Introduction: critères de comparaison et choix rationnel Chapitre Un Introduction: critères de comparaison et choix rationnel

Qu’est-ce qu’un projet ? Une utilisation particulière de ressources rares Exemples: Une autoroute, un hôpital, un barrage, un accord de libre-échange, une ratification d’un traité international Un projet: fait passer la collectivité concernée d’un état social à un autre

Qu’est-ce qu’un état social ? Une description complète de toutes les caractéristiques pertinentes de la situation considérée Qui consomme quoi, où et quand (la dimension temporelle est très importante car les projets prennent souvent du temps à être mis en place) Evaluer des projets: comparer des états sociaux sur la base d’un certain critère Chaque individu est a priori susceptible d’avoir son critère de comparaison des états sociaux La difficulté est d’obtenir un classement de ces états sociaux sur la base de l’intérêt général (synthèse des intérêts individuels souvent opposés) La

Relations binaires Critère de comparaison des états sociaux tels que x et y: Préférence stricte: x est strictement mieux que y. Préférence faible: x est faiblement mieux que y. indifference: x et y sont équivalents préférence. -non comparabilité: x et y ne sont pas comparables

Formalisme de relations binaires On part d’une relation de préférence faible que l’on note  x  y signifie: “x est faiblement mieux que y du point de vue d’un certain critère” La relation  ressemble à la relation “plus grand ou égal”   utilisée pour comparer des nombres en mathématique

Facteurs d’une relation binaire Facteur asymétrique: x  y  x  y et non y  x (x est strictement mieux que y du point de vue du critère) Facteur symétrique: x ~ y  x  y et y  x (x est équivalent à y du point de vue du critère) Facteur non-comparable x N y  non x  y et non y  x (x et y ne sont pas comparables sur le plan du critère

Distinction entre équivalence et non-comparabilité x et y ne sont pas comparable si x n’est pas faiblement mieux que y et y n’est pas faiblement mieux que x x et y sont équivalents si x est faiblement mieux que y et y est faiblement mieux que x Considérons un exemple pour illustrer la distinction

Distinction entre équivalence et non-comparabilité Supposons une communauté constituée de deux individus (1 et 2) On s’intéresse à l’impact d’un projet sur le revenu de ces individus (on oublie les autres caractéristiques des états sociaux) xi : revenu de i dans l’état x Critère: (x1,x2)  (y1,y2)  min (x1,x2)  min (y1,y2) et x1+ x2  y1+ y2 (critère dit de Lorenz) Un projet est (faiblement) recommandable s’il s’il ne réduit pas le revenu du plus pauvre et ne réduit pas non-plus la somme des revenus

Facteur symétrique du critère de Lorenz (x1,x2)  (y1,y2)  [min (x1,x2)  min (y1,y2) et x1 + x2  y1+ y2 ] et [min (y1,y2)  min (x1,x2) et y1+ y2  x1+ x2 ]  min (x1,x2) = min (y1,y2) et x1 + x2 = y1+ y2 Puisque x1 + x2 = min (x1,x2) + max(x1,x2) = y1+ y2 = min (y1,y2) + max(y1,y2) et que min (x1,x2) = min (y1,y2) , on doit donc avoir que (x1,x2)  (y1,y2)  min (x1,x2) = min (y1,y2) et max (x1,x2) = max (y1,y2) Deux distributions de revenu sont équivalentes si elles donnent le même revenu à l’individu riche et le même revenu à l’individu pauvre.

Facteur symétrique du critère de Lorenz Par exemple les distributions (1,2) et (2,1) sont équivalentes. Les distributions (1,2) et (2,1) diffèrent pourtant en terme de l’identité du riche et du pauvre Dans (1,2), 1 est pauvre et 2 est riche, alors que c’est le contraire dans (2,1) Le critère de Lorenz est un critère anonyme. Il s’intéresse au revenu du pauvre, et à la somme des revenus, mais ne s’intéresse pas à l’identité des individus sont pauvres et riches L’anonymat est un principe éthique assez répandu

Facteur non-comparable du critère de Lorenz (x1,x2) N (y1,y2)  non [min (x1,x2)  min (y1,y2) et x1 + x2  y1+ y2 ] et non [min (y1,y2)  min (x1,x2) et y1+ y2  x1+ x2 ]  (min (x1,x2) < min (y1,y2) et y1+ y2 < x1+ x2 ou min (y1,y2) < min (x1,x2) et x1 + x2 < y1+ y2 Deux distributions de revenu ne sont pas comparables si le pauvre dans l’une est plus riche que le pauvre dans l’autre et si la somme des revenus dans la distribution où le pauvre est plus riche est plus faible que dans l’autre.

Facteur non-comparable du critère de Lorenz Par exemple (2,4) n’est pas comparable à (1,6). Le pauvre est plus riche dans (2,4) que dans (1,6) mais la somme des revenus à distribuer dans (2,4) (6) est plus faible que la somme des revenus à distribuer dans (1,6) (7) La pauvreté est plus faible dans (2,4) que dans (1,6) mais le revenu par tête est plus grand dans (1,6) que dans (2,4) Le critère de Lorenz ne parvient donc pas à trancher entre 2 considérations opposées: L’efficacité (taille du gâteau) qui plaide en faveur de (1,6) et l’équité (soutien aux plus mal lotis) qui plaide en faveur de (2,4)

Critère de Lorenz: utilisé pour comparer des distributions de revenu entre un nombre quelconque d’individus Une distribution de revenus A domine une distribution B au sens de Lorenz si le revenu total détenu par les individus plus pauvres qu’un certain seuil est plus élevé en A qu’en B quelque soit le seuil. Il est facile de voir comment ce critère permet de comparer des distributions en traçant ce qu’on appelle des courbes de Lorenz

Courbes de Lorenz: On ordonne les individus d’une population du plus pauvre au plus riche. La courbe de Lorenz montre la relation entre la position de l’individu dans l’échelle de revenu d’une part et la somme des revenus détenus par les individus situés dans une position inférieure à la position considérée d’autre part

Courbes de Lorenz: Traçons par exemple les courbes de Lorenz pour les distributions (1,6) et (2,4) impliquant 2 individus considérées précédemment Revenu Courbe de Lorenz de (1,6) 7 6 Courbe de Lorenz de (2,4) 2 Les courbes se croisent car les 2 distributions ne sont pas comparables 1 position 1 2

Courbes de Lorenz: On peut les utiliser pour comparer les distributions de revenus entre pays Illustrons cela en divisant les populations de quelques pays en déciles (i.e. en dix parties égales) basés sur le revenu (les 10% les plus pauvres, les 20% les plus pauvre, etc.) Pays: France, E.-U., Inde, R. U., Australie,Allemagne, Italie, Espagne, Suède (1998)

Ensemble des états faiblement préférés Considérons un état social z. On définit l’ensemble des états faiblement préférés à z, noté FP(z), par FP(z) = {x  X: x  z}

Ensemble des états faiblement dominés De manière analogue on peut définir l’ensemble des états faiblement dominés par z, noté FD(z), par FD (z) = {x X: z  x}

courbes (ensemble) d’indifférence On appelle courbe d’indifférence associée à z l’ensemble I(z) = FP(z)  FD(z); L’ensemble I(z) contient tous les états sociaux qui sont jugés équivalents, par le critère, à z Ces états sociaux ont donc la propriété d’être à la fois faiblement préférés à z et faiblement dominés par z.

Illustration (x=(3,2), Lorenz) Min(x1,x2)  2 5 3 2 x1+ x2 = 5 x1 5 2 3 Min(x1,x2) = 2 = min(2,3)

Illustration (x=(3,2), Lorenz) Min(x1,x2)  2 5 x1+ x2  5 3 2 x1+ x2 = 5 x1 5 2 3 Min(x1,x2) = 2 = min(2,3)

Illustration (x=(3,2), Lorenz) Min(x1,x2)  2 et x1+ x2  5 45o 5 3 2 x1 5 2 3

Illustration (x=(3,2), Lorenz) FP(3,2) 5 3 2 x1 5 2 3

Illustration (x=(3,2), Lorenz) FP(3,2) 5 3 2 FD(3,2) x1 5 2 3

Illustration (x=(3,2), Lorenz) FP(3,2) 5 I(3,2) = {(3,2), (2,3)} 3 2 FD(3,2) x1 5 2 3

Propriété des relations binaires Réflexivité: Tout état social x est toujours au moins aussi bien que lui-même, i.e. x  x Propriété naturelle s’appliquant à un énoncé de type “au moins aussi bien que” Satisfait par le critère de Lorenz

Propriétés des relations binaires Complétude: Pour n’importe quels deux états x et y il est toujours possible de formuler l’un ou l’autre des deux énoncés suivants: x  y ou y  x. De manière équivalente, x N y n’est jamais vrai Violé par le critère de Lorenz, nous l’avons vu

Propriété des relations binaires Transitivité: si x est faiblement mieux que y, et y est faiblement mieux que z, alors x est faiblement mieux que z; i.e. x  y et y  z  x  z. Vérifiée par le critère de Lorenz

Un critère non-transitif Supposons que les états sociaux soient décrits par trois caractéristique: le taux de chômage (critère 1) le taux d’inflation (2), et le taux de croissance (3) Toutes choses égales par ailleurs, on préfère un chômage et une inflation basse et une croissance élevée Considérons le critère consistant à classer les états sociaux sur la base de leur performance pour une majorité de ces caractéristiques (règle “majoritaire”) Considérons les trois états sociaux suivants

Un critère non-transitif z = (10, 5, 3) y = (14, 4, 6) x = (12, 3,1) y est mieux que z car y affiche une meilleure performance que z pour deux caractéristiques sur trois (inflation et croissance) x est mieux que y car x affiche une meilleure performance que y pour deux caractéristiques sur trois (chômage et inflation) La transitivité voudrait que x soit mieux que z Mais z affiche une meilleure performance que x pour deux caractéristiques sur trois (chômage et croissance)

Un autre critère non-transitif S’applique aux distributions de revenus entre 2 individus (x1,x2)  (y1,y2)  xi > yi pour au moins un individu i ou si xi = yi pour tous les individus i Facteur asymétrique: (x1,x2)  (y1,y2)  xi > yi pour un individu i et xj  yj pour tous les individus j Facteur symétrique: (x1,x2)  (y1,y2)  xi > yi pour un individu i et yj > xj pour un individu j ou xi = yi pour tous les individus i Représentons les ensembles FP(x), FD(x) et I(x) pour ce critère (dit de Pareto étendu)

Illustration (x=(3,2), Pareto-étendu)

Illustration (x=(3,2), Pareto-étendu) FP(3,2) 2 x1 2 3

Illustration (x=(3,2), Pareto-étendu) FD(3,2) x1 2 3

Illustration (x=(3,2), Pareto-étendu)

Illustration (x=(3,2), Pareto-étendu) Strictement mieux que (3,2) 3 2 I(3,2) x1 2 3

Illustration (x=(3,2), Pareto-étendu) Strictement mieux que (3,2) 3 2 I(3,2) x1 2 3 Strictement moins bien que (3,2)

Ce critère n’est pas transitif (1,4)  (3,2) [en fait (1,4)  (3,2)] (3,2)  (2,5) [en fait (3,2)  (2,5)] Pourtant, contrairement à ce qu’exigerait, la transitivité, (2,5)  (1,4) La non-transitivité est, pourtant, moins forte ici que dans l’exemple majoritaire précédent En effet, la non-transitivité ne concerne que des jugements formulés avec le facteur symétrique. Elle ne concerne pas le facteur asymétrique

Une notion plus faible: la quasi-transitivité Définition:  est quasi-transitive si son facteur asymétrique  est transitif Une relation binaire transitive est quasi-transitive mais la réciproque est fausse Par exemple, la relation binaire Pareto-étendue est quasi-transitive Supposons en effet que l’on ait (x1,x2)  (y1,y2) et (y1,y2)  (z1,z2) Par définition, on a alors xi > yi pour un i et xj  yj pour tous les individus j et yh > zh pour un h et yj  zj pour tous les individus j Par transitivité de la relation  définie sur des nombres, il en découle que xi > zi pour un i et xj  zj pour tous les individus j et donc, que (x1,x2)  (z1,z2)

Une notion plus faible: la quasi-transitivité Le critère “majoritaire” n’est pas quasi-transitif (et donc pas transitif) La règle de Pareto-étendue est quasi-transitive mais n’est pas transitive Mais il est une propriété encore plus faible que la quasi-transitivité: L’acyclicité

L’acyclicité Définition: Une relation binaire  est acyclique si, pour toute liste finie d’états sociaux x1,…,xn pour lesquels x1  x2 …  xn est vérifié, il est impossible d’avoir xn  x1 La transitivité implique la quasi-transitivité qui implique elle même l’acyclicité mais les implications réciproques ne sont pas vraies. Par exemple, le critère suivant n’est pas quasi-transitif (et donc pas transitif) mais est acyclique

Un critère acyclique non quasi-transitif S’applique à des distributions de revenu entre 2 individus (x1,x2)  (y1,y2)  max (x1,x2)  max (y1,y2) ou xi  yi pour i =1,2 Facteur asymétrique: (x1,x2)  (y1,y2)  max (x1,x2) < max (y1,y2) et xi > yi pour un i Facteur symétrique: (x1,x2)  (y1,y2)  max (x1,x2) = max (y1,y2) ou xi  yi pour i = 1,2 ou yi  xi pour i =1,2

Illustration (x=(3,2)) x2 45o 3 2 x1 2 3 (x1,x2) (3,2) Max(x1,x2) = 3 = max(3,2) Max(x1,x2) 3

Illustration (x=(3,2)) x2 45o FP(3,2) 3 2 x1 2 3

Illustration (x=(3,2)) x2 45o FP(3,2) 3 2 x1 2 3

Illustration (x=(3,2)) x2 45o FP(3,2) 3 2 x1 2 3

Illustration (x=(3,2)) x2 45o FP(3,2) 3 Max(x1,x2) 3 2 x1 2 3

Illustration (x=(3,2)) x2 45o 3 2 x1 2 3 FP(3,2) Max(x1,x2) 3

Illustration (x=(3,2)) x2 45o I(3,2) 3 2 x1 2 3

Illustration (x=(3,2)) x2 45o 3 2 x1 2 3 I(3,2) Strictement dominé Strictement mieux)

Cette relation binaire: Viole la quasi-transitivité En effet (3,0)  (1,4) (car max (3,0) = 3 < max (1,4) = 4 et 3 > 1) De même (0,1)  (3,0) (car max (0,1)=1 < max (3,0)=3 et 1 > 0 Pourtant (0,1)  (1,4) n’est pas vérifiée (car 0 < 1 et 1 < 4).

Cette relation binaire: Satisfait l’acyclicité En effet, supposons que l’on ait, pour une liste x1,…,xn d’états sociaux, x1  x2 …  xn Par la transitivité de la relation  définie sur les nombres et la définition du critère , on doit avoir max (x11,x12) < max (xn1,xn2) Ce qui exclut que xn  x1 soit vrai

Terminologie des relations binaires On appelle quasi-ordre une relation binaire réflexive et transitive (mais pas nécessairement complète) On appelle ordre une relation binaire réflexive, complète et transitive Les propriétés de complétude et de transitivité (en fait d’acyclicité) des critères permettent de les utiliser pour faire des choix rationels

Choix rationnel du point de vue d’un critère Imaginons qu’on ait à choisir entre un certain nombre (fini) d’alternatives (états sociaux) On voudrait choisir le, ou les, meilleurs états sociaux (projets) du point de vue du critère Comment définir « le meilleur » ? Les propriétés de notre critère permettent-elles une telle définition ?

Meilleur = « faiblement maximal » Soit un ensemble A = {w,x,…,z} d’états sociaux entre lesquels l’évaluateur de projets voudrait choisir On appelle faiblement maximal dans A pour le critère  tout état social (s’il en existe) qui n’est strictement dominé par aucun autre état social de A Si on note m(A) cet ensemble, on le définit formellement par: m(A) = {x  A:  y  A tels que y  x} Intuitivement, l’ensemble des états sociaux faiblement maximaux dans A est le résultat rationnel d’un « tri » des projets. On rejette tous les projets qui conduisent à des états sociaux dominés par d’autres jusqu’à ce qu’on arrive à m(A)

Meilleur = « fortement maximal » De façon similaire, on appelle fortement maximal dans A pour le critère  tout état social (s’il en existe) qui en domine faiblement tout autre Si on note M(A) cet ensemble, on le définit formellement par: M(A) = {x  A: x  y pour tout y  A} Intuitivement, un état social fortement maximal dans A est meilleur, faiblement, que tout autre état social disponible dans cet ensemble du point de vue du critère

fortement ou faiblement maximal ? Un état fortement maximal dans A est également faiblement maximal La réciproque est fausse Par exemple, (2,3) est faiblement, mais pas fortement, maximal dans {(2,3), (1,5)} pour le critère de Lorenz Si le critère est complet, les deux notions de maximalité coïncident. Question: Étant donné un ensemble (fini) d’états sociaux résultant d’autant de projets, existe-t-il toujours des éléments faiblement (fortement) maximaux ?

Maximalité et acyclicité Soit  un critère réflexif de classement d’états sociaux dans X Théorème: m(A) ≠  pour tout ensemble fini A d’états sociaux si et seulement si  est acyclique Illustration: si  est le critère « majoritaire » et si A = {(10, 5, 3), (14, 4, 6), (12,3,1)} alors m(A) = 

Mesure numérique d’un critère Une fonction U: X  mesure (ou représente) numériquement un critère  si et seulement si:

Mesure numérique d’un critère Une fonction U: X  mesure (ou représente) numériquement un critère  si et seulement si: x’  x”  U(x’) > U(x”)

Mesure numérique d’un critère Une fonction U: X  mesure (ou représente) numériquement un critère  si et seulement si: x’  x”  U(x’) > U(x”) x’’  x’  U(x’) < U(x”)

Mesure numérique d’un critère Une fonction U: X  mesure (ou représente) numériquement un critère  si et seulement si: x’  x”  U(x’) > U(x”) x’’  x’  U(x’) < U(x”) x’ ~ x”  U(x’) = U(x”).

Ordinalité de la mesure numérique (1) Le concept de mesure est ordinal Si U(x) = 6 et U(y) = 2 l’état x est strictement préféré à l’état y. Mais on ne peut pas dire que x est trois fois mieux que y

Ordinalité de la représentation numérique (2)

Ordinalité de la représentation numérique (2) Si U est une fonction qui représente numériquement un critère et si f:    est une fonction (d’une variable) monotone croissante, la fonction G: X   définie, pour x  X, par G(x) = f(U(x)) est une mesure numérique de tout aussi légitime que U ~ f ~ f

Existence de mesures numériques Une relation binaire qui n’est pas un ordre ne peut pas être représentée numériquement par une fonction. Une relation binaire qui est ordre peut être représentée numériquement par une fonction d’utilité si le nombre d’états sociaux envisageables est fini.