Physique biomédicale : travaux pratiques Introduction : analyse graphique et erreurs de mesure Version du 25/09/2019

Plan Analyse graphique Calculs d’erreur Construction d’un graphique Régression linéaire et paramètres Calculs d’erreur

Analyse graphique, calculs d’erreur, pourquoi ? Toute mesure est entachée d’une erreur expérimentale. Il est important de pouvoir les calculer. Le graphique est un moyen important de communication de résultats scientifiques. Un graphique doit être Soigné Complet Porteur d’information Aussi clair que possible Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique : les bonnes pratiques Calculs d’erreur Analyse graphique : les bonnes pratiques Un bon graphique comprend Deux axes orthogonaux orientés et annotés : nom de la variable, symbole, unités adaptées aux données. Un titre qui fournit une information supplémentaire sur l’expérience réalisée. Une échelle choisie de façon à ce que tous les points soient représentés sur le graphique, et qu’ils occupent un maximum d’espace sur la feuille. Elle ne doit pas forcément commencer à zéro ! Quelques repères sur les axes (mais pas les points expérimentaux). Des points expérimentaux marqués de façon visible. Des barres d’erreur pour accompagner les points expérimentaux. Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique : les bonnes pratiques Calculs d’erreur Analyse graphique : les bonnes pratiques Exemple : Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique : tendances Calculs d’erreur Analyse graphique : tendances La représentation graphique permet de visualiser la loi que suivent les données expérimentales. C’est souvent l’une de ces trois lois : Selon la loi, on utilisera un graphique différent. Linéaire Les deux échelles sont linéaires Log-log Les deux échelles sont logarithmiques Semi-log Une échelle est linéaire, l’autre logarithmique Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique : différents types d’échelles Calculs d’erreur Analyse graphique : différents types d’échelles L’échelle linéaire est une échelle sur laquelle la distance entre deux graduations est proportionnelle à l’écart entre les valeurs représentées. L’échelle logarithmique est une échelle sur laquelle la distance entre deux graduations est proportionnelle à l’écart entre les logarithmes décimaux des valeurs représentées Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique : l’échelle logarithmique Calculs d’erreur Analyse graphique : l’échelle logarithmique Elle ne permet de représenter que les nombres strictement positifs Elle est constituée d’un motif qui se répète : Une base qui est un multiple de 10 Les lignes suivantes sont les multiples de cette base Jusqu’à arriver à 10 fois la base, qui constitue une nouvelle base Deux bases successives sont donc séparées d’un facteur 10 Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique : différents types d’échelles Calculs d’erreur Analyse graphique : différents types d’échelles L’échelle logarithmique permet de visualiser les lois de puissance et d’exponentielle sous la forme de droites. Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique : la régression Calculs d’erreur Analyse graphique : la régression Savoir que des données suivent une loi en puissance 𝑦= 𝛽 𝑥 𝑛 , une loi exponentielle : 𝑦=𝑎 𝑒 𝑏𝑥 ou une loi linéaire : 𝑦=𝑚𝑥+𝑝 c’est bien ! … Mais en connaître les paramètres, c’est mieux ! Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique : la régression Calculs d’erreur Analyse graphique : la régression Pour déterminer ces paramètres, il faut construire la droite de régression. Par exemple, sur papier linéaire, on considère la force nécessaire pour allonger un ressort : La meilleure droite Passe au plus près de l’ensemble des points expérimentaux Passe dans toutes les barres d’erreur (ou au plus près) Ne passe pas forcément par les graduations du papier Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique : la régression Calculs d’erreur Analyse graphique : la régression La droite a pour équation 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 Sa pente m et son ordonnée à l’origine p peuvent être déterminées en choisissant deux points bien éloignés (pas forcément des points expérimentaux !) de la droite (x1,y1) et (x2,y2) : 𝑚= ( 𝑦 2 − 𝑦 1 ) ( 𝑥 2 − 𝑥 1 ) 𝑝= 𝑦 1 −𝑚 𝑥 1 = 𝑦 2 −𝑚 𝑥 2 Puisque l’équation d’élongation d’un ressort est 𝐹 = −𝑘𝑥, la pente du graphique m donne sa constante de rappel, qu’on peut ainsi déterminer. Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique : la régression Calculs d’erreur Analyse graphique : la régression Pour les paramètres d’une loi exponentielle, on trace les données sur papier semi-log. Par exemple, sur papier semi-logarithmique, on considère la croissance exponentielle du nombre de malades au début d’une épidémie : La meilleure droite Passe au plus près de l’ensemble des points expérimentaux Passe dans toutes les barres d’erreur (ou au plus près) Ne passe pas forcément par les graduations du papier Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique : la régression Calculs d’erreur Analyse graphique : la régression La loi exponentielle a pour équation 𝑦 =𝑎 𝑒 𝑏𝑥 , ce qui donne une droite sur graphique semi-log puisque ln 𝑦 = ln 𝑎 +𝑏𝑥 Son argument a et son facteur b peuvent être déterminés en choisissant deux points bien éloignés (pas forcément des points expérimentaux !) de la droite (x1,y1) et (x2,y2) : 𝑏= (ln⁡( 𝑦 2 )−ln⁡( 𝑦 1 )) ( 𝑥 2 − 𝑥 1 ) 𝑎= 𝑦 1 𝑒 −𝑏 𝑥 1 = 𝑦 2 𝑒 −𝑏 𝑥 2 Dans l’équation de propagation de l’épidémie, on peut déterminer le facteur T de croissance exponentielle du nombre de malades grâce au graphique ! Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique : la régression Calculs d’erreur Analyse graphique : la régression Pour les paramètres d’une loi de puissance, on trace les données sur papier log-log. Par exemple, sur papier log-log, on considère l‘évolution de la distance de freinage d’une voiture en fonction de sa vitesse initiale : La meilleure droite Passe au plus près de l’ensemble des points expérimentaux Passe dans toutes les barres d’erreur (ou au plus près) Ne passe pas forcément par les graduations du papier Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique : la régression Calculs d’erreur Analyse graphique : la régression La loi de puissance a pour équation 𝑦 =𝛽 𝑥 𝑛 , ce qui donne une droite sur graphique log-log puisque log⁡(𝑦)=log⁡(𝛽)+𝑛 log⁡(𝑥) Son exposant n et son facteur β peuvent être déterminés en choisissant deux points bien éloignés (pas forcément des points expérimentaux !) de la droite (x1,y1) et (x2,y2) : 𝑛= (log⁡( 𝑦 2 ))−log⁡( 𝑦 1 )) ( log⁡(𝑥 2 )− log⁡(𝑥 1 )) 𝑎= 𝑦 1 𝑥 1 −𝑛 = 𝑦 2 𝑥 2 −𝑛 Dans l’équation de freinage, on peut ainsi déterminer l’exposant (n=2) de la relation reliant la distance de freinage à la vitesse initiale grâce au graphique ! Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique : la régression - résumé Calculs d’erreur Analyse graphique : la régression - résumé Type de loi Linéaire Loi exponentielle Loi de puissance Equation 𝑦=𝑚𝑥+𝑝 𝑦=𝑎 𝑒 𝑏𝑥 𝑦= 𝛽 𝑥 𝑛 Type de graphique Les deux échelles sont linéaires Semi-log Une échelle est linéaire, l’autre logarithmique Log-log Les deux échelles sont logarithmiques Paramètre 1 𝑚= ( 𝑦 2 − 𝑦 1 ) ( 𝑥 2 − 𝑥 1 ) 𝑏= (ln⁡( 𝑦 2 )−ln⁡( 𝑦 1 )) ( 𝑥 2 − 𝑥 1 ) 𝑛= (log⁡( 𝑦 2 ))−log⁡( 𝑦 1 )) ( log⁡(𝑥 2 )− log⁡(𝑥 1 )) Paramètre 2 𝑝= 𝑦 1 −𝑚 𝑥 1 = 𝑦 2 −𝑚 𝑥 2 𝑎= 𝑦 1 𝑒 −𝑏 𝑥 1 = 𝑦 2 𝑒 −𝑏 𝑥 2 𝑎= 𝑦 1 𝑥 1 −𝑛 = 𝑦 2 𝑥 2 −𝑛 Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique Calculs d’erreur Les calculs d’erreur La mesure d’une grandeur n’est jamais parfaitement précise : La mesure de la taille d’un enfant à la visite médicale se fait au millimètre près. La mesure de la distance entre deux villes sur l’autoroute se fait au kilomètre près. La mesure de la distance entre deux atomes dans une molécule se fait avec une précision de 10-12 m. … et c’est tant mieux ! Un bon scientifique s’interroge donc toujours sur la précision de sa mesure. Il s’attache à déterminer son intervalle d’erreur, qui constitue l’intervalle dans lequel on est certain de trouver le résultat exact. L’erreur sur la mesure, qui donne l’étendue de l’intervalle, dépend de l’appareil utilisé, et doit rester faible, au risque de ne pas être acceptable. Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

L’intervalle d’erreur Analyse graphique Calculs d’erreur L’intervalle d’erreur L’intervalle d’erreur correspond à l’intervalle dans lequel on est certain de trouver le résultat exact. Il permet également de déterminer si deux résultats de mesure sont compatibles. Par exemple, on peut mesurer la longueur d’un cube par deux techniques différentes. On obtient ainsi deux valeurs entachées d’une erreur : 𝑑 1 = 10,190±0,010 cm 𝑑 2 = 10,174±0,020 cm Lorsqu’on compare les résultats avec leurs barres d’erreur, c’est-à-dire qu’on compare leurs intervalles d’erreur, on observe qu’ils partagent des valeurs communes. Ces résultats sont compatibles, ou égaux aux erreurs expérimentales près. Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

L’écriture des résultats et erreurs Analyse graphique Calculs d’erreur L’écriture des résultats et erreurs Les résultats de mesure doivent toujours être écrits sous la forme : 𝑎= 𝑥± 𝜀 … a est la grandeur à mesurer x est le résultat de la mesure ε est son erreur de mesure Une grandeur physique a toujours des unités ! A combien de chiffres après la virgule arrondit-on ? C’est l’erreur de mesure qui le détermine Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

L’écriture des résultats et erreurs Analyse graphique Calculs d’erreur L’écriture des résultats et erreurs Les résultats de mesure doivent toujours être écrits sous la forme : 𝑎= 𝑥± 𝜀 … a est la grandeur à mesurer x est le résultat de la mesure ε est son erreur de mesure Une grandeur physique a toujours des unités ! A combien de chiffres après la virgule arrondit-on ? C’est l’erreur de mesure qui le détermine Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

L’écriture des résultats et erreurs Analyse graphique Calculs d’erreur L’écriture des résultats et erreurs Règle d’écriture des résultats : On arrondit l’erreur On repère le premier chiffre significatif, c’est-à-dire le premier chiffre différent de zéro en partant de la gauche. S’il est supérieur ou égal à cinq, c’est le dernier chiffre que l’on garde. On arrondit en fonction du suivant. S’il est inférieur à cinq, on le garde ainsi que le chiffre suivant. On arrondit. On arrondit le résultat au même rang que l’erreur : à la même décimale, à l’unité, à la dizaine, … selon les cas Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

L’écriture des résultats et erreurs Analyse graphique Calculs d’erreur L’écriture des résultats et erreurs Exemple : x = 4,580832 et εx = 0,00804 On identifie le premier chiffre significatif de l’erreur. Il est plus grand que cinq, on s’arrête à son rang. Le chiffre suivant est 0 donc on arrondit vers le bas : εx = 0,008 Le résultat s’arrête au même rang, celui des millièmes Le chiffre suivant est 8 donc on arrondit vers le haut : x = 4,581 X = (4,581 ± 0,008) Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

L’écriture des résultats et erreurs : à vous de jouer ! Analyse graphique Calculs d’erreur L’écriture des résultats et erreurs : à vous de jouer ! Exemples supplémentaires : x = 254,53488 et εx = 0,043585 x = 653,58856 et εx = 14,89867 x = 148532,253 et εx = 6285,624 x = 1601,253 et εx = 0,199 x = (254,535 ± 0,044) x = (654 ± 15) x = (149000 ± 6000) x = (1601,25 ± 0,20) Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique Calculs d’erreur Les types d’erreurs Mais quelle est l’erreur sur une moyenne de mesures ? Et que se passe-t-il si on utilise notre grandeur entachée d’erreur pour en calculer une autre ? On distingue deux types de mesure : Les mesures directes : l’appareil de mesure donne directement la grandeur, qu’on peut mesurer une fois ou plusieurs pour établir une moyenne. Les mesures indirectes : on calcule une grandeur recherchée à partir d’une autre, de données entachées d’une erreur. Lorsque la détermination de la grandeur n’est pas directe, il faut se livrer à un calcul d’erreur. Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique Calculs d’erreur Les mesures directes Lorsqu’on utilise un appareil peu précis, il ne sert à rien d’effectuer plusieurs mesures. L’erreur expérimentale est simplement donnée par la précision de l’appareil. Par exemple : Lorsqu’on mesure une longueur avec une latte, l’erreur est d’une graduation, c’est-à-dire de 1mm. Lorsqu’on mesure une température au thermomètre, l’erreur est 1 graduation, c’est-à-dire bien souvent un demi degré celsius. Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Les moyennes de mesures Analyse graphique Calculs d’erreur Les moyennes de mesures Parfois, il est nécessaire de répéter une mesure un petit nombre de fois. On en extrait alors la moyenne. L’erreur sur cette valeur est donnée par la somme de : l’écart entre la valeur la plus éloignée de la moyenne et celle-ci l’erreur de précision de l’instrument. Si par exemple, on mesure cinq longueurs L1 = 25,55, L2 = 25,60, L3 = 25,59, L4 = 25,58 et L5 = 25,62 mm à 0,01 mm près, on a en moyenne une longueur de 25,59 mm avec une erreur de 0,01 + 0,04 = 0,05 mm : L = (25,59 +- 0,05) mm Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Les mesures indirectes Analyse graphique Calculs d’erreur Les mesures indirectes Bien souvent, la grandeur qui nous intéresse est déduite de la mesure à partir d’une formule f(x). C’est par dérivation qu’on peut alors en obtenir l’erreur : 𝜀 𝑓 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑥 0 𝜀 𝑥 x0 est la mesure effectuée εx est son erreur x est la grandeur mesurée f est la grandeur déduite Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Les mesures indirectes : explication physique Analyse graphique Calculs d’erreur Les mesures indirectes : explication physique L’intervalle des valeurs mesurées correspond à un intervalle de la grandeur calculée, a priori inconnu. Pour le déterminer, on suppose qu’autour du point de mesure, la fonction est proche de sa tangente, et on en déduit ainsi l’intervalle des valeurs calculées : Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Les mesures indirectes : exemple Analyse graphique Calculs d’erreur Les mesures indirectes : exemple Par exemple, considérons un cube dont on mesure le volume. On en mesure les côtés : 𝑐 0 =5,10±0,10 𝑐𝑚 On calcule ainsi le volume du cube : 𝑣= 𝑐 0 3 =132,651 𝑐 𝑚 3 L’erreur sur ce volume est donnée par : 𝜀 𝑣 = 𝜕𝑣 𝜕𝑐 5,10 𝜀 𝑐 0 = 3 𝑐 0 2 5,10 0,10=7,803 𝑐 𝑚 3 On a donc : V = (133 ± 8) cm³ Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Les mesures indirectes : fonctions plus complexes Analyse graphique Calculs d’erreur Les mesures indirectes : fonctions plus complexes Comment faire si la fonction qui détermine la grandeur comporte plusieurs variables ? On calcule l’erreur pour chaque variable On additionne les erreurs Si u = f(x1,x2,…) alors 𝜀 𝑢 = 𝜕𝑓 𝜕 𝑥 1 𝜀 𝑥 1 + 𝜕𝑓 𝜕 𝑥 2 𝜀 𝑥 2 + 𝜕𝑓 𝜕 𝑥 3 𝜀 𝑥 3 +…= 𝑖=1 𝑛 𝜕𝑓 𝜕 𝑥 𝑖 𝜀 𝑥 𝑖 ∂ dénote la dérivée partielle Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

(les autres variables sont supposées constantes) Analyse graphique Calculs d’erreur La dérivée partielle 𝜕𝑓 𝜕 𝑥 1 représente la dérivée partielle de f par rapport à x1. C’est simplement la dérivée usuelle, pour laquelle on considère pour unique variable x1 (les autres variables sont supposées constantes) Quelques exemples : f(a,b) = ab → 𝜕𝑓 𝜕𝑎 =𝑏 et 𝜕𝑓 𝜕𝑏 =𝑎 f(a,b) = a + b² → 𝜕𝑓 𝜕𝑎 =1 et 𝜕𝑓 𝜕𝑏 =2𝑏 f(a,b) = cos(a/b) → 𝜕𝑓 𝜕𝑎 = sin⁡(𝑎/𝑏) 𝑏 et 𝜕𝑓 𝜕𝑏 = 𝑎 𝑏 2 sin⁡(𝑎/𝑏) Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Les mesures indirectes : exemple Analyse graphique Calculs d’erreur Les mesures indirectes : exemple On connaît la période T = (5,10 ± 0,10) s d’une balançoire, et on voudrait déterminer sa fréquence f (et son erreur). Fréquence f = 1/T = 0,19607 Hz Erreur 𝜀 𝑓 = 𝜕𝑓 𝜕𝑇 𝑇 0 𝜀 𝑇 = 1 𝑇 2 5,10 0,10=0,00384 Hz L’erreur s’arrondit à 0,0038 Hz Le résultat s’écrit donc finalement : f = (0,1961 ± 0,0038) Hz Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Analyse graphique Calculs d’erreur L’erreur relative Souvent, il est plus simple de se représenter les erreurs sous leur forme relative. L’erreur relative est donnée par : 𝜀 𝑟 = 𝜀 𝑎 avec a la mesure et ε son erreur absolue (obtenue directement ou calculée). Elle est sans unités et peut être exprimée en %. Si par exemple on mesure la longueur d’un objet à (25 ± 1) mm au millimètre près, l’erreur relative sur cette mesure est de 1/25 = 0,04 = 4%. Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Manipulation : le pied à coulisse Analyse graphique Calculs d’erreur Manipulation : le pied à coulisse Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Manipulation : le compas Palmer Analyse graphique Calculs d’erreur Manipulation : le compas Palmer Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.

Quelques consignes pratiques Analyse graphique Calculs d’erreur Quelques consignes pratiques Pour vous faciliter la vie, exprimez tout en mm Les travaux pratiques se réalisent par groupes de 3. Votre numéro de table est inscrit en haut de la table. Vous le garderez tout le long de l’année. Chaque étudiant rend un rapport en fin de séance. Les techniciens et moi passerons dans les groupes pour vous aider dans les parties plus techniques des manipulations. Lisez le règlement du labo et des examens disponible sur Moodle. Remplissez la fiche de présence avant la fin de la séance. Les tables 1 à 10 et 23-24 commencent par la partie « graphiques » Les tables 11 à 22 commencent par la partie « erreurs » Travaux pratiques de physique : introduction. Analyse graphique et erreurs de mesure.