Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 1

systèmes à deux degrés de liberté 2 Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à deux degrés de liberté.

systèmes à deux degrés de liberté 3 équations différentielles du mouvement que l’on peut obtenir à partir des équations de Lagrange

Systèmes à deux degrés de liberté 4 Système masses-ressorts en translation

systèmes à deux degrés de liberté 5 Equations différentielles du mouvement Le lagrangien L = T − U s’écrit alors

systèmes à deux degrés de liberté 6 Les équations de Lagrange s’écrivent D’où le système d’équations différentielles du mouvement

systèmes à deux degrés de liberté 7 Les termes −Kx2 et −Kx1 qui apparaissent respectivement dans la première et la seconde équation sont appelés termes de couplage, et les deux équations différentielles sont dites couplées.

systèmes à deux degrés de liberté 8 Résolution des équations différentielles Recherchons une solution particulière de la forme : où A1, A2 et Φ sont des constantes et ω l’une des pulsations propres du système

systèmes à deux degrés de liberté 9 La substitution de x1 et x2 dans le système d’équations différentielles donne un système d’équations linéaires homogènes dont les inconnues sont A1 et A2

systèmes à deux degrés de liberté 10 Ce système admet une solution non identiquement nulle seulement si le déterminant Δ(ω) des coefficients de A1 et A2 est égal à zéro. Le déterminant Δ(ω)est appelé déterminant caractéristique. L’équation Δ(ω)= 0 est appelée l’équation caractéristique ou équation aux pulsations propres.

systèmes à deux degrés de liberté 11 l’équation caractéristique ou équation aux pulsations propres s’écrit: ou encore

systèmes à deux degrés de liberté 12 Cette équation est une équation quadratique en ω qui admet deux solutions réelles positives x1 et x2 appelées les pulsations propres du système. A11, A12, A21, A22, Φ 1 et Φ 2 sont des constantes.

systèmes à deux degrés de liberté 13 on dit que le système oscille dans le premier mode Lorsque A12 = A22 = 0, Lorsque A11 = A21 = 0 on dit que le système oscille dans le second mode

systèmes à deux degrés de liberté 14 Etudions les particularités de ces deux solutions particulières : – La première solution particulière s’écrit : x1 et x2 doivent vérifier le système d’équations différentielles, ce qui donne

systèmes à deux degrés de liberté 15 le rapport des amplitudes dans le premier mode – La seconde solution particulière s’écrit :

systèmes à deux degrés de liberté 16 – La solution générale (x1, x2) est une combinaison linéaire de ces deux solutions particulières. x1 et x2 s’écrivent alors: où A11, A12, 1 et 2 sont des constantes d’intégration dont les valeurs sont fixées par les conditions initiales.

Application: Pendules couplés 17

Application: Pendules couplés 18 l’énergie cinétique et l’énergie potentielle Les équations de Lagrange permettent d’obtenir les équations différentielles du mouvement

Application: Pendules couplés 19 une solution particulière de ce système d’équations différentielles Serait: Ces deux expressions doivent satisfaire le système d’équations différentielles, d’où:

Application: Pendules couplés 20 l’équation aux fréquences: D’où l’on tire l’expression des pulsations propres ω1 et ω2 La solution du système d’équations différentielles est donc

Application: Pendules couplés 21 Dans le premier mode, on obtient le système Dans le second mode, on obtient

Application: Pendules couplés 22 Tenant compte des expressions de ω1 et ω2 on obtient les valeurs du rapport des amplitudes dans les modes μ1 = +1 et μ2 = −1. Les solutions du système d’équations différentielles s’écrivent alors

Exercice à faire 23 Dans la figure ci-dessous, M et R représentent respectivement la masse et le rayon de la poulie. x1 et x2 représentent les écarts des deux masses par rapport à leur position d’équilibre. On prend : M = 2(m2 − m1) avec m2 = m, et k0 = k1 = k2 = k. 1. Ecrire le Lagrangien du système. 2. Déterminer les pulsations propres et le rapport des amplitudes de chacun des modes en fonction de m et k.