S-SYSTEMS ETAPPROCHE HYBRIDE

PLAN DEFINITION D’UN S-SYSTEM RECHERCHE DES POINTS D’EQUILIBRE STABILITE D’UN S-SYSTEM DEFINITION D’UN XS-SYSTEM REDUCTION DE LA COMPLEXITE D’UN MODELE INTERROGATION ET LOGIQUE TEMPORELLE BIBLIOGRAPHIE

1. DEFINITION Réaction chimique : loi d’action de masse Équation : Lois de puissance

1.DEFINITION Le S-système S(α,β,G,H) est le système dynamique défini sur l’ouvert Ω = (R+*)n par : OU

1.DEFINITION Les paramètres xn+1, . . . , xn+m sont appelés variables indépendantes, par opposition aux variables dépendantes qui sont les xi, pour i de 1 à n Les coefficients αi et βi sont appelés taux cinétiques et les coefficients gij et hij ordres cinétiques. Xi = Vi+ - Vi- Production Dégradation

1.DEFINITION Exemple: Diagramme d’interactions Tableau associé

2.ETUDE D’EQUILIBRE D’UN S-SYSTEM Afin d’étudier les points d’équilibre du système S(α,β,G,H) nous devons résoudre le système d’équations :

2.ETUDE D’EQUILIBRE D’UN S-SYSTEM Exemple: Solution: X

3.ETUDE DE STABILITE DU SYSTEME X est un point d’équilibre asymptotiquement stable ssi G − H est signée semi-stable çad:

3.S-approximation et recherche d’équilibres positifs Idée: partant de X0 on construit une suite Xi qui converge vers un point d’équilibre X

EXEMPLE Système Points d’équilibre Courbes

4.XS-SYSTEM Principe: Associer à notre S-System, un automate qui permet de donner une trace discrète du système . L’approche obtenu ainsi est dit hybride L’ automate hybride H=(Z,V, ,I,F,Init, Inv, Flow, jump) Z= Xi, pour i allant de 1 à n V= ensemble des nœuds, = ensemble des transitions. I et F= état Initial et Final pour chaque Vi Init=initialisation Inv= Domaine d’invariance Flow= Dérivé jump= saut vers l’état suivant

4.XS-SYSTEM Une trace tr (S, t0, X (t0), s, tf ) = g(t0), g(t0 + s), . . . , g(t0 + j*s) est obtenu en fixant - temps initial t0 - des valeurs initiales pour X (t0) - un pas s un temps final tf = to + j * s, (j >= 0) Exemple :

5.REDUCTION D’UN MODELE Problème: Le modèle proposé risque de devenir Complexe (nbre de nœuds très grand) Solution: Réduire le nombre de nœuds Méthode: -Bisimulation: Deux états sont équivalents s’ils Finissent par atteindre le même état -Collapsing: Garder les informations au niveau de l’état vaut mieux que construire d’autres états

6.1 INTERROGATION D’UN MODELE Principe : Utiliser un langage formel pour interroger notre modèle (CTL) Concepts : Prédicat = proposition que peut prendre 2 valeurs (vrai ou faux) Quantificateur : -   X Δ: signifiant que Δ est vraie a la transition suivante -   G Δ : pour Δ est toujours vraie -   F Δ : pour Δ finit par devenir vraie, - …etc.

6.2 TL : TEMPORAL LOGIC Principe : Réaliser un langage d’interrogation de notre modèle proche du langage naturel Instructions (query) : -Eventually -Always -Until -Release -Next Time - implies,…etc.

6.2 TL : TEMPORAL LOGIC Exemples : Eventually(steady_state and Always[GTP < k]) Eventually[(pLambdaCI < 0.25) and Always[(plambdaCI < 0.25) implies Eventually[plambdaCI > 0.5]] and Always [(plambdaCI > 0.5) implies Eventually[plambdaCI < 0.25]]].

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