Préférences et fonctions d’utilité Chapitre trois Préférences et fonctions d’utilité

Rationalité en économie Hypothèse de comportement: Un décideur choisit toujours son alternative préférée parmi l’ensemble des alternatives disponibles. Nous avons précisé ce qu’était l’ensemble des alternatives disponibles Nous devons maintenant préciser ce que sont les préférences.

Relation de Préférence Critère de comparaison de paniers de consommation tels que x et y: Préférence stricte: x est strictement préféré à y. Préférence faible: x est faiblement préférée à y. indifference: x et y sont équivalent sur le plan des préférence. -non comparabilité: x et y ne sont pas comparables sur le plan des préférences

Formalisme de relations binaires ~ f préférence faible; x y = x est faiblement préféré à y. ~ f

Relations de Préférence x  y et y  x implique x ~ y. (facteur symmétrique) x  y et (non y  x) implique x  y. (facteur symmétrique) Non x  y et non y  x implique x N y. (facteur non-comparable)

Ensemble des paniers faiblement préférés, Considérons un panier de référence z. On peut définir l’ensemble des paniers faiblement préférés à z, noté FP(z), par FP(z) = {x X: x  z}

Ensemble des paniers faiblement dominés De manière analogue, pour un panier de référence z, on peut définir l’ensemble des paniers faiblement dominés par z, noté FD(z), par FD (z) = {x X: x  z}

courbes d’indifférence On appelle courbe d’indifférence associée à z l’ensemble I(z) = FP(z)  FD(z); L’ensemble I(z) contient tous les paniers que le consommateur considère équivalents à z Puisqu’une « courbe d’indifférence » n’est pas toujours une courbe, une meilleure appellation serait celle  d’ « ensemble d’indifférence ».

Exemple de préférences

Illustration x2 45o FP (9,5) = les paniers situés en zone blanche 9 5

Illustration x2 45o FD(9,5) = partie blanche 9 5 x1 5 9

Illustration x2 45o I (9,5) = {(9,5),(5,9)} 9 5 x1 5 9

Hypothèses sur les relations de préférence Complétude: Pour n’importe quels deux paniers x et y il est toujours possible de formuler l’un ou l’autre des deux énoncés suivants: x  y ou y  x. De manière équivalente, x N y n’est jamais vrai

Hypothèses sur les relations de préférence Réflexivité: Tout panier x est toujours faiblement préféré à lui-même, i.e. x  x

Hypothèses sur les préférences Transitivité: si x est faiblement préféré à y, et y est faiblement préféré à z, alors x est faiblement préféré à z; i.e. x y et y z x z. ~ f ~ f ~ f

Propriétés des courbes d’indifférences Tous les paniers sur la courbe I1 sont strictement préférés à un panier sur I2. x2 x z I2 Tous les paniers sur I2 sont strictement préférés à tous les paniers sur I3. y I3 x1

Propriétés des courbes d’indifférence x2 FP(x), l’ensemble des paniers faiblement préférés à x. x I(x’) I(x) x1

Courbes d’indifférence x2 FP(x), x FP(x) inclut I(x). I(x) x1

Propriétés des courbes d’indifférence x2 SP(x), l’ensemble des paniers strictement préférés à x, n’inclut pas I(x). x I(x) x1

Les courbes d’indifférences ont une intersection vide de I1, x ~ y. de I2, x ~ z. donc y ~ z. x2 I1 x y z x1

Les courbes d’indifférence ont une intersection vide De I1, x ~ y. De I2, x ~ z. Donc y ~ z. Mais de I1 de I2 on voit que y z, une contradiction. x2 I2 I1 p x y z x1

Représentation numérique d’une préférence par une fonction d’utilité Une fonction d’utilité U: CR représente numériquement une préférence si et seulement si: x’ x” U(x’) > U(x”) x’ x” U(x’) < U(x”) x’ ~ x” U(x’) = U(x”). ~ f p p

Ordinalité de la représentation numérique (1) L’utilité est un concept ordinal Si U(x) = 6 et U(y) = 2 le panier x est strictement préféré au panier y. Mais on ne peut pas dire que x est préféré trois fois plus que y ou que le consommateur est trois fois plus heureux avec x qu’avec y

Ordinalité de la représentation numérique (2) Si U est une fonction d’utilité qui représente numériquement une préférence et si f: R  R est une fonction (d’une variable) monotone croissante, la fonction G: C  R définie, pour x  C, par G(x) = f(U(x)) est une représentation numérique de tout aussi légitime que U ~ f ~ f

Existence de Fonction d’Utilité Une préférence qui n’est pas complète, transitive ou réflexive ne peut pas être représentée numériquement par une fonction d’utilité. Une préférence complète, transitive et réflexive et continue peut être représentée numériquement par une fonction d’utilité continue. Continuité = changements légers dans les quantités de biens d’un panier ne doivent entraîner que des changements légers dans le niveau de préférence.

Fonction d’utilité & Courbes d’indifférence une courbe d’indifférence contient des paniers équivalents sur le plan de la préférence. Equivalent sur le plan de la préférence  même niveau d’utilité. Donc, tous les paniers appartenant à une courbe d’indifférence ont le même niveau d’utilité.

Fonctions d’utilité & courbes d’indifférences La comparaison de tous les paniers de consommation physiquement et biologiquement concevables fournit une collection complète de courbes d’indifférence, chacune étant associée à un niveau d’utilité. Cette collection de courbes d’indifférence représente complètement les préférences du consommateur.

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x2 U º 6 U º 4 U º 2 x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence Utility U º 6 U º 5 U º 4 x2 U º 3 U º 2 U º 1 x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x2 x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x2 x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x2 x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x2 x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x2 x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x1

Fonctions d’Utilité & Courbes d’indifférence x1

Préférences globalement saturables Un panier strictement préféré à tout autre panier est un point de saturation. A quoi ressemble des courbes d’indifférence de préférences faisant l’objet de saturation?

Courbes d’indifférence présentant de la saturation globale x2 Point De Saturation x1

Courbes d’indifférence présentant de la saturation globale x2 mieux Mieux point de saturation mieux x1

Courbes d’indifférence présentant de la saturation globale x2 Mieux mieux Point De Saturation mieux x1

Préférences localement saturables mieux z2 2 I(z1,z2) z1

Préférences non-saturables  est localement non-saturable si pour tout panier z et pour nombre réel positif , il existe un panier y dans C strictement préféré à z tel que, pour tout bien j, yj-zj< 

Deux propriétés des préférences: 1-Monotonie Monotonicité croissante faible: Augmenter la quantité d’un bien sans réduire celle des autres biens ne fait pas de mal et augmenter strictement la quantité de tous les biens fait du bien Monotonie croissante stricte: Augmenter strictement la quantité d’un bien sans réduire celle des autres biens fait du bien.

Exemple: préférence (Léontieff) pour des Compléments parfaits Si un consommateur consomme toujours les biens 1 et 2 dans des proportions fixes (e.g. un pour un), alors les biens sont des compléments parfaits et seul le nombre de paires d’unités des deux biens détermine le classement des paniers dans l’échelle de préférence du consommateur

Courbes d’indifférence pour des compléments parfaits x2 45o Chacun des paniers (5,5), (5,9) et (9,5) contiennent 5 paires; ils sont donc tous équivalents. 9 5 I1 x1 5 9

Courbes d’indifférence pour des compléments parfaits Puisque chacun des paniers (5,5), (5,9) et (9,5) contient 5 paires, chacun est jugé moins préférable que le panier (9,9) qui contient 9 paires. x2 45o 9 I2 5 I1 x1 5 9

Les préférences Léontieff sont faiblement monotones croissantes mais ne sont pas strictement monotones croissantes

Fonctions d’Utilité pour les préférences Léontieff U(x1,x2) = min{x1,x2}. V(x1,x2) = (min{x1,x2})2 W(x1,x2) = -1/(min{x1,x2})

Courbes d’Indifférence Léontieff x2 45o U(x1,x2) = min{x1,x2} 8 min{x1,x2} = 8 5 min{x1,x2} = 5 3 min{x1,x2} = 3 3 5 8 x1

2: convexité Convexité: un mélange de paniers est (faiblement) préféré à chacun des deux paniers du mélange si ceux-ci sont équivalents. Ex: Le mélange 50-50 des paniers x and y (noté z) est z = (0.5)x + (0.5)y. z doit être faiblement préféré à x ou y si x et y sont équivalents.

Convexité. x x2 x+y Est strictement préféré à x et y. x2+y2 z = 2 2 y

Convexité. x x2 z =(tx1+(1-t)y1, tx2+(1-t)y2) est préféré à x et y pour tous 0 < t < 1. y y2 x1 y1

Convexité stricte Préférences sont strictement convexes si tous les mélanges z sont strictement préférés aux paniers x and y. x x2 z y y2 x1 y1

Convexité faible. Préférences sont faiblement convexes si le mélange z is faiblement préféré à deux paniers indifférents. x’ z’ x z y y’

Exemple; Préférences pour des substituts parfaits Si un consommateur considère toujours les unités de biens 1 et 2 comme parfaitement interchangeables, alors les deux biens sont des substituts parfaits et seulement la quantité totale des deux biens contenue dans les paniers détermine le classement relatif de ces paniers dans l’échelle de préférence du consommateur .

Courbes d’indifférence pour des substituts parfaits x2 pentes constantes à - 1. 15 I2 Paniers sur I2 contiennent une quantité totale de 15 unités et sont strictement préférés à tous les paniers sur I1, qui ne contiennent que 8 unités 8 I1 x1 8 15

Les préférences pour des substituts parfaits sont faiblement convexes mais ne sont pas strictement convexes

Fonctions d’utilité représentant des préférences pour des substituts parfaits U(x1,x2) = x1 + x2. V(x1,x2) = (x1 + x2)1/2 W(x1,x2) = ln(x1 + x2).

Carte d’indifférence de préférences pour des Substituts parfaits x2 x1 + x2 = 5 13 x1 + x2 = 9 9 x1 + x2 = 13 5 U(x1,x2) = x1 + x2. 5 9 13 x1

Préférences non convexes mieux Le mélange z est jugé moins préférable que x ou y. z y2 x1 y1

Autres Préférences Non-Convexes mieux Le mélange z est jugé moins préférable que x ou y. z y2 x1 y1

Pentes de courbes d’indifférences La pente d’une courbe d’indifférence évaluée à un panier quelconque (x1,…xn) est le taux marginal de substitution (TMS (x1,…xn)). Comment calculer ce TMS ?

Taux Marginal de Substitution TMS à x’ est la pente de la courbe d’indifférence à x’ x’ x1

Taux Marginal de Substitution TMS à x’ est lim {Dx2/Dx1} Dx1 0 = dx2/dx1 à x’ Dx2 x’ Dx1 x1

Taux Marginal de Substitution dx2 = TMS ´ dx1 donc, à x’, TMS est le taux au quel le consommateur est disposé à échanger du bien 2 pour obtenir une « petite » quantité de bien 1. x2 x’ dx2 dx1 x1

Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites Dans un univers à deux biens (où on peut représenter toute courbe d’indifférence I(z) dans le plan à 2 dimensions), la courbe en question est caractérisée, si les préférences sont continues et monotones croissantes, par l’équation

Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites Sous ces deux hypothèses, la relation est fonctionnelle (elle associe à toute quantité de bien 1 l’unique quantité de bien 2 qui donne au consommateur le même niveau d’utilité que z)

Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites (cas dérivable)

Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites (cas dérivable)

Utilités Marginales Marginal signifie “infinitésimal ». L’utilité marginale du bien i s’interprète comme la variation d’utilité qui résulte d’un « petit » changement dans la consommation de bien i i.e.

La valeur de l’utilité marginale dépend de la fonction d’utilité utilisée pour représenter les préférences Ex: si je mesure les préférences par la fonction d’utilité U(x1,x2) = x1a x2b

La valeur de l’utilité marginale dépend de la fonction d’utilité utilisée pour représenter les préférences Mais si je mesure les mêmes préférences par la fonction d’utilité U(x1,x2) = alnx1 + blnx2

Le taux marginal de substitution ne dépend pas de la représentation numérique des préférences Si V = f(U) où f est une fonction monotone croissante, alors Donc la valeur du TMS n’est pas affectée par la transformation de la fonction d’utilité au moyen d’une fonction monotone croissante.

TMS & Courbes d’indifférences bien 2 2 biens une courbe d’indifférence à pente négative mieux TMS < 0. pire Bien 1

TMS & Courbes d’Indifférences bien 2 I bien et 1 « mal » une courbe d’indifférence à pente positive mieux pire TMS > 0. mal 1

TMS & Courbes d’Indifférence bien 2 TMS augmente avec x1 (devient moins négatif) si les préférences sont strictement convexes et monotones croissantes. TMS = - 5 TMS = - 0.5 bien 1

Exemples de préférences (n=2) (quasi-linéarité) Une fonction d’utilité de la forme U(x1,x2) = f(x1) + x2 est linéaire par rapport à x2 et est appelée quasi-linéaire. E.g. U(x1,x2) = 2x11/2 + x2.

Carte d’indifférence de préférences Quasi-linéaires x2 Les courbes sont des copies par translation verticale des autres. x1

TMS pour les préférences quasi-linéaires U(x1,x2) = f(x1) + x2. donc

TMS pour préférences quasi-linéaires ¢ TMS = - f (x1) ne dépend pas de x2 Donc la pente d’une courbe d’indifférence associée à une préférence quasi-linéaire est constante le long de toute ligne verticale (sur laquelle x1 est constante).

TMS pour des préférences quasi-linéaires x2 chaque courbe est une translation verticale d’une autre. TMS = - f(x1’) TMS = -f(x1”) TMS est constant le long de toute verticale ( x1 constant). x1’ x1” x1

Exemples de préférences (n=2) (Cobb-Douglas) Une fonction d’utilité de la forme U(x1,x2) = x1a x2b avec a > 0 et b > 0 représente des préférences dites Cobb-Douglas E.g. U(x1,x2) = x11/2 x21/2 (a = b = 1/2) V(x1,x2) = x1 x23 (a = 1, b = 3)

Carte d’indifférence Cobb-Douglas x2 Les courbes sont des Hyperboles asymptotiques aux axes x1