacs. Modèles à compartiments : applications en médecine, cinétique chimique, … Modèles économiques (Leontieff, …) Modèles de dynamiques de population. …..

Variables naturellement positives Systèmes physiques u2 Variables naturellement positives x1 u2 x3 x2 y1 y2

Modèles à compartiments x1 x2 xi = quantité de produit dans le compartiment i x3 x4

pi = probabilité que le système Chaînes de Markov 2 1 pi = probabilité que le système soit dans l’état i 3 6 4 5

Multi-agents/Consensus 2 1 xi = valeur de la variable au noeud i 3 6 4 5

Analyse entrée-sortie (Leontieff) xi = quantité fabriquée d’un produit i bi = consommation du produit i aij = quantité de produit j nécessaire pour fabriquer une unité de i A et b positives

Ce qu'on aimait avec les sytèmes linéaires classiques Commandabilité = rang [B, AB, …, An-1B] = n Commandable → stabilisable Fonction de transfert avec dénominateur de degré n → réalisation d’ordre n En multivariable idem avec degré de McMillan Il existe des réalisations sympathiques : formes canoniques, Jordan, … Résultats très similaires en continu et en discret Vérification de propriétés par des méthodes d’algèbre linéaire (Matlab) Plus rien ne marche avec les systèmes positifs !

Quelques difficultés (1) Système à comportement positif, atteignable car Etats atteignables au pas 2 x2 1 A partir du pas 3 : 0 x1 1

Quelques difficultés (2) Système à comportement positif, atteignable car Etats atteignables au pas k x2 2 1 Atteignable avec u(0) = 2, u(1) = -1 x1 1

Pour la stabilisation et la rapidité, Le mieux est de ne rien faire ! Quelques difficultés (3) Stabilisation par retour d’état Pour la stabilisation et la rapidité, Le mieux est de ne rien faire !

Caractérisation des systèmes positifs (état) Cas discret Condition nécessaire et suffisante

Caractérisation des systèmes positifs (état) Cas continu Condition nécessaire et suffisante

En fait condition équivalente à : Idée de démonstration x3 En fait condition équivalente à : x2 x1

Le point de vue entrée-sortie Définition : Pour toute entrée ≥ 0, sortie ≥ 0 Condition nécessaire et suffisante (en continu et en discret) Réponse impulsionnelle ≥ 0

Relation entrée-sortie/état Par définition Positif état Positif entrée-sortie Pas gagné Positif entrée-sortie Il existe une réalisation positive Condition nécessaire et suffisante (en continu) [O’Cinneide, Farina] La réponse impulsionnelle est strictement positive pour t > 0 Le pôle dominant est unique et réel

Réalisation minimale Avis aux amateurs ! Problème encore très largement ouvert Avis aux amateurs ! Référence avec des tas d’exemples : A tutorial on the positive realization problem L. Benvenutti, L. Farina IEEE TAC, 04

2) Autre condition : pas de zéro à droite du pôle dominant Quelques indications 1) Les valeurs propres d’une matrice « positive » d’ordre n ne peuvent pas être n’importe où Im p/3 Exemple : ordre 3 Re Valeur propre dominante 2) Autre condition : pas de zéro à droite du pôle dominant Constat affligeant : On ne sait même pas résoudre complètement à l’ordre 3 !

Retour à l'atteignabilité Propriétés : De plus : Le cône est solide (de dimension n) si R de rang n.

Les formes que peut prendre le cône d'atteignabilité Egal à R+n : système positivement atteignable Polyédral : engendré par un nombre fini de vecteurs A fermeture polyédrale : voir exemple En « cornet de glace » x3 x2 x1

Atteignabilité positive Le cas discret Propriété (Fanti et al, 90) : Si le système est positivement atteignable alors il est positivement atteignable en n pas.

vecteurs et matrices monomiaux Notions importantes : vecteurs et matrices monomiaux Définitions : vecteur monomial : une composante > 0, les autres nulles. matrice monomiale : matrice nxn dont les colonnes sont monomiales et indépendantes Propriétés : une matrice monomiale M s’écrit M = D.P, où P est une matrice de permutation et D une matrice diagonale strictement positive. les matrices monomiales sont les seules matrices positives à inverse positive.

Retour à l'atteignabilité Observation : Il faut et il suffit qu’on trouve une solution pour les vecteurs de base. On peut extraire de R une sous-matrice monomiale.

Cas monovariable (1) R est une matrice monomiale.

Cas monovariable (2) Après mise en ordre des états Observation 1: Il y peu de chances que ça arrive ! Observation 2: Propriété structurelle ! u x1 x2 xn-1 xn

Cas multivariable Buisson mort Tiges simples x u Tiges avec bouton

La condition doit être vérifiée pour tout sommet d’état. Idée de démo La condition doit être vérifiée pour tout sommet d’état.

Quelques lectures Positive linear Systems : L. Farina, S. Rinaldi, Wiley, 2000. Compartmental Analysis in Biology and Medecine : J.A. Jacquez, Univ. Mich., 1985. Proceedings Positive Systems: Theory and Applications (POSTA) 2003 (Rome), 2006 (Grenoble), 2009 (Valence), Springer. Reachability, Observability and Realizability of continuous time positive systems, Y. Ohta, H. Maeda, S. Kodama, SIAM J. Cont., 1984. Characterization of phase-type distributions C.A. O’Cinneide, Stochastic Models, 1990. On the reachability in any fixed time for positive continuous-time linear systems, C. Commault, M. Alamir, SCL 2007. Phase-type distributions and representations: some open problems for system theory, C. Commault, S. Mocanu, IJC, 2003.

Les offres de collaboration seront examinées avec intérêt ! Conclusion Un domaine de recherche avec de nombreux domaines d’application, parfois exotiques. Des problèmes théoriques intéressants faisant appel à des outils mathématiques variés (analyse convexe, graphes, …) Les offres de collaboration seront examinées avec intérêt !