Système de coordonnées Université Hassan-II Faculté des sciences Aïn chock Casablanca Khayar-marrakh Système de coordonnées sphériques Réalisé par A. KHAYAR R. MARRAKH Professeurs assistants - département de physique

Les coordonnées cartésiennes employées habituellement pour représenter un point dans l'espace à trois dimensions ne sont pas toujours les plus appropriées. On retiendra deux autres types de coordonnées pour repérer un point ou décrire un champ ( scalaire ou vectoriel ) : les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques.

Pré requis : Objectifs : Khayar-marrakh Système de coordonnées cartésiennes et cylindriques Grandeurs scalaires et vectorielles Calcul vectoriel : produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte… Objectifs : Au terme de ce travail le participant doit être capable de : Repérer un point de l’espace en utilisant le système des coordonnées sphériques Passer des coordonnées cylindriques et sphériques aux coordonnées cartésiennes Utiliser ces systèmes de coordonnées dans la résolution des problèmes présentant une symétrie sphérique

Coordonnées sphériques Khayar-marrakh Coordonnées sphériques

Khayar-marrakh Voici un point M dans l’espace. Comment le repérer ? y x z O y x z O y x z O Ainsi le point M est repéré par les nouvelles coordonnées r , q et j. Ces coordonnées sont appelées coordonnées sphériques. Peut on repérer le point M dans le demi plan j = constante par de nouvelles coordonnées ?  Question : Réponse : Coordonnées Domaine de variation On trace les axes du repère et on exprime M en coordonnées cylindriques. Oui, le point M est parfaitement repéré dans le plan méridien, si on connait la distance OM = r M ( , , ) r = OM ] 0 , +  [ z z et l’angle q. r r q q q = ( Oz+, OM) [ 0 , p ]  Origine : le point O j = ( Ox+, Om) [ 0 , 2p [  j j j   Oz+ le demi-axe positif (origine des phases) m Ox+ le demi-axe positif (origine des phases) 5

g ( r , q , j ) h ( r , q , j ) P P f ( r , q , j ) Expressions de r, q et j en fonction de x , y et z. P z Khayar-marrakh O f ( r , q , j ) z g ( r , q , j ) M h ( r , q , j ) q r z O O′ M r q y m m′ x  O j y O y Soient r, q et j les coordonnées du point M. Dans le plan P ( Oxy ) Objectif : On cherche à exprimer x , y et z en fonction de r , q et j . P x r r j j Dans le demi-plan P exprimons x et y en fonction de r et j . exprimons r et z en fonction de r et q. m′ Considérons le triangle rectangle Om′m. x m Considérons le triangle rectangle OO′M. Dans ce triangle on a : Dans ce triangle on a :

Surfaces de Coordonnées Khayar-marrakh Surfaces de Coordonnées Définition : Une surface de coordonnée est l’ensemble de points telle que l’une des trois coordonnées est constante. Première surface de coordonnée r = r0 ( q et j varient respectivement de 0 à p et de 0 à 2 p ) Deuxième surface de coordonnée q = q 0 ( r et j varient respectivement de 0 à +  et de 0 à 2 p ) Troisième surface de coordonnée j = j 0 ( r et q varient respectivement de 0 à +  et de 0 à p )

Première surface de coordonnée r = ro Khayar-marrakh Pour q = q1 : z Soit M un point de coordonnées r , q et j.  Dans une rotation j = 2p… Pour θ quelconque : Si on fixe r ( r = ro) Réponse : Lorsque on fait varier θ de façon continue … O' r0 sin θ1 M Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier j et q? Question : r0 r q q1 r0 sin θ2 Le point M décrit un cercle de centre O' et de rayon ro sin q1 .  q2 O r0 y j r0 sin θ2 m Pour q = q2 , q3 =   2 , q4 =  - q2 et q5 =  - q1 : L’ensemble des cercles forme une sphère de centre O et de rayon ro. r0 sin θ1 [ 0 , 2p [ [ 0 , p ] x On obtient un ensemble de cercles d’axe Oz et de rayon rosin qi ( i = 2 , 3…) Conclusion :  C’es la raison pour laquelle ce système est appelé système de coordonnées sphériques  La première surface de coordonnée décrite par le point M est une sphère de centre O et de rayon ro.

q0 Pour r = r1 : Dans une rotation j = 2p… Pour r quelconque : z Deuxième surface de coordonnée q = qo Khayar-marrakh Pour r = r1 : Dans une rotation j = 2p… Soit M un point de coordonnées r , q et j.  z Pour r quelconque : Si on fixe q ( q = q0 ) Réponse : M Lorsque on fait varier r de façon continue … r4 Le point M décrit un cercle d’axe Oz et de rayon r1 sin qo .  Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier  et r ? Question : M r3 q0 M r2 Pour r = r2 , r = r3 et r = r4 … M q q0 r1 r [ 0 , 2p [ ] 0 , + [ On obtient un ensemble de cercles d’axe Oz et de rayons ri sin qo ( i = 2 , 3…). O L’ensemble de cercles d’axe Oz et de rayons r sin θo forme un cône d’axe Oz et de demi angle au sommet qo. y j m x Conclusion : La deuxième surface de coordonnée décrite par le point M est un cône d’axe Oz et de demi angle au sommet qo.

demi-plan. Pour r = r1 : Pour r quelconque : Dans une rotation q = p… Troisième surface de coordonnée j = j0 Khayar-marrakh z Pour r = r1 : Pour r quelconque : Soit M un point de coordonnées r , q et j. Dans une rotation q = p… Lorsque on fait varier r de façon continue … Si on fixe j ( j = j0 ) Réponse : M r4 M Question : Le point M décrit un demi-cercle de centre O et de rayon r1 .  r3 Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier q et r ? M r2 Pour r = r2 , r = r3 et r = r4 … M q r3 r1 r4 r2 r1 r L’ensemble des demi-cercles forme un demi- disque de rayon infini On obtient des demi-cercles de centre O et de rayons ri ( i = 2 , 3 , 4 …). j0 demi-plan. O y [ 0 , p ] ] 0 , + [ j m Conclusion : La troisième surface de coordonnée décrite par le point M est un demi-plan ( le méridien ) ayant l’axe Oz pour frontière et faisant un angle j 0 avec l’axe Ox+ . x

Axes de Coordonnées Définition : Khayar-marrakh Axes de Coordonnées Définition : Un axe de coordonnées est l’intersection de deux surfaces de coordonnées, c’est-à-dire l’ensemble des points obtenus en fixant les valeurs de deux coordonnées et en laissant libre la troisième. Axe des r q = q o et j = j o Axe des q r = r o et j = j o Axe des j r = r o et q = q o

Leur intersection donne Axe des r Khayar-marrakh r z On trace les deux surfaces de coordonnées: q = qo j = jo et qo o Leur intersection donne l’axe (orienté) des r y jo Conclusion : x L’ensemble des points M appartenant à l’intersection du cône, de sommet O, et du demi-plan jo; forme une demi-droite d’origine O. Cette demi-droite est appelée axe des r.

Leur intersection donne Axe des q Khayar-marrakh x O z O z y x On trace les deux surfaces de coordonnées: r = ro j = jo et q jo Leur intersection donne l’axe (orienté) des q Conclusion : L’ensemble des points M appartenant à l’intersection de la sphère, de rayon ro, et du demi-plan jo; forme un demi-cercle de centre O et dont le diamètre est porté par l’axe Oz. Ce demi-cercle est appelé axe des q.

Leur intersection donne Axe des j z Khayar-marrakh On trace les deux surfaces de coordonnées: r = ro q = qo et j o y Leur intersection donne l’axe (orienté) des j x Conclusion : L’ensemble des points M appartenant à l’intersection de la sphère, de rayon ro, et du cône, de demi-angle au sommet qo; forme une circonférence d’axe Oz. Ce cercle est appelé axe des j.

r q j r r Traçons à partir du point M les trois axes de coordonnées. Vecteurs unitaires Khayar-marrakh z O y x r Traçons à partir du point M les trois axes de coordonnées. r A partir de M on trace les vecteurs unitaires tangents et dans le sens croissant de ces trois axes. er er j O′ M ′ M ej eq ej q q eq Axes des vecteurs unitaires r q ayant le même sens que O r. tangent à l’axe des q et dans le sens de la rotation. j tangent à l’axe des j et dans le sens de la rotation. , et changent de direction et de sens, suivant la position du point M dans l’espace. est le même vecteur unitaire dans les deux systèmes cylindrique et sphérique. Pour un autre point M′ Conclusion : sont respectivement les vecteurs unitaires associés aux axes des r, des q et des j dirigés dans le sens croissant des variables r, q et j .

Les des deux étapes donnent: Expressions de , et dans le système cartésien er eq ej Khayar-marrakh Etape 1 er ez ej eq z z x O x O z Dans le demi-plan P r on a la configuration suivante : er r r z M ej j dans le système sphérique ej q et dans le système cylindrique ej ez er r O' ez Objectif :On cherche à exprimer , et dans le système cartésien. er eq ej M er ej er j eq sont identiques Etape 2 q er q Remplaçant, maintenant, et par leurs expressions dans le système cartésien. y eq y  Etape 1 : passage du système sphérique au système cylindrique.  Etape 2 : passage au système cartésien. Procédure : résultat établi au diapositive 16 (coordonnées cylindriques) Les des deux étapes donnent: P

j r Soient M et M' deux points de l’espace. r j Question : Réponse : q Déplacement élémentaire Khayar-marrakh O z y x M j r q M' r + d r Soient M et M' deux points de l’espace. q + dq r N.B. : M’ est infiniment voisin de M. j j + d j O' dj  M1 Question : Réponse : M' dq r q q r M r sinq dj r sinq dj r dq dr Quelle est l’expression du vecteur déplacement élémentaire dans ce système de coordonnées ? dl = MM' Le déplacement élémentaire est le résultat de trois déplacements : de M à M' M2 j Premier déplacement suivant l’axe des MM1 = M1 M2 = M2 M' = r sin q dj r dq dr de M vers M1 MM1 = Deuxième déplacement suivant l’axe des q MM' = MM1 + M1 M2 + M2 M' de M1 vers M2 ou encore M1 M2 = M2 M' j r q j + dj r + dr q + dq M1 M2 j r q j +dj q + dq M M1 j r q j + dj Troisième déplacement suivant l’axe des r MM' = M2M' + M1M2 + MM1 de M2 vers M' M2 M' =

A retenir : dS r2 sinq dq dj = = On se trouve sur la r = constante Khayar-marrakh Surfaces élémentaires y x z O On se trouve sur la sphère derayon r. r = constante M Un déplacement élémentaire MM’, sur la sphère r = constante définit un élément de surface . M’ dS dj r sin dq r Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des j , N.B. : M’ est infiniment voisin de M. suivi d’un autre suivant l’axe des q , on obtient un élément de surface r sinq dj dS r dq A retenir : dS = r2 sinq dq dj dS = Λ r2 sinq dq dj =

A retenir : dS r sin q dr dj = = On se trouve sur la surface latérale du cône. z O x y Khayar-marrakh q = constante M Un déplacement élémentaire MM', sur la surface q = constante, définit un élément de surface . M' dS Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des j , N.B. : M’ est infiniment voisin de M. suivi d’un autre suivant l’axe des r , on obtient un élément de surface dS dr r sinq dj A retenir : dS = r sinq dr dj dS = Λ r sin q dr dj =

A retenir : dS r dr dq = = On se trouve sur le demi-plan j. Khayar-marrakh On se trouve sur le demi-plan j. z O x y j = constante M Un déplacement élémentaire M M', sur la surface j = constante, définit un élément de surface . M' dS Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des q , N.B. : M' est infiniment voisin de M. suivi d’un autre suivant l’axe des r , on obtient un élément de surface j dr dS r dq A retenir : dS = r dr dq dS = Λ r dr dq =

dt = r2 sinq dr dq dj dt dt = ( ) A retenir : r2 sinq dr dq dj = Volume élémentaire z y x O Khayar-marrakh q Soient M et M' deux points de l’espace. N.B. : M' est infiniment voisin de M. Un déplacement élémentaire MM' définit un élément de volume dt. j r M M' dt et effectuons des déplacements élémentaires le long de ces axes. Traçons d’abord les axes de coordonnées On obtient le volume élémentaire dt Surface de la base dt = ( ) Λ dr d r A retenir : dt = r2 sinq dr dq dj r dq r2 sinq dr dq dj = r sinq dj

Nous désirons exprimer nos remerciements à tous les collègues qui, par leur aide et leur encouragement, nous ont permis d’achever ce travail. Septembre 2009