MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Notions de base CINEMATIQUE DEFORMATIONS CONTRAINTES MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Loi de comportement ELASTICITE Méthodes de résolution METHODES SEMI-INVERSES R. FORTUNIER METHODES ENERGETIQUES METHODES NUMERIQUES Applications APPLICATION AUX POUTRES Compléments CALCUL TENSORIEL

CINEMATIQUE CINEMATIQUE Cadre général Equilibre et continuité Équilibre d ’un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité Description d’une transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse CINEMATIQUE

v P u P x X P : point « matériel » CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d ’un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité Description d’une transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Cadre général v u P x P X P : point « matériel »

Le solide est en équilibre sous l’action des forces extérieures CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d ’un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité Description d’une transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Équilibre d ’un solide Le solide est en équilibre sous l’action des forces extérieures * S (forces extérieures) = variation de la quantité de mouvement * S (moments) = variation du moment de quantité de mouvement

Continuité de la matière CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d ’un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité Description d’une transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Continuité de la matière Des forces de cohésion assurent la continuité de la matière * vision macroscopique * « masse » d’un élément de volume : dm = r dv

C0 : description lagrangienne configuration de référence : CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d ’un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité Description d’une transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse C(t) C0 Configuration C0 : description lagrangienne configuration de référence : C(t) : descrition eulérienne

Description lagrangienne CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d ’un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité Description d’une transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse P X C0 v vitesse d'un point : v = dx / dt =  / t P x coordonnées d'un point : x = ( X , t ) avec ( X , 0 ) = X Description lagrangienne

Description eulérienne CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d ’un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité Description d’une transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse P x C(t) vitesse d'un point : v( x , t) v Description eulérienne coordonnées d'un point : x = X à t=0, puis dx = v(x,t)dt P X

P maquette du Concorde (document ONERA) cargo échoué CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d ’un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité Description d’une transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse maquette du Concorde (document ONERA) cargo échoué P Ligne d’émission ligne d'émission du point P trace produite sur la mer (ligne d'émission du cargo)

Tenseur gradient d’une transformation CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d ’un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité Description d’une transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse P x u X * déplacement du point P : u ( X, t) = x - X * déplacement autour du point P : grad(u) = grad(x) – I = F(X,t) - I Tenseur gradient d’une transformation tenseur gradient de la transformation

Transport d’un vecteur élémentaire CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d ’un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité Description d’une transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse P x X u x = X + u dX dx dx = (I + grad(u) ).dX = F.dX Transport d’un vecteur élémentaire

Transport d’un volume élémentaire CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d ’un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité Description d’une transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse P x X dv dv = [dx, dy, dz] = [F.dX, F.dY, F.dZ] = J dV avec J = det(F) dV dV = [dX, dY, dZ] Transport d’un volume élémentaire

Transport d ’une surface élémentaire CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d ’un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité Description d’une transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse n ds ds = nds et dv = ds.dz = JdV, avec dz = F.dZ P x X N dS dS = NdS et dV = dS.dZ Transport d ’une surface élémentaire ds = J(F-1)t.dS avec J = det(F)

Dérivées particulaires CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d ’un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité Description d’une transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse df / dt = f / t + f / xi . dxi / dt = f / t + v.grad(f) v P x X Évolution d’une grandeur physique « f ( x, t) » au cours du temps ? Dérivées particulaires

Conservation de la masse CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d ’un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité Description d’une transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse dr / dt + r div(v) = 0 v P x X Conservation de la masse m = dm = r dv = cste

Description lagrangienne : Description eulérienne : CINEMATIQUE Cadre général Équilibre d ’un solide Configuration Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire 1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité Description d’une transformation Transport de quantités Exemples Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse a 1 2 u X P x P 1 - Cisaillement simple Description lagrangienne : Description eulérienne : x1 = X1 + 2atX2 x2 = X2 x3 = X3 v1 = 2ax2 v2 = 0 v3 = 0

DEFORMATIONS DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites DEFORMATIONS

Comment décrire la transformation de ce solide ? DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Cadre général - une rotation - un déplacement de corps solide - une déformation Il faut utiliser :

Tenseur gradient des vitesses de déplacement DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Tenseur gradient des vitesses de déplacement P x C(t) P X C0 vitesse autour du point P : dv = gradX(v).dX = gradX(v).F-1.dx = F.F-1.dx v+dv . vitesse d'un point : v( x , t) v Tenseur gradient des vitesses de déplacement : L = F.F-1 .

Tenseurs taux de déformation et de rotation DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Tenseur « taux de déformation » L = D+W D = ½ (L+Lt) Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur « taux de rotation » W = ½ (L-Lt)

Intégration dans le temps Comment intégrer dans le temps les tenseurs taux de déformation et de rotation ? DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites C0 C(Dt) Intégration dans le temps C(2Dt) etc… La configuration est actualisée à la fin de chaque incrément de temps Configuration « lagrangienne réactualisée »

Tenseur des dilatations DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites P C0 C(t) dx dy Tenseur des dilatations dX dY C : tenseur des dilatations dx . dy = dX . Ft.F . dY

Dilatation dans une direction DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites P C0 C(t) dx Dilatation dans une direction NX dX Dilatation l (ou changement de longueur) dans la direction NX : l(NX) = dx / dX = NX.C.NX

Angle entre deux directions DEFORMATIONS a ? Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites P C0 C(t) dx dy NX NY dX dY Angle entre deux directions Glissement (ou changement d’angle a) entre les directions NX et NY : cos(a(NX, Ny)) = dx . dy / dx dy = NX.C.NY / l(NX) l(NY)

Tenseur des déformations de Green-Lagrange DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites P C0 C(t) dx dy dX dY Tenseur des déformations de Green-Lagrange tenseur de Green-Lagrange : E = ½ (C-I) = ½ (FtF-I) dx . dy = dX . C . dY = dX . dY + 2dX . E . dY

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites P C0 C(t) dx dy dX dY Tenseur des déformations d’Euler-Almansi tenseur d’Euler-Almansi : e = ½ (I-C-1) = ½ (I-F-tF-1) dx . dy = dX . C . dY = dX . dY + 2dx . e . dy

Tenseur gradient des déplacements F = I + grad(u) faibles changements de forme : F-1  I – grad(u) identification de C0 et C(t) : F  gradX(v) . DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites a1 a2 état initial état courant d11 = 0 d12 > 0 d21 = 0 d22 = 0 Tenseur gradient des déplacements évolution de la composante ui du déplacement le long de la direction xj de l ’espace L = gradX(v) d = gradX(u) ou dij = ui,j

Déformation et rotation de corps solide e = ½ (d+dt) : tenseur des déformations d =  +  avec w = ½ (d-dt) : tenseur des rotations DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites a1 a2 état initial état courant Déformation et rotation de corps solide - symétrique - antisymétrique - diagonal dans le repère - « rotation » des axes Tenseur des déformations Tenseur des rotations

En tout point du solide, la variation de volume est donnée F = I+d d = grad( u ) DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites P x C(t) P X C0 dv dV Dilatation volumique En tout point du solide, la variation de volume est donnée par la trace du tenseur des déformation dv = det(F)dV = det(I+d)dV  (1+tr())dV

Équations de compatibilité Une transformation est caractérisée par un tenseur gradient des déplacements d = e + w DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites e (symétrique) donné est-il toujours le tenseur de déformation d’une ou de plusieurs transformations ? d =  +  doit être tel que : d.dX = du où du est une différentielle totale Équations de compatibilité ki,jl+  jl,ik =  kj,il +  il,kj 6 équations de compatibilité

Mesure des déformations DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites 0° 45° 90° différents points de mesure Mesure des déformations

Conditions aux limites DEFORMATIONS Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites W le vecteur déplacement est imposé ici (chargement de la structure) tous les déplacements sont imposés nuls sur cette ligne Conditions aux limites Wu

Déformations e = ½ (grad(u) + grad(u)t) Hypothèse des petites DEFORMATIONS Déformations Cadre général Tenseur gradient des vitesses de déplacement Intégration dans le temps Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction Tenseurs taux de déformation et de rotation Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses Formulation en déplacements Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique Équations de compatibilité Mesure des déformations Résumé Bilan Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions Conditions aux limites Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X ,t) tenseur des déformations : e = ½ (grad(u) + grad(u)t) équations de compatibilité : eki,jl + elj,ik = ekj,il + eli;jk conditions aux limites : u = U sur Wu Résumé

CONTRAINTES CONTRAINTES Cadre général Tenseur des contraintes Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé CONTRAINTES

Comment décrire les efforts auxquels est soumis ce solide ? CONTRAINTES Cadre général Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Il faut utiliser le tenseur des contraintes

W WA Densité surfacique de forces t t Densité volumique de forces F F CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé W Hypothèses de base Densité surfacique de forces t t WA Densité volumique de forces F F Efforts de cohésion dans WA (dus à la déformation) Efforts de W sur WA (provoquant la déformation)

Théorème de l’action et de la réaction CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé W F WA t P x C(t) Théorème de l’action et de la réaction F = div(s) t = s.n Tenseur des contraintes F dv = t ds WA WA Vecteur contrainte Le tenseur des contraintes est symétrique Fx dv = t x ds WA WA s = st

Signification physique du vecteur contrainte CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé n df t Signification physique du vecteur contrainte Le vecteur contrainte n ’est pas forcément porté par la normale à cette surface. t = lim ds -> 0 df ds

Différents tenseurs des contraintes df = s.ds CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé surface contraintes vecteur C(t) Cauchy (eulérien, symétrique) Différents tenseurs des contraintes C Piola-Kirchhoff (lagrangien, symétrique) C(t) C Piola-Lagrange

Contraintes normale et tangentielle Contrainte normale sn Contrainte tangentielle b st CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé n ds t Contraintes normale et tangentielle st = t . b = sij bi nj ou st b = t - sn n sn = t . n = sij ni nj

Conditions aux limites en pression CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé W W n T WT Vecteur contrainte T connu sur la partie WT de W Conditions aux limites en pression s.n = T t = T

Contraintes dans un repère orthonormé Dans un repère orthonormé (Oxyz) : CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé n 1 szz t syz sxz sxy syy szy sxx syx szx Contraintes dans un repère orthonormé s = sxx sxy sxz syx syy syz szx szy szz

Forces extérieures agissant sur un volume CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé W WA Forces extérieures agissant sur un volume - vecteur contrainte t actions sur WA par le milieu extérieur - forces de volume fv

= W rgdv + f dv tds ¶ W (div(s) + )dv = f rgdv div(s) + = f rg v A v v CONTRAINTES = W A rgdv + f v dv tds ¶ Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Équilibre des forces W A (div(s) + )dv = f v rgdv div(s) + = f v rg

W t ds ¶ x = rg dv + f dv W (div(s) + - ) dv f rg x (s - s )dv = 0 + v A t ds ¶ x = rg dv + f v dv CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Équilibre des moments symétrie du tenseur des contraintes W A (div(s) + - ) dv f v rg x (s - s )dv = 0 t + équilibre des forces

Contraintes principales Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé s = st Dans le repère « principal » : Contraintes principales sIII s = sI sII Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur CONTRAINTES Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé contrainte moyenne : s = s11 s12 s13 s21 s22 s23 s31 s32 s33 s m = tr (s) 1 3 déviateur des contraintes : S = s11 - sm s12 s13 s21 s23 s31 s32 s22 - sm s33 - sm symétrique de trace nulle Contrainte moyenne et déviateur

Contraintes équivalentes Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé contrainte équivalente de von Mises : s = Sij Sij 3 2 contrainte équivalente de Tresca : s = Sup(|sI -sII|, |sII -sIII|, |sI -sIII|) Contraintes équivalentes

Contraintes s . n = T sur WT Hypothèse des petites perturbations Cadre général Hypothèses de base Signification physique du vecteur contrainte Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes Signification physique des contraintes Équations d’équilibre Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces Équilibre des moments Contraintes principales Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes Différents tenseurs des contraintes Utilisation du tenseur des contraintes Bilan Résumé Hypothèse des petites perturbations vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t = s . n avec s = s ( X, t) équations d’équilibre : sij,j + fvi = rgi conditions aux limites : s . n = T sur WT Résumé

ELASTICITE ELASTICITE Cadre général Historique Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine d’élasticité Historique L’essai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope ELASTICITE

Contraintes Déformations e = ½ (grad(u) + grad(u)t) s . n = T sur WT ELASTICITE Contraintes Déformations Cadre général Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine d’élasticité Historique L’essai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des déformations : e = ½ (grad(u) + grad(u)t) tenseur des contraintes : t = s . n avec s = s ( X, t) équations de compatibilité : eki,jl + elj,ik = ekj,il + eli;jk équations d’équilibre : sij,j + fvi = rgi conditions aux limites : u = U sur Wu s . n = T sur WT Loi de comportement du matériau

Résistance des solides Galilée (1638) : Discorsi e Demonstrazioni matematiche ELASTICITE traction flexion Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine d’élasticité Historique L’essai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Résistance des solides

Relation contrainte-déformation ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine d’élasticité Historique L’essai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Hooke (1660) : Relation contrainte-déformation Relation entre déformations et contraintes en élasticité Mariotte (1680) : même loi, appliquée aux expériences de Galilé (fibres tendues et conprimées en flexion) Young (1807) : notion de module d ’élasticité

Courbe force-allongement ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine d’élasticité Historique L’essai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Courbe force-allongement élasticité partie utile homogène Plasticité localisation élasticité

Tenseur des contraintes ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine d’élasticité Historique L’essai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope s = F/S Pour passer de F à s, il faut connaître la section courante S de la partie utile de l ’éprouvette Tenseur des contraintes section S

Tenseur des déformations x = X1(1-bt) X2(1-bt) X3(1+at) v = -bx1/(1-bt) -bx2/(1-bt) ax3/(1+at) cinématique : ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine d’élasticité Historique L’essai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope lagrangien (Green-Lagrange) : E = -bt + ½b2t2 at + ½a2t2 Tenseur des déformations eulérien (Euler-Almansi) : E = 1 - 1 (1-bt)2 (1+at)2 e = ln (1-bt) ln (1+at) En pratique, intégration du champ de vitesses de déformation

Courbe contrainte-déformation ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine d’élasticité Historique L’essai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope s33=F/S Courbe contrainte-déformation e33= ln(1+at)=ln(l/l0)

s33= Ee33 Module d ’Young Coefficient de Poisson E s = s33 1 e = e33 ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine d’élasticité Historique L’essai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope s33= Ee33 E Domaine d’élasticité s = s33 1 e = e33 -n 1

Loi de Hooke généralisée ELASTICITE Tenseur des rigidités s = C:e Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine d’élasticité Historique L’essai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Ordre 4 81 termes !! Tenseur des complaisances e = S:s s11 = s22 s33 s23 s13 s12 e11 e22 e33 2e23 2e13 2e12 C1111 C1122 C1133 C1123 C1113 C1112 C2211 C2222 C2233 C2223 C2213 C2212 C3311 C3322 C3333 C3323 C3313 C3312 C2311 C2322 C2333 C2323 C2313 C2312 C1311 C1322 C1333 C1323 C1313 C1312 C1211 C1222 C1233 C1223 C1213 C1212 Loi de Hooke généralisée 36 coefficients !!!!

Énergie de déformation élastique Travail mécanique fourni : s.de Taux de chaleur reçu : Tds ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine d’élasticité Historique L’essai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope de = dw + dq Par unité de volume en cours de transformation : Énergie de déformation élastique sij =  w  eij = Cijklekl Cijkl = 2w ekl eij Cijkl = Cklij Le tenseur des rigidités a 6x7/2 = 21 composantes indépendantes !!!

ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine d’élasticité Historique L’essai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope même comportement dans trois directions orthogonales s11 = s22 s33 s23 s13 s12 e11 e22 e33 2e23 2e13 2e12 C11 C12 C44 Symétrie cubique Le tenseur des rigidités a trois composantes indépendantes (C11C1111, C12 C1122, C44 C1212)

Comportement élastique linéaire isotrope ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine d’élasticité Historique L’essai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope même comportement dans toutes les directions s11 = s22 s33 s23 s13 s12 l m l+2m e11 e22 e33 2e23 2e13 2e12 Comportement élastique linéaire isotrope Le tenseur des rigidités a deux composantes indépendantes (l = C11, m = C44) : les coefficients de Lamé Quel est le lien entre les coefficients de Lamé (l, m) et les paramètres (E, n) ?

Contraintes Déformations e = ½ (grad(u) + grad(u)t) s . n = T sur WT ELASTICITE Contraintes Déformations Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation Domaine d’élasticité Historique L’essai de traction Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée Énergie de déformation élastique Symétrie cubique Bilan Résumé Tenseur des contraintes Tenseur des déformations Comportement élastique linéaire isotrope Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des déformations : e = ½ (grad(u) + grad(u)t) tenseur des contraintes : t = s . n avec s = s ( X, t) équations de compatibilité : eki,jl + elj,ik = ekj,il + eli;jk équations d’équilibre : sij,j + fvi = rgi conditions aux limites : u = U sur Wu s . n = T sur WT Résumé Comportement élastique linéaire isotrope sij = 2meij + ltr(e)dij

METHODES SEMI-INVERSES Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé METHODES SEMI-INVERSES

METHODES SEMI-INVERSES Contraintes Déformations Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé Résumé Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des déformations : e = ½ (grad(u) + grad(u)t) tenseur des contraintes : t = s . n avec s = s ( X, t) équations de compatibilité : eki,jl + elj,ik = ekj,il + eli;jk équations d’équilibre : sij,j + fvi = rgi conditions aux limites : u = U sur Wu conditions aux limites : s . n = T sur WT Loi de comportement : s = 2m e + l tr(e) d ij

Inconnues et équations METHODES SEMI-INVERSES Contraintes Déformations Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé Hypothèse des petites perturbations Inconnues et équations vecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t) 15 inconnues (champs) tenseur des déformations : e = ½ (grad(u) + grad(u)t) tenseur des contraintes : t = s . n avec s = s ( X, t) 15 équations (EDP) équations de compatibilité : eki,jl + elj,ik = ekj,il + eli;jk équations d’équilibre : sij,j + fvi = rgi conditions aux limites : u = U sur Wu conditions aux limites : s . n = T sur WT Loi de comportement : s = 2m e + l tr(e) d ij

Approches en déplacements et en contraintes METHODES SEMI-INVERSES Contraintes Déformations Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t) Approches en déplacements et en contraintes tenseur des déformations : e = ½ (grad(u) + grad(u)t) Approche en déplacements tenseur des contraintes : t = s . n avec s = s ( X, t) équations de compatibilité : eki,jl + elj,ik = ekj,il + eli;jk Approche en contraintes équations d’équilibre : sij,j + fvi = rgi conditions aux limites : u = U sur Wu conditions aux limites : s . n = T sur WT Loi de comportement : s = 2m e + l tr(e) d ij

Résolution en déplacements METHODES SEMI-INVERSES équations d ’équilibre (en statique) : div( s ) + f = 0 v utilisation de la loi de comportement et de la définition des déformations : Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé div(s) = m div( grad(u) + grad(u) ) + l div( tr(e) I) t m D( u ) + (l+m) grad( div( u ) ) + f = 0 v Résolution en déplacements déformation pure ( u = grad( f ) ) : ( l+2m ) D( u ) + f = 0 v matériau incompressible ( div( u ) = 0 ) : m D( u ) + f = 0 v thermo-élasticité linéaire ( gradients thermiques ) : f --> f - ( 3l+2m ) a grad( Dt ) v

Résolution en contraintes METHODES SEMI-INVERSES équations de compatibilité : D(e) + grad(grad( tr(e))) = grad(div(e)) + grad(div(e)) t Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé loi de comportement : e = s - tr( s ) I 1 l 2m 2m ( 3l + 2m ) D(s) + grad(grad( tr(s))) + grad(fv)+grad( fv) - div( fv) I= 0 2( l+m) 3l + 2m l l + 2m t Résolution en contraintes forces volumiques homognènes (indépendantes de X) : D( s ) + grad( grad( tr( s ) ) ) = 0 2( l + m ) 3l + 2m

Géométrie et cinématique METHODES SEMI-INVERSES r r0 r1 Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé pression p1 pression p0 Géométrie et cinématique u(r,q,z) = u(r) coordonnées cylindriques :

Contraintes et déformations METHODES SEMI-INVERSES u’ u/r Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé gradient en coordonnées cylindriques !!! e = (l+2m)u’+lu/r (l+2m)u/r+lu’ lu/r+lu’ Contraintes et déformations s =

Résolution en déplacements METHODES SEMI-INVERSES divergence en coordonnées cylindriques !! ( (l+2m)u’+lu/r )’ + 2m( u’-u/r) /r = 0 Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé div( s ) = 0 0 = 0 0 = 0 Résolution en déplacements u’’ + u’/r - u/r = 0 2 u = ar + b/r

Résolution en contraintes METHODES SEMI-INVERSES Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé Expressions très complexes en coordonnées cylindriques !! D( s ) et grad( grad( tr( s ) ) ) ? On estime s en fonction du champ de déplacements : u = ar+b/r : s = 2(l+m)a-2mb/r 2la 2 2(l+m)a+2mb/r Résolution en contraintes

Conditions aux limites METHODES SEMI-INVERSES n = -1 t = p0 Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé r r0 r1 (p0) (p1) face interne (r = r0) : n t s .n = t -s (r=r0) = p0 rr 2(l+m)a-2mb/r0 = -p0 2 n = 1 t = -p1 face externe (r = r1) : n Conditions aux limites t s .n = t s (r=r1) = -p1 rr 2(l+m)a-2mb/r1 = -p1 2

METHODES SEMI-INVERSES 2(l+m)a-2mb/r0 = -p0 2 2(l+m)a22mb/r1 = -p1 Inconnues et équations Résolution en déplacements Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base Le tube sous pression Conditions aux limites Résultats Contraintes et déformations Approches en déplacements et en contraintes Résumé s = p0 r0 r1 -r0 2 1- 1+ l l+m r1 r (p1=0) s T r0 r1 Résultats s T = 2p0 r0 r1 -r0 2 r1 r

METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes d’objectivité et d’équilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d ’une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle METHODES ENERGETIQUES

METHODES ENERGETIQUES Contraintes Déformations Résumé Axiomes d’objectivité et d’équilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d ’une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Résumé Hypothèse des petites perturbations vecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des déformations : e = ½ (grad(u) + grad(u)t) tenseur des contraintes : t = s . n avec s = s ( X, t) équations de compatibilité : eki,jl + elj,ik = ekj,il + eli;jk équations d’équilibre : sij,j + fvi = rgi conditions aux limites : u = U sur Wu conditions aux limites : s . n = T sur WT Loi de comportement : s = 2m e + l tr(e) d ij

METHODES ENERGETIQUES Comment estimer la rigidité de ce ressort ? Il faut le déformer un peu !!! Résumé Axiomes d’objectivité et d’équilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d ’une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle -Fdl + W = 0 l0 l0+Dl Cadre général Dl l0 x Travail des forces intérieures Travail des forces extérieures F(x) = k(l-l0) W = 1/2 k(Dl)2 Mouvement virtuel (il ne sert qu à estimer k)

Axiomes d’objectivité et d’équilibre METHODES ENERGETIQUES OBJECTIVITE La puissance virtuelle des efforts intérieurs associés à tout mouvement de corps rigide est nulle Résumé Axiomes d’objectivité et d’équilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d ’une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Axiomes d’objectivité et d’équilibre EQUILIBRE La puissance virtuelle des efforts intérieurs (Pi) et extérieurs (Pe) est égale à celle des accélérations (Pa)

METHODES ENERGETIQUES Pi = div(s).vdv - (s.n).vdv = -s:grad(v)dv W dW Pi + Pe = Pa avec Résumé Axiomes d’objectivité et d’équilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d ’une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Pe = f.v dv + t.v ds W dW Pa = r g.v dv W Équations de base Equations d’équilibre v, (div(s) + f - rg).v dv + (t-s.n).v dv = 0 W W Définition de s OU v, s :grad(v) dv - f.v dv + rg.v dv - t.v dv = W(s,v) = 0 W W Fonctionnelle à annuler

Principe des travaux virtuels – CCA et CSA METHODES ENERGETIQUES u, s :grad(u) dv - f.u dv + rg.u dv - t.u dv = 0 W W W(s, u) : fonctionnelle à annuler Résumé Axiomes d’objectivité et d’équilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d ’une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Principe des travaux virtuels – CCA et CSA u C.C.A. u = U sur W U s C.S.A. div(s) + f = rg s.n = T sur W T

Approche en déplacements – énergie potentielle METHODES ENERGETIQUES u = u0 + du avec u C.C.A. et u0 solution réelle s = s(u) = C : grad(u) Résumé Axiomes d’objectivité et d’équilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d ’une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle W = W(u,du) = . du = 0 P u p Energie potentielle (minimale !!) P (u) = (1/2) grad(u):C:grad(u) dv - f.u dv - T.u ds W p t W T Approche en déplacements – énergie potentielle

Approche en contraintes – énergie complémentaire METHODES ENERGETIQUES s = s0 - ds avec s C.S.A. et s0 solution réelle Résumé Axiomes d’objectivité et d’équilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d ’une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle grad(u) = S : s W = W(s,ds) = : ds = 0 P s c Energie complémentaire (maximale !!) P (s) = - (1/2) s:S:s dv + (s.n).U ds W W c U Approche en contraintes – énergie complémentaire

Encadrement de la solution METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes d’objectivité et d’équilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d ’une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Borne supérieure u(X,t) C.C.A. Pp(u) Pp(u0) Pc(s0) u0(X,t), s0 (X,t) solution réelle Encadrement de la solution Borne inférieure s(X,t) C.S.A. Pc(s)

Géométrie et cinématique METHODES ENERGETIQUES Problème uniaxial (u(x)) : Résumé Axiomes d’objectivité et d’équilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d ’une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle x L e = e = u’(x) s = s = E u’(x) xx Solution réelle : div(s) = Eu’’(x) = 0 u(0) = 0 u(L) = U Géométrie et cinématique U u(x) = (U/L)x s(x) = E(U/L)

Approche en déplacements x L U METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes d’objectivité et d’équilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d ’une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Recherche d ’un C.C.A. u(x) ? u(x) = U (x/L)n Energie potentielle associée Pp ? P (n) = (1/2) s e dv S L = ESU 2L p 2 n 2n-1 Approche en déplacements Minimum de l ’énergie potentiel ? dP dn = 0 p n = 1

Approche en contraintes x L U METHODES ENERGETIQUES Résumé Axiomes d’objectivité et d’équilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d ’une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle Recherche d ’un C.S.A. s(x) ? s = a Energie complémentaire associée Pc ? P (a)= -(1/2) s /Edv S L + sUds c 2 =SaU- SL 2E a Approche en contraintes Maximum de l ’énergie complémentaire ? dP da = 0 c a = EU L

Encadrement de la solution METHODES ENERGETIQUES n P p 1/2 1 Résumé Axiomes d’objectivité et d’équilibre Géométrie et cinématique Principe des puissances virtuelles Exemple : allongement d ’une barre Approche en contraintes Encadrement de la solution Approche en déplacements Cadre général Équations de base Principe des travaux virtuels – CCA et CSA Formulation variationnelle Approche en contraintes – énergie complémentaire Approche en déplacements – énergie potentielle a Pc EU L ES L 1/2 U 2 Rigidité de la barre ! Encadrement de la solution

METHODES NUMERIQUES METHODES NUMERIQUES Cadre général démarche Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis METHODES NUMERIQUES

Il faut faire le bilan des forces sur différents points !! METHODES NUMERIQUES Comment se déforme chaque ressort ? R ? u1=0 Il faut faire le bilan des forces sur différents points !! Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Cadre général k1 Bilan au point 1 : k1.u2 - R = 0 u2 ? Bilan au point 2 : k2 - k1.u2 + k2.(u3-u2) = 0 Bilan au point 3 : P u3 ? P - k2.(u3-u2) = 0 u P/k1+P/k2 u2 -k1-k2 k2 R = P = P/k1 u3 k2 -k2 -P R = k1.u2 Point 1 Point 2 Point 3

R(u) = div(s(u)) + f = 0 dans W METHODES NUMERIQUES On fait une approche en déplacements (on cherche u(X) C.C.A. tel que ...) Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Modèle physique W R(u) = div(s(u)) + f = 0 dans W u = U sur W U s(u).n = T sur W T

Théorème des résidus pondérés METHODES NUMERIQUES Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis R(u) = div(s(u)) + f = 0 dans W Théorème des résidus pondérés u = U sur W U s(u).n = T sur W T v.(div(s(u)) + f)dv = 0 W u = U sur W U s(u).n = T sur W T Fonctions de pondération

Formulation intégrale faible METHODES NUMERIQUES Théorème de la divergence + v = 0 sur W U Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkin Méthode des éléments finis v.(div(s(u)) + f)dv = 0 Formulation intégrale faible W u = U sur W C.L. « naturelles » U s(u).n = T sur W T v.fdv + v.Tds - grad(v):s(u)dv = 0 W W W T u = U sur W U v = 0 sur W U C.L. « essentielles »

Approximation de Galerkin METHODES NUMERIQUES Trouver u(X) C.C.A. tel que pour tout v(X) nul sur WU : v.fdv + v.Tds - grad(v):s(u)dv = 0 Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkin Méthode des éléments finis W W W T Approximation de Galerkin Choix de fonctions identiques et particulières pour u(X) et v(X)

S S v . P f dv + P T ds = 0 - grad(P ).s(u) dv METHODES NUMERIQUES Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis v(x) = P1(x)v1 + P2(x)v2 + P3(x)v3 Discrétisation grad(v(x)) = grad(P1(x))  v1 + grad(P2(x))  v2 + grad(P3(x))  v3 P f dv e + P T ds e i i M Ne e e S S v . W W  e T = 0 i e=1 i=1 - e grad(P ).s(u) dv i e W

S S v . S v . R (u) = 0 T (u) R (u) = A (T (u)) P f dv + P T ds = 0 - METHODES NUMERIQUES P f dv e + P T ds e i i M Ne e e S S v . W W  e T = 0 Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis i e=1 i=1 - e grad(P ).s(u) dv i e W N e T (u) S v . R (u) = 0 i i i i=1 Assemblage M R (u) = A (T (u)) e i i e=1 Trouver un champ de déplacements u(X), càd des vecteurs u1, …, uN, tels que : Ri (u1, …, uN) = 0 si ui inconnu

Ri (u1, …, uN) = 0 si ui inconnu METHODES NUMERIQUES Trouver un champ de déplacements u(X), càd des vecteurs u1, …, uN, tels que : Ri (u1, …, uN) = 0 si ui inconnu Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis R Pb : calcul et inversion de la matrice tangente ! Résolution u

e = e = u’(x) s = s = E u’(x) div(s) = Eu’’(x) = -rg f = rg u(0) = 0 METHODES NUMERIQUES e = e = u’(x) xx s = s = E u’(x) xx Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis div(s) = Eu’’(x) = -rg f = rg u(0) = 0 s(L) = 0 L rgL u(x) = (1-x/2L)x E x s(x) = rgl(1-x/L) rgL2 Solution analytique 2E u rgL s x L

T11= P11(x)rgdv - s(x))dv = +s1 P11 x rgL 4 T12= rgL 4 +s2 METHODES NUMERIQUES x L L/2 nœud 1 (u1 = 0) nœud 2 (u2 ?) nœud 3 (u3 ?) élément 1 (s1 ?) élément 1 (s2 ?) W1 W2 Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis Calcul des résidus nodaux élémentaires (pour une section unité) : T11= P11(x)rgdv - s(x))dv = +s1 W1 P11 x rgL 4 T12= rgL 4 +s2 Discrétisation T22= rgL 4 -s2 T21= P21(x)rgdv - s(x))dv = - s1 W1 P21 x rgL 4

x L nœud 1 (u1 = 0) nœud 2 (u2 ?) nœud 3 (u3 ?) W1 W2 R1 = T11 = +s1 METHODES NUMERIQUES résidus nodaux : x L L/2 nœud 1 (u1 = 0) nœud 2 (u2 ?) nœud 3 (u3 ?) élément 1 (s1 ?) élément 1 (s2 ?) W1 W2 R1 = T11 = +s1 rgL 4 Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis R2 = T21+ T12 = -s1+s2 rgL 2 R3 = T22 = -s2 rgL 4 Equations à résoudre : u1 = 0 Assemblage s1 = s1(u1, u3, u3) R2 = 0 avec s2 = s3(u1, u3, u3) R3 = 0 Equilibre Loi de comportement

x L nœud 1 (u1 = 0) nœud 2 (u2 ?) nœud 3 (u3 ?) W1 W2 s1 =2E/L(u2-u1) Elasticité linéaire : METHODES NUMERIQUES x L L/2 nœud 1 (u1 = 0) nœud 2 (u2 ?) nœud 3 (u3 ?) élément 1 (s1 ?) élément 1 (s2 ?) W1 W2 s1 =2E/L(u2-u1) s=Eu’(x) s2 =2E/L(u3-u2) Cadre général Théorème des résidus pondérés Solution analytique démarche Exemple : barre sous son poids Assemblage Résolution Discrétisation Modèle physique Formulation intégrale faible Approximation de Galerkine Méthode des éléments finis u2 -2 -2 1 rgL 2E/L = u3 4 -1 1 -1 Matrice de rigidité K Vecteur sollicitation F u1 = 0 rgL 2 u2 = 3a/4 a = 2E u3 = a u rgL s a 3a/4 3rgL/4 Résolution rgL/4 x x L/2 L L/2 L

APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan APPLICATION AUX POUTRES

APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Cette structure est un assemblage de poutres !!! Il faut utiliser la RdM

APPLICATION AUX POUTRES - section : S = ds = dx2dx3 Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan - moments d ’ordre 1 x2ds = x3ds = 0 Géométrie - moments d ’ordre 2 quadratique : I2= x32dsI3= x22ds produit : I23 = x2x3 ds - section S massive et droite - longueur L >> les autres - courbure de L faible - profil sans discontinuité - moments de giration I = I2 + I3

APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Degrés de liberté : - trois déplacements u1, u2, u3 - trois rotations r1, r2, r3 Hypothèse de Navier Vecteur déplacement au point M : uM = u + r  GM u r = torseur des déplacements Au cours de la déformation, la section S reste droite.

Torseur des déformations Vecteur déplacement au point M : uM = u + r  GM APPLICATION AUX POUTRES eM complètement déterminé à partir de e11, e12 et e13 Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan On introduit le vecteur eM = e11 2e12 2e13 Torseur des déformations eM = e + k  GM e k = torseur des déformations

APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Torseur des efforts tM = s11 s12 s13 Vecteur contrainte au point M sur un élément de S : - force résultante : R = tMds R M = torseur des efforts - moment résultant : M = GMtMds

Loi de comportement élastique linéaire APPLICATION AUX POUTRES e1 e2 e3 k1 k2 k3 = . ES mS mI EI2 -EI23 EI3 R1 R2 R3 M1 M2 M3 Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan e k = torseur des déformations R M = torseur des efforts Loi de comportement élastique linéaire

Calcul des efforts internes APPLICATION AUX POUTRES Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan - force répartie : p = fvds - couple réparti : c = GMfvds Calcul des efforts internes Equilibre des forces : R’ + p = 0 R M = torseur des efforts Equilibre des moments : M’ + x1R + c = 0 Conditions aux limites : R et M aux extrémités

Calcul des déplacements et des rotations APPLICATION AUX POUTRES R1 R2 R3 M1 M2 M3 e1 e2 e3 k1 k2 k3 = . ES mS mI EI2 -EI23 EI3 Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Caractéristiques de la poutre (matériau et géométrie) Déformations calculées par inversion du système Efforts internes calculés par les équations d’équilibre Calcul des déplacements et des rotations Courbure : r’ = k u r = torseur des déplacements Déformation : u’ + x1r = e Conditions aux limites : u et r aux extrémités

APPLICATION AUX POUTRES Effort normal Effort tranchant Moment de flexion APPLICATION AUX POUTRES R M, r x y u R = N T M = M Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan Déplacement normal u = u v r = r Flèche Rotation Equations d’équilibre : N’ + px = 0 T’ + py = 0 M’ + T + cz = 0 Équations générales Equations cinématiques : r’ = kz u’ = ex v’-r = ey

APPLICATION AUX POUTRES y F= -P z Forme de la section de la poutre :  S et Iz Matériau constituant la poutre :  E et m M(x) x Diagramme du moment APPLICATION AUX POUTRES R0 M0 M0 Cadre général Hypothèse de Navier Calcul des efforts internes Cinématique Méthode de résolution Équations générales Exemple Calcul des déplacements et des rotations Géométrie Contraintes et déformations Loi de comportement élastique linéaire Torseur des efforts Torseur des déformations Poutre à plan moyen chargée dans son plan x Diagramme de l ’effort tranchant T(x) F R0 Efforts internes : Déplacements et rotations : Contribution du moment N’ = 0 T’ = 0 M’ + T = 0 r’ = M/EIz u’ = 0 v’ - r = T/mS Exemple Contribution de l’effort tranchant N = 0 T = -P M = -P(L-x) r = -(Px/2EIz)(2L-x) u = 0 v = -(Px2/6EIz)(3L-x) -Px/mS

CALCUL TENSORIEL CALCUL TENSORIEL Notions de base (cas euclidien) Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération d’un point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d ’un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Composantes physiques d ’un tenseur CALCUL TENSORIEL

Espace vectoriel et espace dual CALCUL TENSORIEL E : e.v. sur un corps K a1 a2 Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération d’un point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d ’un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Composantes physiques d ’un tenseur Espace vectoriel et espace dual E* : formes linéaires de E vers K a2 a1 u*(e) = u.e xi= u*(ai) = u.ai u = xi ai u identification de E et de E*

Covariance et contravariance CALCUL TENSORIEL E : e.v. sur un corps K a1 a2 b1 b2 Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération d’un point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d ’un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Composantes physiques d ’un tenseur Covariance et contravariance u xi = u . ai et yi = u . bi Composantes « covariantes » u = xi ai = yi bi Composantes « contravariantes »

x . y = xiyi = xiyi = gijxiyj = gijxiyj CALCUL TENSORIEL x.y = xi yi = xi yi = gij xi yj = gij xi yj a1 a2 Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération d’un point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d ’un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Composantes physiques d ’un tenseur Le tenseur métrique x y gij = ai .aj gij = gij-1 x . y = xiyi = xiyi = gijxiyj = gijxiyj g : tenseur métrique caractérisant le système de coordonnées

Les tenseurs euclidiens CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération d’un point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d ’un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Composantes physiques d ’un tenseur produit tensoriel = produit des composantes exemple : u  v = 1 2 3 -1 4 3 -1 4 6 -2 8 9 -3 12 Les tenseurs euclidiens Tenseur d ’ordre N = élément de EEE … E N fois

Composantes mathématiques d ’un tenseur CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération d’un point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d ’un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Composantes physiques d ’un tenseur Composantes contravariantes Composantes covariantes Si u  E, alors u = ui ai = ui ai Composantes mixtes Si T  EE, alors T = Tij ai  aj = Tij ai  aj = Tij ai  aj = Tij ai  aj Composantes mathématiques d ’un tenseur

Composantes physiques d ’un tenseur CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération d’un point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d ’un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Composantes physiques d ’un tenseur Composantes « physiques » d ’un tenseur = projection sur les axes de coordonnées Si u  E, alors uI= u . ai  ai  Composantes physiques d ’un tenseur Si T  EE, alors TIJ = T: ai  aj  ai  aj 

Opérations sur les tenseurs CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération d’un point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d ’un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Composantes physiques d ’un tenseur X et Y deux tenseurs d’ordre 2 (c’est-à-dire sur EE) Z = X+Y : ordre 2 (somme des composantes de même type) Opérations sur les tenseurs Z = X-Y : ordre 2 (différence entre des composantes de même type Z = XY : ordre 4 (produit des composantes) Z = X.Y : ordre 2 (produit contracté) Z = X:Y : ordre 0 (produit doublement contracté)

En chaque point M de l ’espace : Tenseur métrique local (gij) CALCUL TENSORIEL a1 a2 Repère naturel Lignes de coordonnées Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération d’un point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d ’un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Composantes physiques d ’un tenseur M (x1) (x2) O Repère naturel ai = OM xi En chaque point M de l ’espace : Tenseur métrique local (gij)

Symboles de Christoffel CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération d’un point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d ’un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Composantes physiques d ’un tenseur M (x1) (x2) O a1 a2 Symboles de Christoffel ai xk = Gikj aj Symboles de Christoffel

Différentielle absolue, dérivée covariante CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération d’un point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d ’un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Composantes physiques d ’un tenseur M (x1) (x2) O a1 a2 u u+du Différentielle absolue, dérivée covariante du = (Du)k ak = duk ak + uk dak = (duk + Gkji uj dxi) ak (Du)k = uk,i dxi uk,i = uk xi + Gkji uj Terme « convectif » dû au système de coordonnées

Accélération d’un point CALCUL TENSORIEL Trajectoire (courbe paramétrée) Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération d’un point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d ’un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Composantes physiques d ’un tenseur M (x1) (x2) O a1 a2 Vitesse d ’un point v Accélération d’un point v = dOM dt = OM xi dxi = vi ai Terme « convectif » g = dv dt g i = dvi + Gikl vk vl Accélération d ’un point

grad(A) = Aij,k ai  aj  ak div(u) = ui,i CALCUL TENSORIEL Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération d’un point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d ’un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Composantes physiques d ’un tenseur u = ui ai M (x1) (x2) O A = Aij ai  aj u a1 a2 Gradient, divergence Gradient : Divergence : grad(u) = ui,j ai  aj grad(A) = Aij,k ai  aj  ak div(u) = ui,i div(A) = Aij,j a i

u = ui ai (contravariantes) cos(q) sin(q) -r sin(q) r cos(q) a2 Repère naturel : CALCUL TENSORIEL a1 a2 u Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération d’un point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d ’un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Composantes physiques d ’un tenseur (r) (q) x1 x2 M O OM = r cos(q) = r sin(q) u = ui ai (contravariantes) ui = u.ai (covariantes) Tenseur métrique [gij] = 1 r2 1/r2 Tenseur métrique : ur = u1 = u1 uq = u2 /r = r u2 Composantes physiques de u :

Accélération d’un point [G1ij] = 1 -r 1/r [G2ij] = Symboles de Christoffel : CALCUL TENSORIEL a1 a2 u Covariance et contravariance Repère naturel Notions de base (cas euclidien) Géométrie différentielle Accélération d’un point Gradient, divergence Symboles de Christoffel Espace vectoriel et espace dual Algèbre tensorielle Opérations sur les tenseurs Composantes mathématiques d ’un tenseur Les tenseurs euclidiens Expression de quelques opérateurs Le tenseur métrique Différentielle absolue, dérivée covariante Tenseur métrique Exemple 1 : coordonnées polaires Composantes physiques d ’un tenseur (r) (q) x1 x2 M O OM = r cos(q) = r sin(q) [gij] = 1 r2 1/r2 Tenseur métrique : Accélération d’un point gr = g1 = + G1kl vk vl = - r (vq /r)2 dv1 dt dvr Accélération radiale d’un point : vr = 0 gr = - vq2 / r