PRETRAITEMENTS LOCAUX OPERATEURS LOCAUX Signal d’image Opérations élémentaires - filtres RIF RENFORCEMENT DU CONTRASTE Laplacien discret - paramétrage LoG / DoG - efficacité algorithmique LISSAGE DES BRUITS Opérateurs de base Critères de comparaison Opérateurs adaptatifs, filtres récursifs Evaluation des performances 4. ALGORITHMIQUE AVANCEE Filtre polynomial : PAoG FIN DE PRESENTATION PRETRAITEMENTS 2ème PARTIE

PROPRIETES DU SIGNAL D’IMAGE OPERATEURS LOCAUX PROPRIETES DU SIGNAL D’IMAGE Signal non causal : causalité  G(l,c) dépend de { G(l-m,c-k) } m > 0 et k > 0 ( exemple signal fonction du temps ) dans l’image G(l,c) dépend tout autant de l’ensemble de ses voisins ( exemple : flou )  signal non causal NB : le transfert des charges et la sérialisation du signal vidéo introduit une part causale indirecte … C L Pixel G(l,c) + bruit Signal bruité : sources de bruit diverses  modèle physique complexe ( CCD seul, théoriquement vb=k.signal ) modèle simple 3 termes : bruit électronique-thermique  bruit additif, indépendant du signal bruit de « speckel »  bruit dépendant du signal, multiplicatif, en image radar et en faibles niveaux de lumière parasites EM, codage  bruit impulsionnel, spatialement aléatoire : P% des pixels ont une valeur modifiée  g ( si  255 et butées [0,255] : « salt & pepper noise » )

OPERATEURS LOCAUX ( 2 ) Détermination des paramètres de bruit : G = Go . Bmult ( = 1, Etd) + Badd ( = 0,  2 = vb) + (  g ) . Bimp ( P% ) Bruit multiplicatif moyenne = 1 uniforme sur étendue [1-Etd/2,1+Etd/2] Bruit additif gaussien Bruit impulsionnel Bimp  { 0,1}, probabilité de 1:P% Z0 Z1 Z2 Z3 Dans Zi i =0…3, moyennes différentes, variances égales terme multiplicatif négligeable terme additif de variance moyenne vb  12 bruit impulsionnel non quantifiable … Analyse du profil d’une ligne ( section de l’image )

ANALYSE LOCALE DE l’IMAGE : CONTRASTE LOCAL ET BRUIT OPERATEURS LOCAUX ( 3 ) ANALYSE LOCALE DE l’IMAGE : CONTRASTE LOCAL ET BRUIT Ligne 30 : section d’ensemble et coupe du chromosome Eléments de comparaison des opérateurs - bruit : fluctuations - contraste local : pente et amplitude de transition Mise en évidence du bruit ( vb = 12 ) Mise en évidence du contraste local ( colonnes 30 à 70 )

OPERATIONS ELEMENTAIRES : SIGNAL DISCRET 1D OPERATEURS LOCAUX ( 4 ) OPERATIONS ELEMENTAIRES : SIGNAL DISCRET 1D g(i) Intégration méthode du trapèze h( g(i) ) : G I 1 x g(i-1) + 2 x g(i) + 1 x g(i+1) Dérivation ordre 1 d( g(i) ) : NB : peut aussi être interprété comme Dérivation ordre 2 d2( g(i) ) :

SIGNAL 2D : FILTRES LINEAIRES RIF OPERATEURS LOCAUX ( 5 ) SIGNAL 2D : FILTRES LINEAIRES RIF Intégration ou lissage 2D, voisinage centré 3x3 : Dérivation 1er ordre  2 composantes du vecteur gradient, voisinage centré 3x3 : Dérivation 2ème ordre  laplacien, voisinage centré 3x3 :

NORMALISATION DES COEFFICIENTS OPERATEURS LOCAUX ( 6 ) NORMALISATION DES COEFFICIENTS Lissage : La réponse à un signal constant go doit être go  somme des coefficients normalisés = 1 ce qui est verifié pour le lisseur 3x3 : Cn = 16 Dérivation 1er ordre : En 1D la réponse à un signal g(i) = a.i doit être a  En 2D même considération pour chacune des composantes dl et dc : exemple de dl  Dérivation 1er ordre  utilisation en détecteur : Dans ce cas la réponse à un échelon d’amplitude a doit être a : exemple de dl 

PROPRIETES DES FILTRES LINEAIRES OPERATEURS LOCAUX ( 7 ) PROPRIETES DES FILTRES LINEAIRES Autre interprétation des opérateurs locaux : filtres à réponse impulsionnelle finie ( RIF ) Application du filtre à l’image : convolution 2D  s = H  g Filtres séparables : réduction des calculs 2 convolutions 1D en cascade : s = ( hl  g )  hc = g  ( hl  hc ) nbre produits cumulés : N 2 en 2D 2.N en séparable Si H(n,m) peut se mettre sous forme produit : H = hl(n).hc(m)  filtre séparable exemple : le filtre lisseur, par construction

OPERATEURS LOCAUX ( 8 ) Dualité opérateur local  réponse impulsionnelle du filtre Formellement les 2 présentations sont équivalentes, à un détail près : - jeu de coefficients ou masque opérateur ordonné selon l,c croissants - réponse impulsionnelle est son symétrique / pixel central ( indices < 0 dans l’expression )  symétrie ou rotation de 180° de la matrice des coefficients Coefficients et variance du bruit non corrélé entre pixels voisins, après filtrage Variance du bruit en sortie de filtre : ( somme simple en 1D ) exemples : Minimum à taille donnée si coefficients égaux  filtre moyenneur

OPERATEURS LOCAUX ( 9 ) Amélioration du comportement vis-à-vis du bruit - Cascade d’opérateurs  augmentation de la taille de l’opérateur - Laplacien modifié : combinaison de 2 laplaciens selon des axes à 45° : Gain très limité ! - Opérateur dérivée 1ère : combinaison lissage puis dérivation ( ou inverse, commutatif ) dx ( g  H )= g  dx (H)  propriété des filtres linéaires forme approchée centrée norme du gradient :

OPERATEURS LOCAUX ( 10 ) EFFET DE BORD Opérateur convolution 2D : mode de traitement Image destination C L 2.N+1 x 2.M+1 coefficients C L Cumul des produits terme à terme Image source Bordure d’image 2xN lignes et 2xM colonnes non traitées  mises à 0 ou recopiées … 2 convolutions 1D en cascade : Traitement ligne Traitement colonne

RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL PRINCIPE DU TRAITEMENT Principe en 1D continu : Mise en œuvre en 2D discret : s = g – k . ( g   ) = C(k)  g k = paramètre de réglage de l’augmentation du contraste Problème : le laplacien est sensible au bruit [ voir signal 2D – coefficients & bruit ] Noter que du fait des dépassements s doit être bornée  s = min( max( C(k)  g,1 ) , 255 ) Signal d2 : dérivée seconde Signal – k.d2 Transition La différence des niveaux haut et bas de la transition est augmentée localement  renforcement du contraste visuel

RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 2 ) REGLAGE DE « K » Image d’origine et ajustement adaptatif de dynamique : renforcement du contraste global sans conservation des relations d’ordre Renforcement du contraste local s = g – k . ( g   ) = C(k)  g Section g k = 1 k = 3 k = 1 k = 3 Noter l’amplification du bruit

RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 3 ) FILTRES GAUSSIENS Pour éviter l’amplification du bruit : lissage préalable par filtre dont RII est gaussienne Calcul des coefficients du filtre RII 2D  LoG : 1 convolution 2D  Gxy  Op( g ) Filtre gaussien séparable ( Huertas-Medioni ) : 4 convolutions 1D  Gx   G’’y   Gy   G’’x  +  Op( g )

RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 4 ) Différence de gaussiennes ( Marr – Hildreth )  DoG : Voir calculs : 4 convolutions 1D  G1x   G1y   G2x   G2y  -  Op( g ) Comparaison des charges de calcul  tailles des filtres Gx G’x et G’’x Pour e petit /  identique à LoG

RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 5 ) EFFICACITE ALGORITHMIQUE : TAILLES DES FILTRES Gx G’x et G’’x : filtres RII  troncature des coefficients Voir propriétés : Critère : 1er coefficient négligé < 1% du coefficient maximum ( en valeur absolue ) Gx   3  G’x   3.6  G’’x   3.8  Validité du critère : % de somme des coefficients négligés / somme des coefficients même signe Gx  0.25 % G’x  0.17 % G’’x  0.48 % Comparaison des filtres : nombre de produits cumulés  coef.pixel Convolution 2D : 7.6  x 7.6  ( similaire à G ’’ )  58 2 Huertas Medioni : 2 x 6  ( G ) + 2 x 7.6  ( G’’ )  27  Marr Hildreth : 4 x 6  = 24  Puis s = g – k.Op( g ) Autrement : DoG différence de 2 lissages et si opérateur = Image lissée – Image ? s = g – k.( g  Gxy - g ) = g – k. g  ( Gxy –1 ) Gxy séparable  terme de comparaison 2 x 6  = 12  ( mais  peut être  DoG ) s = g.( 1 + k ) – k.(( g  Gx)  Gy )

RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 6 ) EXEMPLE : LOG ET G – 1 Section Zone de test de vb Sections g LoG G - 1 Comportement vis-à-vis du bruit  valeur de vb Image initiale vb = 12 Opérateur LoG vb = 55 Opérateur G-1 vb = 44 LoG 5x5 (  = .58 ) K = 0.6 G-1 2x11 (  = 1.4 ) K = 1.2 Charges de calcul similaires de 25 et 22 */+ résultats visuels similaires ( sections )

RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 7 ) FILTRES GAUSSIENS ET MOYENNEURS Comportement vis à vis du bruit blanc additif :  coeff 2 moyenneur 5x5 : 0.04 gaussien 1D  = 1.4 taille 11 : 0.20  2D 11x11 : 0.04 moyenneur 3x3 : 0.11 gaussien 1D  = .85 taille 7 : 0.33  2D 7x7 : 0.11 Performances identiques, mais charges de calcul différentes … Comportement fréquentiel ( fréquences spatiales ) : modules des TFD 2D moyenneur 5x5 : sin(k.)/(k.) gaussien 11x11 : exp(-2.2) Comportements similaires en BF, réponse irrégulière du moyenneur en HF

LISSAGE DES BRUITS OPERATEURS DE BASE Lissage du bruit : opérateur local traitant un échantillon d’image prélevé dans une fenêtre N x M réglages  taille de l’échantillon, type d’estimateur du pixel central Filtres RIF ou RII tronquée : statistiques paramétriques Filtres d’ordre Temps de calcul !

CRITERES DE COMPARAISON LISSAGE DES BRUITS ( 2 ) CRITERES DE COMPARAISON Moyenne  flou, mais optimale si bruit blanc additif Médiane  conserve les transitions  élimine les détails fins, mais optimale si bruit impulsionnel Image de test Moyenne 3x3 Médiane 3x3 Critères de qualité conservation des transitions :   |écarts| entre profil initial et profil lissé réduction de la variance de bruit sur gris uniforme :  variance après lissage / variance bruit  tests avec bruit additif gaussien et bruit impulsionnel Moyenne Médiane Section des images

OPERATEURS ADAPTATIFS : EXEMPLES LISSAGE DES BRUITS ( 3 ) OPERATEURS ADAPTATIFS : EXEMPLES Inconvénient du filtre moyenneur : dégradation des transitions Remède : inhiber le moyennage au voisinage des transitions Critère de proximité : variance locale  vb ( estimation du bruit ) moy Opérateur moyenne adaptative : g Effet d’une transition g   2 = g 2 / 4 de K = 0 : moyennage à K = 1 : conservation du pixel initial Autre forme : moyennage des valeurs proches de pc sélection spatiale

LISSAGE DES BRUITS ( 4 ) FILTRE EXPONENTIEL Réponse impulsionnelle : Propriétés similaires au filtre gaussien : β / 2 1/ β Taille des filtres 1D : En négligeant les coefficients < 1% du maximum  étendue du filtre  4.6  -1 A même lissage du bruit blanc additif, donc Sc2 =  coeff 2 identique : Sc2 = 0.33  moyenne 3  gaussien  = 0.85 taille 7  exponentiel  = 1.16 taille 9 Sc2 = 0.20  moyenne 5  gaussien  = 1.4 taille 11 exponentiel  = 0.74 taille 13  Utiliser une autre forme du filtre exponentiel !

LISSAGE DES BRUITS ( 5 ) Filtre 1D RII, forme discrete sans troncature : Réduction du bruit blanc additif par le filtre exponentiel : Filtre_Expo.mws NB : en 2D, 2 lissages successifs ligne-colonne  considérer

LISSAGE DES BRUITS ( 6 ) FORME RECURSIVE +  La réponse impulsionnelle discrète du filtre exponentiel peut se mettre sous forme récursive : Voir calculs : 2 balayages en // de sens opposés causal et anticausal : forme récursive parallèle x sa sc s +  i   i   3 * et 3 + par pixel Ou sous forme récursive cascade : 2 balayages en série de sens opposés 3 * et 2 + par pixel x sc i   i   s

LISSAGE DES BRUITS ( 7 ) Effet de bord identique à la forme RII tronquée  initialisation des filtres  = 1.15  taille 9, effet de bord sur 4 pixels réponse à un signal x(0) = 2, x(i) =1 pour i  0 sans initialisation : en bordures transition 0  1 avec initialisation : suppression de l’effet de bord Algorithme avec initialisation Lissage d’image 2D : E(y) E(x) Lissage colonne ligne Résultat lissage 2D Filtre séparable, ordre indifférent, commutatif :

LISSAGE DES BRUITS ( 8 ) OPTIMISATION ALGORITHMIQUE But : éviter 2 initialisations par ligne et par colonne Balayage alterné des lignes et colonnes  passage de ligne / colonne sur même voisinage donc sans discontinuité majeure du signal Chaque ligne / colonne est parcourue dans les 2 sens mais en ordre inverse (commutatif) Exemple du balayage ligne L(i) : Phase 1 : causal Phase 2 : anticausal Initialisation par 1er pixel image fin Initialisation par dernier pixel lissé fin … et même méthode pour le lissage colonne C(i) :

LISSAGE DES BRUITS ( 9 ) Phase 1 : causal Phase 2 : anticausal Initialisation par 1er pixel image Initialisation par dernier pixel lissé … et reste le coefficient multiplicateur (1-b)2 en ligne et en colonne, soit (1-b)4 Bilan des nombres d’opérations en 2D : lissage ligne 2 * et 2 + lissage colonne 2 * et 2 +  soit 5 * et 4 + par pixel coefficient final 1 *

OPERATEUR A SELECTION DE VOISINAGE LISSAGE DES BRUITS ( 10 ) OPERATEUR A SELECTION DE VOISINAGE Opérateur d’origine : Nagao ( 79 ! ) Subdivision d’une fenêtre 5 x 5 en 9 secteurs angulaires, calcul de moyenne et variance de chaque secteur : pc = moy(k), k tel que var(k) = min( var(i) ) i = 0 … 8 Secteur i  orientation i./4 i = 0 …7 ( secteur 8 central ) 3 2 1 Propriétés, exemple en 1D : 4 8 - préservation des transitions élimination des pixels « hors norme » ( bruit impulsionnel ) 5 6 7 pc pc var( S0 ) < var( S1 )  pc = moy( S0 ) S0 S0 S1 S1 Géométrie des secteurs complexe  régularisation des secteurs

LISSAGE DES BRUITS ( 11 ) Nagao optimisé : 9 secteurs identiques 3 x 3 dans une fenêtre 5 x 5 S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S0 S8 S4 Intérêt : au cours du déplacement de l’opérateur en ligne : S0  S8  S4 Les calculs pour un secteur 3 x 3 sont utilisés en 9 positions différentes  charge de calcul  Même colonne image NB : - médiane ou moyenne tronquée au lieu de moyenne  robustesse au bruit impulsionnel  - transition raide non bruitée (hypothèse théorique)  effet de dentelle sur la zone de contraste

EVALUATION DES PERFORMANCES : TRANSITIONS LISSAGE DES BRUITS ( 12 ) EVALUATION DES PERFORMANCES : TRANSITIONS Image de test 100 x 61 : transition 100-200 faible bruit gaussien additif vb = 1 Opérateurs : médiane 5x5 : med5 2 moy.pondérée 5x5 vb = 16 : mop5-16 2 nagao 5x5 : nag 7 moyenne tronquée 5x5 t = 3 : mtr5-3 56 gaussien 11x11 ( = 1.4) : gau-1.4 67 moyenne 5x5 : moy5 74 exponentiel récursif ( = 0.74) : exp-.74 86 Profil lissé moyen sur 100 lignes moy5 med5 exp-.74 nag médiane et moyenne pondérée respectent intégralement le profil gaussien, moyenne et exponentiel créent un flou nagao renforce le contraste ( cause du critère = 7, voir profils )

EVALUATION DES PERFORMANCE : BRUIT LISSAGE DES BRUITS ( 13 ) EVALUATION DES PERFORMANCE : BRUIT Image de test I0 : 300 x 300 I1 : I0 + bruit additif gaussien  = 4  vb  16 I2 : I1 + bruit impulsionnel p = 3% 20 ( 5. )  vb  29 I3 : I1 + bruit impulsionnel p = 6% 28 ( 7. )  vb  63 Critère sur image Ik : C = var(Ik lissée) / var(Ik) I1 I2 I3 moy5 0.046 0.043 0.041 med5 0.066 0.040 0.019 mop5-16 0.071 0.30 0.60 mtr5-3 0.048 0.030 0.016 gau-1.4 0.044 exp-.74 0.042 0.039 nag 0.14 0.091 0.056 Classe 1 : C  0.04 valeur théorique ( moy5, gau-1.4, exp-.74 ) Classe 2 : C  avec bruit impulsionnel C  0.04 ( mop5-16 ) Classe 3 : C  avec bruit impulsionnel ( med5, mtr5-3, nag ) NB : nagao sélectionne une moyenne 3x3 parmi 9  valeur de C plus élevée

EXEMPLE : REPRESENTATION 3D LISSAGE DES BRUITS ( 14 ) EXEMPLE : REPRESENTATION 3D Moyenne 5x5 Médiane 5x5 Nagao

LISSAGE DES BRUITS ( 15 ) EXEMPLE : IMAGE REELLE Moyenne 5x5 Médiane 5x5 Nagao

ALGORITHMIQUE AVANCEE FILTRE POLYNOMIAL : PAoG Le filtre gaussien est largement utilisé mais : sa réponse impulsionnelle tronquée ( RII  RIF ) est étendue, il n’a pas de forme récursive, plus efficace.  approximation par une forme plus simple « Polynomial Approximation of Gaussian » Filtre PAoG : réponse impulsionnelle finie 1D En fait ceil( 3.σ )

ALGORITHMIQUE AVANCEE ( 2 ) Précision de l’approximation : w = 5 σ = 2.1 Eq < 1 % Em < 3 % pour w ≥ 2 Précision pour w : [ 1 … 13 ] soit σ : [ 0.8 … 4.7 ] Réponses impulsionnelles ( erreur max pour faibles valeurs )

ALGORITHMIQUE AVANCEE ( 3 ) Efficacité du lissage vis-à-vis du bruit : Evaluation par la somme quadratique des coefficients de la RIF : v/vb = Σ coeff2 pour filtre gaussien, PAoG, et par comparaison pour moyenne de largeur ( 2.w+1 ) PaoG est une bonne approximation d’un filtre gaussien, RIF moins étendue ( w < 3.σ ) de plus PAoG possède une forme récursive, strictement causale : 1 seul sens de balayage ! w : [ 1 …13 ] σ : [ 0.8 … 4.7 ] Efficacité PAoG / gaussien : 94 à 98 %

ALGORITHMIQUE AVANCEE ( 4 ) PAoG RECURSIF CAUSAL Transformée en z Domaine temporel

ALGORITHMIQUE AVANCEE ( 5 ) Conditions initiales et finales : gestion de l’effet de bord zones d’initialisation et de fin imposées, contraintes : - les pixels doivent arriver dans l’ordre pour tous les échantillons ( commencer à io = –w pour nx(i) ) t1(io) = t2(io) = t3(io) = t4(io) = 0 t5(io) = t5(io-1) = x0 / 2.Cp - tous calculs en entiers car poles sur le cercle unité xo x xn -(2.w+4) w Balayage causal unique : nombre d’opérations à comparer à 6.σ + 1 produits cumulés pour gaussien RIF : Dès que w =2 le nbre total d’opérations est plus réduit, et du même ordre pour w = 1 x i   4 * et 11 + par pixel y

ALGORITHMIQUE AVANCEE ( 6 ) PAoG : DERIVEES D’ORDRE 1 ET 2 Les opérations Tk(z).(1-z-1) = Tk-1(z) sont en fait des intégrations  les dérivées d’ordre 1 et 2 sont donc directement disponibles en t4 et t3

FIN DE PRESENTATION RETOUR AU PLAN FIN DE PRESENTATION

DEVELOPPEMENT AU 1ER ORDRE EN «  » FILTRE DOG DEVELOPPEMENT AU 1ER ORDRE EN «  »

PROPRIETES Modification des réponses impulsionnelles en fonction de  : Conséquence : relation entre  et échantillonnage  G(x) = filtre dit « d’échelle » x(ki) est de taille k fois x(i) par insertion de k zéros entre les échantillons k 2k … CG(ki) x(ki) La réponse à un filtre de paramètre k. sur un signal à l’échelle « k » est, à un facteur k près, celle du du filtre de paramètre  sur le signal à l’échelle 1 CGk(i) x(i) 1 2 …

PROPRIETES ( 2 ) Exemples : deux valeurs de  0.5 et 1.5 ( k = 3 ) Réponses pour un créneau de 9 pixels Créneau dilaté par insertion d’un 0 de part et d’autre de chaque échantillon, lissage  = 1.5, puis ré-échantillonnage 1 pixel sur 3  idem.  = 0.5  = 1.5 Créneau sous-échantillonné 1 pixel sur 3, lissage  = 0.5, puis remise à l’échelle d’origine par réplication de chaque pixel à gauche et à droite  idem à la discrétisation près. Dilatation d’échelle Contraction d’échelle référence  = 1.5 référence  = 0.5

FORME RECURSIVE Décomposition du filtre 1D discret : Exclusion de i = 0 Forme récursive parallèle du filtre exponentiel : 2 balayages en // de sens opposés causal - anticausal

FORME RECURSIVE ( 2 ) Forme récursive cascade : Même dénominateur 2 balayages successifs en sens inverses Conditions initiales pour limiter l’effet de bord : Etat permanent atteint en bordure d’image 