SEMIN AIRE Abdou Gafari OCENI, PhD, Ing,jr UNIVERSITE LAVAL MODELISATION DE LA TURBULENCE : Développement de modèles algébriques valables en proche paroi Abdou Gafari OCENI, PhD, Ing,jr http://rechercheetdev.blogspot.com/ UNIVERSITE LAVAL Québec, Le 12 Février 2010

PLAN DE L’EXPOSE Modélisation de la turbulence Développement de modèles Algébriques Explicites Méthodologie de la modélisation algébrique Prise en compte des effets de paroi par pondération elliptique Modèle EB-EASM : études analytiques en canal Résultats Simulation numérique en Canal Ecoulement Couette – Poiseuille Couche limite sans cisaillement Extension 3D des modèles Algébriques explicites Conclusions et perspectives 2

MODELISATION DE LA TURBULENCE Phénomène très complexe impliquant une large gamme d’échelle de longueur et de temps La plupart des écoulements rencontrés par les ingénieurs sont turbulents caractère aléatoire, chaotique, désordonné, fluctuant imprévisibilité, non déterminisme, très larges gammes de longueur d’ondes ( i.e tourbillons # tailles) bruit : sources acoustiques crées par les fluctuations etc Quelques caractérisques : Images ou vidéo 3

Tenter de prédire ses aspects comportementaux Simulation numérique Tenter de prédire ses aspects comportementaux Faire de la simulation numérique Répondre à certaines questions Quelles équations résoudre ? Quelle discrétisation utiliser ? Quel modèle de turbulence choisir ? 4

Quelles équations résoudre ? Equations de Navier Stokes (EDP) Equations paraboliques: Equations elliptiques Equations hyperboliques Différentes selon les cas Pas de solutions analytiques Quelle discrétisation utilisée ? Les outils numériques pour résoudre chaque type d’équations sont différents Choisir le schéma et le maillage en conséquence La complexité de la géométrie DF, VF, EF 5

Maillages Mixtes = hexaèdres dans la couche limite et tétraèdre ailleurs 6

DF VF EF fonctionne sur les maillages réguliers permet d ’atteindre des précisions élevées ne traite pas des géométries complexes ne respecte pas le caractère conservatif des équations DF conservation des flux traite des géométries complexes difficile d’augmenter l’ordre des schémas utiliser en mécanique des fluides utile pour trouver les solutions exactes des équations approchées moins gourmande en esp mémoire que les EF VF attaquent les géométries complexes chercher des solutions approchées des équations exactes beaucoup utilisé en mécanique des solides ne respecte pas le caractère conservatif des équations EF 7

 !  Applications industrielles : standard actuel = RANS Quel modèle choisir ? DNS , LES , RANS, HYBRIDES DNS On cherche à représenter la totalité des phénomènes physiques  ! le nombre de mailles est prop à Re 9/4 Re = 10000  109 mailles On ne résout que les échelles supérieure à une taille de coupure donnée En dessous de cette taille , on suppose que la turbulence est isotrope et les échelles seront modélisés LES Consiste à simuler l’écoulement moyen. Toutes les fluctuations sont filtrées et modélisées. RANS Hybrides On combine les deux derniers , les gros tourbillons sont uniquement résolus  Applications industrielles : standard actuel = RANS 8

Quelques applications industrielles (RANS) Aéronautique Aérospatial AS28G AS28G Turbine Vega2 Tuyère Nucléaire Industrie Automobile Refroidissement moteur 9

Méthode statistique (RANS) Problème de fermeture Décomposition de Reynolds Equations de Navier Stokes moyennées En dehors des inconnues classiques , U, V, W, P , elles font apparaitre des supplémentaires : le tenseur de Reynolds Construire un modèle = fournir des équations pour le tenseur de Reynolds 10

Fermeture au premier ordre On suppose que l’on peut écrire le tenseur de Reynolds comme une fonction du gradient de vitesse et des échelles caractéristiques de la turbulence linéaire Cubique Quadratique etc.. Relation Résoudre les équations de transport des échelles k et  Relation linéaire (Boussinesq ) (1) Modèle standard : modèle k - Avantages/inconvénients (modèle 1er ordre ) Il existe d’autres basé sur d’autres échelles k -, k, kl etc… Robuste Facile à implémenter Mauvais pour les écoulements en rotation etc.. 11

Fermeture au second ordre (Reynold Stress Model : RSM) On résout les équation de transport du tenseur de Reynolds (2) Dans ces équations, on voit apparaitre des mécanismes physiques qui régissent l’évolution de la turbulence Certains sont exactes, d’autres doivent être modélisés On a une description beaucoup plus riche et surtout plus proche des mécanismes de la turbulence qu’au modèles du premier ordre Avantages / Inconvénients (modèle 2nd ordre ) modéliser ij ij Dij ? Mécanismes physiques prises en compte prédire les effets de courbures, rotation Présentent des pb d’instabilités numériques etc.. 12

Modélisation du terme de pression Terme de Redistribution ( ou de pression ) : ij + important après la production Deux hypothèses de Chou : Modélisé en 2 parties : lente et rapide Le gradient de vitesse moyenne est constant . Justifiée (Bradshaw et al 1987 en utilisant les données de la DNS en Canal ) sauf dans la région de proche paroi Quasi Homogénéité Remet en cause la non localité de ij (corrélation en un point (x) Localité Non valable en proche paroi Forme algébrique générale : (1) resp (2) Termes lent resp rapide Lumley et al (1978) Spezial et al (1978) 13

Modélisation de la dissipation et de la diffusion (3) La dissipation est modélisée loin de paroi par sa forme isotrope : modèle de Kolmogorov Plusieurs propositions pour la modélisation du terme de diffusion turbulente. On retient : Modèle de Daly & Harlow (+ utilisé) (4) 14

 Classification Modèle 1er ordre Modèle 2nd ordre Basés sur 2 échelles : k - , k-.. Basés sur t Linéaires Non linéaires Linéaires Non linéaires Représentation de la physique Simplicité d’utilisation  Il n’y a pas de modèle qui sache tout faire et adapté à toutes les situations 15

Prise en compte de la paroi : les fonctions d’amortissements A la paroi : variation du gradient de vitesse amortissement de toutes les composantes fluctuantes écho de paroi :réflexion des fluctuations de pression Effet de blocage : amortissement des fluctuations normales à la paroi via le terme de redistribution Remise en cause des hypothèses de Chou Les lois de paroi ne sont toujours pas valables Que faire ? Introduction des fonctions d’amortissements i.e (1) distance à la paroi Rey = k1/2y/  actif uniquement en proche paroi Ret = ut d/   actif dans toute la zone bas Reynolds 16

Pondération elliptique : EB-RSM Modélisation Algébrique Détermination de Principal objectif Modèles 2nd ordre prennent mieux en compte de la physique des écoulements Moins robustes numériquement Robustes numériquement Simple à coder Modèles 1er Ordre MODELES ALGEBRIQUES Bon compromis physique et robustesse numérique Méthodes empiriques Fonctions d’amortissements Particularise le modèle Pondération elliptique : EB-RSM INFLUENCE DE LA PAROI Nouvelle Approche Approche standard EB-EASM: 17

Principe de la modélisation algébrique LABORATOIRE D'ETUDE AERODYNAMIQUE Principe de la modélisation algébrique Tenseur d’anisotropie : (5) avec Equations des tensions de Reynolds Pour un fluide incompressible : avec (6) dire ici terme de productio… La combinaison de (5) et (6) donne (7) Pij : Production ; εij : tenseur de dissipation terme de pression , Dij : Diffusion 18

LABORATOIRE D'ETUDE AERODYNAMIQUE Hypothèses d’équilibre faible : Rodi 1976 (9) (8) Modèle algébrique ASM implicite : (10) Choix de modèles et Ici choix modèles du second ordre pour phi et epsilon sans résoudre des équations diif système fermé Equations de transport de k et  Prise en compte des effets de paroi Introduction de la pondération elliptique dans le modèle ASM 19

Introduction pondération elliptique Développé par Manceau &Hanjalic (2002 ) Permet une bonne reproduction à la paroi de l’effet de blocage Numériquement robuste et réduit le nombre d’équations par rapport à la la relaxation elliptique de Durbin ( 1991) sur laquelle est basé son concept EB-RSM (11) Coefficient de pondération α solution de l’équation elliptique : CL à la paroi : Loin de la paroi (12) n : Vecteur normal à la paroi Info sur orientation de la paroi 20

Fermeture de l’équation implicite Choix modèles de de EB-RSM introduits dans et ASM termes encadrés : introduits par l’EB-RSM (13) on retombe sur le modèle classique si 21

Modèle EB- EASM Modèle Algébrique Explicite (13) Modèle ASM implicite et numériquement instable Recherche des Solutions explicites Equation implicite s’écrit sous forme f(b, S, W, M )= 0 (13) Théorie des bases d’intégrité Solution du système est beta_i prennent en compte les paramètres de la turbulence k et eps et ceux de la physique des écoulements eta et R (invariants scalaires ) (14) βi : fonctions polynomiales de la base d’intégrité invariante Ti : tenseurs de la base d’intégrité fonctionnelle 22

Projection de Galerkine Injectée dans (13) Puis projetée sur la base des Ti Solutions explicites Tous les tenseurs Ti de la base sont nécessaires (15) sont les invariants pouvant apparaître Choix d’une base Nbre tenseurs Réf + Dim écoulement 23

Modèles EB –EASM particuliers Choix de bases S SW-WS S²-1/3{S²}I (16) SM+MS-2/3{SM}I MW-WM M Modèles Correspondants Non linéaire EB-EASM #1 b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I) EB-EASM #2 b= β1S+β2M Linéaire EB-EASM #3 b= β1S+β2(SM+MS-2/3{SM}I)+β3M Linéaire EB-EASM #4 b= β1S+β2(SW-WS)+β3M Non linéaire EB-EASM #4 identique à EB-EASM #1 ( modèle standard ) en 1 D EB-EASM #3 dégénère vers EB-EASM #2 en 1 D (tenseurs linéairement dépendants : modèles simples ) 24

Etude du modèle EB-EASM#1 en 2D plan b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I) solutions (17) : Solution d’une équation quartique Fait apparaître 4 invariants 2 Nouveaux invariants introduits par l’EB-RSM par rapport au cas classique Mécanismes de la turbulence prises en compte par k et  Mécanismes physiques transportés par les invariants 25

Etudes analytiques en canal Modèles non linéaires Modèles linéaires b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I) b= β1S+β2M EB-EASM #1 EB-EASM #2 (18) β1 pilote seul la contrainte de cisaillement et donc -k β1 joue le rôle de la viscosité turbulente permet de distinguer les composantes diagonales ( cas EASM#1) β2 permet de distinguer la composante diagonale b22 des deux autres à la paroi ( cas EASM#2 ) β3 reproduit correctement b33 et facilite la comparaison entre b11 et b22 26

Résultats Simulation numérique EB-EASM#1 : b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I) Ecoulement en Canal y+ 27

Ecoulement en Canal à Reτ= 590 (Moser et al.) Résultats Simulation numérique EB-EASM#1 : b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I) Ecoulement en Canal à Reτ= 590 (Moser et al.) y+ 28

Ecoulement en Canal à Reτ= 590 (Moser & al.) EB-EASM#1 : b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I) Ecoulement en Canal à Reτ= 590 (Moser & al.) 29

(Moser et al. ; Hoyas & Jiménez) EB-EASM#2 : b= β1S+β2 M Ecoulement en canal (Moser et al. ; Hoyas & Jiménez) y+ 30

Ecoulement en Canal à Reτ= 590 (Moser et al.) EB-EASM#2 : b= β1S+β2 M Ecoulement en Canal à Reτ= 590 (Moser et al.) y+ 31

Ecoulement en Canal à Reτ= 590 (Moser et al.) EB-EASM#2 : b= β1S+β2 M Ecoulement en Canal à Reτ= 590 (Moser et al.) 32

Ecoulement en Canal (DNS P.ORLANDI) Ecoulement de Couette-Poiseuille Uw -h h y x Ecoulement en Canal (DNS P.ORLANDI) y/h PT : Poiseuille-type IT : Intermediate-type CT : Couette-type 33

PT : Uw = 0.75 Ub IT : Uw = 1.2 Ub CT : Uw = 1.5 Ub 34 y/h Intermediate- type (IT) à Reτ= 182 Ici le modèle distingue v2 des autres. C’est une spécificité de ce modèle. Tous les autres prévoient en ce point l’égalité des trois composantes Couette- type (CT) à Reτ= 207 y/h Intermediate- type (IT) à Reτ= 182 y/h Poiseuille- type (PT) à Reτ= 204 PT : Uw = 0.75 Ub IT : Uw = 1.2 Ub CT : Uw = 1.5 Ub 34

Couche limite sans cisaillement Ecoulement se déplaçant à la vitesse que la plaque la grille fixe génère la turb de grille Modèle non linéaire : EB-EASM#1 b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I) S=W= 0 partout dans la couche limite b= 0 35

Modèle linéaire: EB-EASM#2 : b= β1S+β2 M loin de la paroi : b= 0 à la paroi : 36

Extension en 3D modèle EB-EASM Solution de b base complète de 27 tenseurs requis base minimale en 3D 5 tenseurs Cas du modèle EB- EASM# 1 à 3 tenseurs b= β1 S+β2 (SW-WS)+ β3 (S²-1/3{S²}I) Invariants apparus : 12 Solutions du système (19) 37

Test à priori modèle EB-EASM#1 : jet impactant Cas test Test à priori d’un jet impactant sur disque en Rotation Ecoulement « 3D  » Calcul EB-RSM : R. Perrin & R. Manceau (2009) Schéma et Exp : Minagawa et al. (2004) Jet axisymétrique Disque en rotation autour de z Etudes en système d’axes cartésien z,w x,u y,v 38

Résultats test à priori en « 3D » EB-EASM_2D : utilisation des 4 invariants apparus en 2D z,w x,u y,v EB-EASM_3D : utilisation des 12 invariants apparus en 3D Composante normale du tenseur de Reynolds . Profils pour x = 4.8 39

Conclusions et perspectives Modélisation algébrique explicite Combine les avantages des deux approches Meilleurs prise en compte des phénomènes physiques à travers les invariants Introduction de la pondération elliptique Fait apparaitre un nouveau tenseur M Réduit à 3 le nombre d’équations différentielles à résoudre : k,  et  Bonne reproduction de l’effet de blocage (sans fonction amortissements) Modèles EB-EASM#1 en canal, Couette- Poiseuille Apparition probable des singularités Bonne reproduction de l’anisotropie en proche paroi Limite à deux composantes restituée 40

Modèles EB-EASM#2 en canal, Couette- Poiseuille Modèle linéaire à 2 tenseurs ( modèle simplifié) Bonne reproduction en proche paroi de b22 et b12 mais (b11=b33) Limite à deux composantes reproduite Similaire à V2F mais plus physique Extension EB-EASM en 3D Nécessité de prendre en compte tous les invariants qui apparaissent EB-EASM capables de reproduire les écoulements complexes et de rotations Perspectives Modifier les hypothèses faibles pour prendre en compte les effets de courbure et améliorer la diffusion ( EN COURS ) Tester les modèles sur d’autres configurations d’écoulements 41

Je vous remercie