Représentation d’état des systèmes FORMALISME D’ETAT COMMANDABILITE-OBSERVABILITE COMMANDE PAR RETOUR D’ETAT OBSERVATEUR

FORMALISME D’ETAT 1 NOTION D'ÉTAT 2 EQUATION D'ÉTAT - EQUATION D'OBSERVATION 3 FONCTION DE TRANSFERT 4 INTÉGRATION DE L'ÉQUATION D'ÉTAT 5 PLURALITÉ DES REPRÉSENTATIONS D'ÉTAT 6 LES FORMES CANONIQUES 7 OBTENTION DE LA REPRÉSENTATION D’ÉTAT 8 STABILITÉ BIBO - STABILITÉ ASYMPTOTIQUE

NOTION D’ETAT D’UN SYSTEME

NOTION D’ETAT D’UN SYSTEME La représentation d'état repose sur la notion d'énergie. Le processus est décrit par ses variables d'états. Ces variables d'état donnent une description interne complète de l'évolution du système. L'évolution d'un processus à partir d’un instant t0 donné dépend : de son état initial, des sollicitations extérieures (commandes et perturbations ).

NOTION D’ETAT D’UN SYSTEME Système mécanique élémentaire Vecteur d’état : X= [y, vy]T Vecteur de commande : U= F Vecteur de sortie, la position : Y = y(t)

NOTION D’ETAT D’UN SYSTEME Système mécanique élémentaire Mise en équation - Equation d’état - Equation d’observation

NOTION D’ETAT D’UN SYSTEME Réponse indicielle du système mécanique élémentaire La réponse y(t) La trajectoire d’état

NOTION D’ETAT D’UN SYSTEME Représentation sous forme de schéma fonctionnel du système mécanique élémentaire

NOTION D’ETAT D’UN SYSTEME La fonction de transfert propose une représentation externe du système, soit La représentation d’état propose une description interne puisqu’elle permet d’appréhender les variables internes au système : y(t) et vy(t)

EQUATION D’ETAT ET D’OBSERVATION Equation d’état Le vecteur d’état : Le vecteur de commande : L’équation d’état : Equation d’observation Le vecteur de sorties : L’équation d’observation :

EQUATION D’ETAT ET D’OBSERVATION Représentation schématique des équations d’état et d’observation

FONCTION DE TRANSFERT Le système est décrit par : La matrice de transfert :  Les pôles sont les valeurs propres de la matrice d’état A

FONCTION DE TRANSFERT Système mécanique élémentaire L’équation d’état : L’équation d’observation (tout l’état est mesuré) : La matrice de transfert :

INTEGRATION DE L’EQUATION D’ETAT Intégrer l’équation d’état c’est être capable de déterminer à tout instant l’expression des variables d’état : Les conditions initiales sont connues, les entrées de commande et de perturbation appliquées au système sont connues.  Régime libre Régime forcé

INTEGRATION DE L’EQUATION D’ETAT Calcul de eAt Formulation de Sylvester Transformée de Laplace inverse : Application au système mécanique élémentaire f= 0

PLURALITE DES REPRESENTATIONS D’ETAT De l’intérêt de disposer de plusieurs modèles d’un même système

PLURALITE DES REPRESENTATIONS D’ETAT D’une manière générale, la représentation d’état obtenue lorsqu’on modélise le système au moyen des équations de la physique n’est pas nécessairement celle qui se prête le mieux : à l’interprétation des propriétés du système étudié, à la résolution de l’équation d’état, à l’élaboration d’une loi de commande.  Des changements de base judicieux peuvent permettre de faciliter la résolution des problèmes mentionnés supra.

PLURALITE DES REPRESENTATIONS D’ETAT Changement de base P matrice de passage non singulière.  Le système dans la base originelle Le système dans la nouvelle base formules de changement de base :

Forme diagonale : elle met en évidence : LES FORMES CANONIQUES Forme diagonale : elle met en évidence : les propriétés dynamiques (stabilité, rapidité, amortissement), les propriétés de commandabilité et d’observabilité, facilite l’intégration de l’équation d’état, la contribution des modes aux états.

LES FORMES CANONIQUES  Forme diagonale P matrice constituée des vecteurs propres Tous calculs faits … Remarque : sans perte de généralité, on pourrait décrire de la même manière Un système multi-entrées, multi-sorties.

LES FORMES CANONIQUES Forme diagonale + y(t)

LES FORMES CANONIQUES Forme diagonale : interprétation 1) Intégration des équations d’état : bdi = 0  zi n’est pas commandé 2) Commandabilité : 3) Observabilité : cdi = 0  zi n’est pas observé 4) Contribution des modes aux états : définie par les vecteurs propres

LES FORMES CANONIQUES Forme diagonale : exemple

Attention à ne pas chercher de sens physique à cette représentation, LES FORMES CANONIQUES La forme compagne horizontale : facilite la mise en oeuvre d’une commande obtention « naturelle » d’une représentaion d’état depuis une fonction de transfert   Attention à ne pas chercher de sens physique à cette représentation, elle n’en n’a pas !

LES FORMES CANONIQUES La forme compagne horizontale : facilite la mise en oeuvre d’une commande obtention « naturelle » d’une représentaion d’état depuis une fonction de transfert 

STABILITE Au travers d’un exemple Soit le système : Le schéma fonctionnel : La fonction de transfert a perdu un mode : Système stable du point de vue de la fonction de transfert, instable du point de vue de la représentation d’état.

Commandabilité - Observabilité

Commandabilité Exemple : contrôle d’attitude par magnétocoupleur Aux pôles, les magnétocoupleurs créent des couples sur les 3 axes et le satellite est commandable.

Commandabilité Exemple : contrôle d’attitude par magnétocoupleur A l’équateur, Bx // ix , et le satellite n’est plus commandable.

Commandabilité Définition : Un processus de vecteur d'état X est complètement commandable sur l'intervalle de temps [t0, tf] s'il existe sur cet intervalle une commande U(t) permettant d'amener ce vecteur d'un état initial X(t0) quelconque à un état final X(tf) choisi quelconque . Les critères suivants permettent de conclure quant à l’observabilité d’un système.

Commandabilité Utilisation d’une représentation d’état diagonalisée Dans la base diagonale, le système s’écrit : Et peut être représenté comme suit : Le système est commandable si Bd n’a pas de lignes nulles.

Commandabilité Critère de commandabilité ou critère de Kalman Le système décrit par la représentation d’état : est commandable ssi :

Observabilité Exemple : Estimation de la dérive d’une centrale inertielle g est l’accélération mesurée par la centrale inertielle, elle comporte une erreur Systématique dg. Après intégrations, cette erreur se propage et est à l’origine d’une dérive. temps erreur de position t dérive Sans recalage Sans autre information, on est incapable d’estimer la dérive, le système est alors inobservable.

Observabilité Exemple : Estimation de la dérive d’une centrale inertielle On a accès à la dérive d par une mesure supplémentaire, laquelle peut être obtenue par Un GPS. temps erreur de position t dérive recalage Avec recalage La dérive peut être estimée et le système est dit observable.

Observabilité Un système est dit complètement observable sur l'intervalle de temps [t0, tf] si l'observation de la commande U(t) et de la sortie Y(t) permet de déterminer l'état initial X(t0). Les critères suivants permettent de conclure quant à l’observabilité d’un système.

Observabilité Utilisation d’une représentation d’état diagonalisée Dans la base diagonale, le système s’écrit : Et peut être représenté comme suit : Le système est observable si Cd n’a pas de colonnes nulles.

Observabilité Critère d’observabilité ou critère de Kalman Le système décrit par la représentation d’état : est observable ssi :

Commandabilité - Observabilité Dans le cas général, le système décrit par la représentation d’état : Comporte : Sous-système commandable et observable Sous-système commandable et non observable Sous-système non commandable et observable Sous-système non commandable et non observable Et la fonction de transfert ne fait apparaître que les modes commandables et observables

Commande par retour d’état Exemple introductif : Lors d’une phase d’atterrissage, le pilote vise un point d’impact. A tout instant il lui faut évaluer : sa position (x, y, z) par rapport au point d’impact (0,0,0), sa vitesse relative (vx, vy, vz) par rapport à celle désirée au point d’impact (Vxd,0,0) Le pilote élabore une stratégie de commande fonction de ces variables, c‘est une stratégie de commande par retour d’état.

Synthèse de la commande par retour d’état Hypothèses : Tous les états sont mesurés Y=X Le système est commandable Structure : + - K Mise en équation : La matrice d’état corrigée

Stratégie de commande On cherche à régler la dynamique du système i.e. stabilité, amortissement, rapidité. On rappelle que ces performances sont conditionnées par les pôles du système Les pôles sont les valeurs propres de la matrice d’état, ici : Ac =A – BK A, B donnés, on règle K de sorte que les valeurs propres de Ac soit les pôles qui satisfont aux objectifs de la commande.

Stratégie de commande Exemple : réglage de l’oscillation de dérapage d’un B747

Stratégie de commande Exemple : réglage de l’oscillation de dérapage d’un B747 xmin wnmin

Calcul de la matrice de commande K Le système corrigé Dimension de K : (m x n) Dimension de A : (n x n) Dimension de B : (n x m) On se place dans le cas d’un système à 1 entrée et K à la structure suivante :

Calcul de la matrice de commande K Méthode 1 : réglage du polynôme caractéristique de Ac=A-BK On déduit les pôles du système corrigé d’après les performances dynamiques à atteindre. On peut alors écrire le polynôme caractéristique du système corrigé : Ce polynôme caractéristique est le polynôme caractéristique de A-BK : On est donc amené à résoudre un système de n équations à n inconnues satisfaisant aux n solutions

Calcul de la matrice de commande K Exemple : soit le système décrit par la représentation d’état suivante. Déterminer un retour d’état tel que l’amplitude relative du premier dépassement soit inférieur à 5%, que le temps de réponse à 5% soit minimal est inférieur à 3s. Pôles désirés : Polynôme caractéristique à atteindre : À identifier au polynôme caractéristique corrigé : Tous calculs faits :

Calcul de la matrice de commande K Méthode 2 : calcul de K dans la base compagne horizontale Le polynôme caractéristique du système non corrigé Le polynôme caractéristique du système corrigé La matrice d’état du système non corrigé La matrice d’état du système corrigé Après identification :

Réglage du gain statique On insère un préfiltre H : + e H - K La fonction de transfert : En régime permanent, le gain statique : Les coefficients de la matrice H permettent de régler le gain statique désiré.

OBSERVATEUR DETERMINISTE

Observateurs déterministes Position du problème La commande par retour d’état U=e-KX nécessite qu’on ait accès à tous les états. Or pour des raisons économiques ou pratiques les états ne sont pas tous mesurables   Reconstruire / Estimer les états que l’on ne mesure pas

Observateurs déterministes Position du problème Certains systèmes sont décrits par des paramètres inconnus qu’il est pourtant nécessaire de connaître. Or ces paramètres ne sont pas mesurables, par exemple le terme de dérive d’un accéléromètre ou d’un gyromètre.  Estimer le paramètre que l’on ne peut pas mesurer.

Observateurs déterministes Idée : exploiter le maximum d’informations disponibles pour estimer l’état inconnu i.e. Les mesures disponibles Un modèle du système sous forme de représentation d’état En outre le système doit être observable (Kalman) Etat reconstruit

Observateurs identité On dispose d’une seule mesure Y pour reconstruire tous les états X et le système est observable Système L’observateur est linéaire vis-à-vis des commandes, des mesures et des états estimés : L’observateur peut être vu comme un filtre linéaire :

Observateurs identité Les matrices S, G et L doivent assurer la convergence de l’état estimé vers l ’état réel soit : On définit l’erreur d’estimation : qui doit converger vers 0 lorsque t

Observateurs identité Expression de l’erreur : Quel sens attribuez-vous à e(0) ? Equations d’état de l’observateur : Modèle de prédiction Correcteur (recale l’erreur de prédiction) L est en fait formé de n gains

Choix du gain L de l’observateur L’erreur e doit converger rapidement vers 0. Les valeurs propres de A-LC doivent avoir une partie réelle négative (condition de stabilité) et leur module plus grand que celui des valeurs propres de A afin que la durée du régime transitoire de l'erreur soit plus courte que celle du régime transitoire du système. les incertitudes sur le modèle conduisent, si elles sont importantes à choisir un grand gain L pour renforcer l'influence des mesures y par rapport à la simulation. Le bruit entachant la mesure des grandeurs de sortie est amplifié par les gains L et si L est trop grand dégrade l’estimation.

Choix du gain L de l’observateur On fixe la dynamique de l’état l’erreur e i.e. en combien de temps et comment les erreurs convergent vers 0, Cette dynamique est définie par les pôles de l’observateur qui sont les valeurs propres de A-LC, On écrit le polynôme caractéristique désiré à partir des valeurs propres de A-LC, On l’identifie à PA-LC(l) et on en déduit L

Calcul de la matrice L Exemple : soit le système décrit par la représentation d’état suivante. Déterminer un retour d’état tel que les erreur d’estimation de l’observateur convergent en un temps de réponse minimal inférieur ou égal à 0,3 s. Pôles désirés : Polynôme caractéristique à atteindre : À identifier au polynôme caractéristique corrigé :

Application : estimation d’attitude sur SPOT4 On a besoin de connaître l’attitude du satellite à 8Hz, or les capteurs d’attitude délivrent une mesure à 1Hz … On dispose d’un gyromètre qui délivre une mesure de vitesse à 8Hz, on intègre La vitesse angulaire mesurée qm pour produire une estimation de l’angle de tangage q soit : La même mise sous forme d’un modèle de prédiction : Or, le gyromètre délivre une mesure erronée : Le modèle de prédiction propage cette erreur … et le satellite est mal commandé !

Application : estimation d’attitude sur SPOT4 Recalage par senseur d’attitude à 1Hz Le nouveau vecteur d’état : Les équations de l’observateur de la forme :

Commande par retour d’état estimé Comme on ne dispose pas d’une mesure des états, on génère la commande par retour d’état au moyen des états estimés par l’observateur. Mise en équation du système complet P: Théorème de séparation des états: On peut dimensionner séparement La commande et l’observateur.