La résolution de problèmes au cycle 3 2ème animation Temps d’échange sur les problèmes « testés » en classe Une entrée d’aide sur le « cœur » de la résolution : la narration de recherche. Vidéo Débat La résolution de problèmes en géométrie Les différentes catégories de problèmes Vivre un problème pour mieux cerner les enjeux Les difficultés et les pistes de travail Présentation d’une progression en géométrie La résolution de problèmes en proportionnalité Les difficultés des élèves Un exemple de situation pour entrer autrement dans une situation de proportionnalité

Élaboration de séances à partir de problèmes ouverts 1) Choisir une ou deux situation(s) 2) Produire une affiche donnant Le titre et le niveau L’énoncé « reformulé » Les procédures possibles des élèves Les aménagements possibles ou nécessaires du contenu Les conditions de mise en œuvre, comment favoriser l’appropriation, le matériel, quelle aide prévoir ? 3) Mettre l’activité en place dans sa classe 4) Recueillir des travaux d’élèves : recherches individuelles, affiches de groupe, affiches de synthèse.

La narration de recherche Une entrée choisie par le collège Belle de Mai pour travailler sur la problématique de la non- réponse Réagir sur Choix de la situation Mise au travail des élèves Rôle de l’enseignant Implication des élèves Interaction dans les groupes, au sein de la classe

La narration de recherche, pourquoi? Une activité mathématique véritable: « Un travail autonome visant à résoudre un problème dont on ne connaît pas la réponse mais dont on saisit tout de suite le sens » Prise en compte réelle de la singularité de chaque élève Une véritable attitude réflexive Un réinvestissement à long terme

Les problèmes en géométrie Reconnaître Construire, reproduire Décrire Classer

Reconnaître Types de données Types de procédures Figure seule Prototypique Non prototypique Figure dans un lot Figure dans une configuration plus complexe Une figure simple dans une figure complexe Décomposition d’une figure en d’autres figures simples Types de procédures Reconnaissance perceptive Plutôt globale Plutôt analytique Reconnaissance instrumentée Reconnaissance par superposition

Construire, reproduire Types de données décrivant la figure Un modèle Une description Un programme de construction Un dessin à main levée Types de procédures Tracé à main levée Tracé instrumenté Réalisation spatiale Types de variables Conformité au modèle: identique ou semblable( à partir d’un segment, agrandissement, réduction) Le support: uni, quadrillé, pointé, « patate » Objets imposés ou non pour débuter la construction

Décrire Objectifs visés Mode de description Type de description Utilisation du vocabulaire Identifier les propriétés Mode de description Énoncé de propriétés propres à la figure Processus de construction Type de description Verbale Écrite Schématique Faire reconnaître Décrire pour permettre de construire Décrire pour faire reconnaître la figure

Classer Trois types de situation Classer des figures selon un critère donné Déterminer un critère à partir d’un classement Déterminer un critère puis compléter un classement

Vivre une situation problème en géométrie Observer la figure (annexe 1) et écrire un programme de construction visant à faire construire cette figure par quelqu’un qui ne la voit pas. Échanger les programmes de construction et construire la figure du programme récupéré. Tout au long des deux activités, essayer de repérer quelles sont les procédures utilisées, les connaissances géométriques nécessaires.

Procédures de résolution Elles dépendent donc de la figure, des instruments, des supports, des connaissances (notionnelles et procédurales) disponibles... Avant de proposer un problème, il faut identifier les différentes procédures impliquées pour déterminer si elles correspondent à l’objectif visé....

La proportionnalité dans les programmes BO hors-série n°3 du 19 juin 2008 En CE2 les élèves doivent savoir : « Utiliser un tableau ou un graphique en vue d’un traitement des données » En CM1 les élèves doivent savoir : « Construire un tableau ou un graphique. - Interpréter un tableau ou un graphique. - Lire les coordonnées d’un point. - Placer un point dont on connaît les coordonnées. - Utiliser un tableau ou la “règle de trois” dans des situations très simples de proportionnalité. » Enfin en CM2 les élèves doivent savoir : « Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d’unité, en utilisant des procédures variées (dont la “règle de trois”).»

Procédures pour résoudre un problème de proportionnalité

La proportionnalité: les difficultés des élèves Proportionnalité = présentation de nombres en tableau Situations de proportionnalité sans tableau Tableaux de nombres qui ne correspondent pas à des situations de proportionnalité Proportionnalité augmentation et de diminution  « fois plus et fois moins » sont entendus comme « plus et moins ». Situations où la non-pertinence de cette procédure est clairement mise en évidence

La proportionnalité: des pistes d’aide Apprendre la proportionnalité, plus qu'apprendre des procédures, c'est apprendre des raisonnements du type : Si j'achète n fois plus je paie n fois plus cher. Si pour une quantité n on paie un prix p et si pour une quantité n’ du même produit on paie un prix p’, pour l’achat d’une quantité n+n’ on paiera une somme p+p‘. Lors d’un agrandissement d’un dessin les dimensions agrandies sont n fois les dimensions du dessin initial. Alors apprendre aux élèves à construire les tableaux eux-mêmes puis à utiliser les propriétés de la proportionnalité. Multiplier les situations et les problèmes de références (vie courante et autres disciplines) pour que les élèves puissent s’interroger sur la proportionnalité. Anticiper les procédures possibles et varier les situations pour toutes les travailler

La proportionnalité: le puzzle d’Ermel Proposition en trois étapes: Agrandir ce n’est pas ajouter le même nombre Agrandir c’est multiplier par le même nombre Agrandir c’est garder la même forme

Agrandir ce n’est pas ajouter le même nombre Puzzle de départ Puzzle agrandi A: 4 cm 4 cm B: 2 cm 6 cm C: 2 cm 4 cm D: 6 cm 10 cm A: 6 cm 6cm E: 4 cm 16 cm

Agrandir c’est multiplier par le même nombre Même situation du puzzle, mais les mesures du petit carré passent de 4 cm à 12 cm: Utilisation du coefficient d’agrandissement X 3 Faire le lien avec l’activité précédente avec la calculatrice: x 1.5

Agrandir c’est garder la même forme Certains rectangles ne sont pas des agrandissements de la photo. Lesquels?