Habilitation à diriger les recherches Milieux granulaires denses, gaz granulaires: des systèmes modèles hors de l‘équilibre Eléments d‘étude des réseaux complexes A. Barrat, Laboratoire de Physique Théorique, Orsay 16 mai 2005

Plan Brève description des travaux sur les matériaux granulaires Réseaux complexes Réseaux complexes: introduction Cartographie des réseaux Réseaux complexes valués Quelques perspectives

Matériaux granulaires hors d’équilibre, à température nulle toute dynamique=réponse à une injection d’énergie « gaz » : granulaires fortement vibrés, forte injection d’énergie plus dense, « liquide » très dense, en compaction : faible injection d’énergie « solide » ...de l’ingénierie à des questions fondamentales de physique statistique hors d’équilibre

Matériaux granulaires: granulaires denses Collaboration avec V. Colizza, G. D’Anna, J. Kurchan, V. Loreto, P. Mayor, F. Nori, M. Sellitto 1- Phénoménologie de la compaction des granulaires faiblement vibrés: étude numérique détaillée d’un modèle sur réseau étude des relaxations lentes importance des hétérogénéités: utilisation des profils de densité pour l’interprétation des résultats numériques (ex: réponse à un changement du forçage) effets mémoire lors d’un changement du forçage

Matériaux granulaires: granulaires denses 2- Application de concepts thermodynamiques ? Proposition de S. Edwards: description statistique des configurations échantillonnées dynamiquement à temps longs lors de la compaction exact dans certains modèles champ moyen Investigation numérique sur plusieurs modèles schématiques en dimension finie, présentant la phénoménologie de la compaction granulaire situations homogènes cas plus réaliste, avec profil de densité bonne approximation pour un certain nombre de modèles

Gaz granulaires v1 v’1 v’2 v2 Collaboration avec T. Biben, J.N. Fuchs, E. Trizac, Z. Racz, F. van Wijland Motivation: système modèle exhibant des états stationnaires hors d’équilibre, avec possibilité d’études expérimentales, numériques, analytiques Cadre théorique: sphères dures inélastiques Avant collision Après collision v1 v’1 la composante normale de la vitesse relative est réduite =>perte d’énergie v’2 v2

Gaz granulaires Sujets d’étude: Distributions de vitesse, problème de l’universalité (modèle effectif avec coefficient de restitution aléatoire) Non- équipartition de l’énergie dans les mélanges binaires « Démon de Maxwell » Méthodes Théorie cinétique: équation de Boltzmann Simulations numériques: Monte-Carlo Dynamique moléculaire

Réseaux complexes Collaboration avec I. Alvarez-Hamelin, M. Barthélemy, L. Dall’Asta, R. Pastor-Satorras, A. Vázquez, A. Vespignani Thématique interdisciplinaire, suivant plusieurs axes: Analyse et théorie: réseaux complexes valués Cartographie des réseaux complexes Dynamique sur réseaux: épidémiologie

Exemples de réseaux complexes Internet WWW Réseaux de transport Réseaux d’interaction de protéines Réseaux de transcription des gènes Réseaux sociaux ... sont, ou peuvent être modélisés par, des graphes: ensemble de N sites/noeuds/sommets et E liens, en général dilués i.e. E << N(N-1)/2

Principales caractéristiques Graphes « petit-monde »: diamètre croissant « lentement » avec la taille du réseau N, i.e. log(N) ou encore plus lentement caractéristique capturée par le paradigme du graphe aléatoire

Graphes aléatoires: Erdös-Renyi (1960) N sites, connectés avec proba p: NB: distribution de Poisson pour le degré k=nombre de voisins (p=O(1/N)) MAIS....

Internet, systèmes autonomes

sont des réseaux hétérogènes Distribution des degrés P(k) = probabilité qu’un site ait k voisins Internet et le Web; les réseaux d’interactions des protéines les réseaux métaboliques les réseaux sociaux ... sont des réseaux hétérogènes P(k) ~ k - (   3) <k>= const <k2>   Absence d’échelle caractéristique Divergence des fluctuations

Comparaison imagée Distribution de Poisson Réseau homogène Distribution en loi de puissance Réseau sans échelle Distribution hétérogène des degrés: Conséquences importantes, par exemple Propagation d’épidémies Robustesse Vulnérabilité ...

Principales caractéristiques Graphes « petit-monde » Graphes hétérogènes, avec des lois de distribution larges pour le degré Souvent: évolution dynamique, auto-organisation Théorie des graphes aléatoires: graphes statiques, topologie ad-hoc... Nécessité de nouveaux paradigmes Développement d’une activité de recherche intense

Un nouveau cadre P(k) ~k-3 (1) Croissance: Ajout à chaque instant t d’un nouveau site, avec m liens (connectés aux sites déjà présents). (2) Attachement préférentiel: la probabilité Π que le nouveau site va se lier au site i dépend du degré ki de ce site P(k) ~k-3 A.-L.Barabási, R. Albert, Science 286, 509 (1999)

Modèles de réseaux sans échelle Barabási, Albert, 1999: croissance + attachement préférentiel P(k) ~ k -3 Généralisations et variations: Non- linéarité : (k) ~ k Attractivité initiale : (k) ~ A+k Réseaux avec fort clustering Caractères intrinsèques: (k) ~ hiki Réseaux plongés en 2 dimensions P(k) ~ k -g (....) => nombreux modèles Redner et al. 2000, Mendes et al. 2000, Albert et al. 2000, Dorogovtsev et al. 2001, Bianconi et al. 2001, Barthélemy 2003, etc...

Caractérisation des divers modèles Distribution des degrés P(k) =>Homogène vs. hétérogène Corrélations entre degrés de sites voisins « Clustering » (triangles) ... => Comparaison avec réseaux réels

Fiabilité des données empiriques ? Hétérogénéité des réseaux: constatée empiriquement réseaux sociaux: données variées, même type de résultats réseaux de transport: données fiables réseaux de nature biologique: incomplets Internet: cartographie résultant d’un échantillonnage incomplet Analyse statistique de la fiabilité d’un tel échantillonnage

Biais du processus d’échantillonnage Traceroute: => arbre à partir de chaque source Echantillonnage incomplet Connectivité latérale mal estimée

Biais du processus d’échantillonnage Sites et liens mieux échantillonnés près des sources Mauvaise estimation de certaines propriétés ? Les propriétés statistiques du graphe échantillonné pourraient différer des vraies propriétés Lakhina et al. 2002 Clauset & Moore 2005 De Los Rios & Petermann 2004 Guillaume & Latapy 2004 Mauvais échantillonnage ?

Comment évaluer ces biais ? Graphe réel G=(V,E) (connu ) échantillonnage simulé Graphe échantillonné G’=(V’,E’) Analyse de G’, comparaison avec G

Notre démarche modèle pour traceroute approche analytique avec approximations de type champ moyen => lien entre les propriétés topologiques du réseau et les biais du processus d’échantillonnage validation numérique par l’échantillonnage simulé de graphes homogènes et hétérogènes

I-Modèle pour traceroute Première approximation: union de chemins les plus courts G=(V, E) Sources (NS) Destinations (NT)

I-Modèle pour traceroute Première approximation: union de chemins les plus courts G’=(V’, E’) Modèle simple, qui permet d’obtenir un traitement analytique et numérique

II-Analyse du processus de cartographie 1. Expression exacte pour la probabilité de découvrir un site ou un lien donné 2. Approximation de type champ moyen: on néglige les corrélations entre les différents chemins 3. Interprétation du résultat en termes de propriétés topologiques, en particulier de la centralité donnée par la « betweenness centrality » Prédiction: sites et liens plus « centraux » sont mieux échantillonnés

Betweenness centrality b pour chaque couple (l,m) de sites, il y a nlm plus courts chemins entre l et m nijlm plus courts chemins passant par ij bij est la somme de nijlm / nlm sur tous les couples (l,m) k i ij: grande centralité j jk: faible centralité NB: flux d’information si chaque site envoie un message à tous les autres sites de façon similaire betweenness du site i bi

II-Conséquences de l’analyse Graphes homogènes (ex: graphes aléatoires ER) distributions piquées de k et b gamme étroite de centralité (betweenness) prédiction: bon échantillonnage (uniforme) seulement pour un grand nombre de sondes Graphes hétérogènes (ex: modèle Barabási-Albert) distributions larges de k et b ; b » k gamme étendue de valeurs prédiction: sites de grand degré toujours bien échantillonnés

III-Simulations numériques Graphes homogènes Mauvais échantillonnage pour toute la gamme de degrés =NS NT/N

III-Simulations numériques Graphes hétérogènes Sites à fort degré bien échantillonnés

III-Simulations numériques Graphes homogènes NS=1 Pas de distribution large, sauf.... P*(k) large seulement pour NS = 1 (cf Clauset and Moore 2005) cut-off à <k> mauvais échantillonnage de P(k)

III-Simulations numériques Graphes hétérogènes bon échantillonnage, surtout à grand degré; inflexion à faibles degrés (sites moins centraux) => mauvaise évaluation des exposants.

Fiabilité du processus de cartographie Approche analytique du processus de type traceroute Lien avec les propriétés topologiques Bon échantillonnage des lois larges pour la distribution des degrés Biais donnant un réseau échantillonné hétérogène à partir d’un réseau homogène: seulement dans des cas très particuliers <k> devrait être très grand (peu réaliste)

Les propriétés d’hétérogénéité sont réelles dans le réseau Internet Fiabilité du processus de cartographie: conclusion Les propriétés d’hétérogénéité sont réelles dans le réseau Internet mais L’analyse quantitative peut être fortement biaisée (exposants mal mesurés...)

Au-delà de la topologie: réseaux complexes valués Internet Emails Réseaux sociaux Réseaux économiques (Garlaschelli et al. 2003) Réseaux biologiques (Almaas et al. 2004) Réseaux de transport ... sont des réseaux valués, avec des poids hétérogènes sur les liens i wij j

Nos travaux Analyses empiriques de réseaux réels Définition de nouveaux outils de caractérisation, en particulier pour les corrélations Modélisation

Outils pour la caractérisation des réseaux valués Généralisation du degré: si = j wij =>étude des distributions de s, des corrélations entre s et k Généralisation de l’étude des corrélations: triangles => « clustering » valué corrélations à deux points

Nécessité de tenir compte des poids pour les corrélations wij=1 wij=5 i i ciw > ci ciw < ci Même degré, même coefficient de clustering (ki=4, ci=0.5) Définition d’un coefficient de clustering valué ciw Comparaison avec le clustering topologique

Nécessité de peser les corrélations entre degrés 1 5 Même degré moyen des voisins i Définition de l’affinité= degré moyen des voisins de i, pesé par les poids des liens vers ces voisins Comparaison de l’affinité avec son équivalent topologique 5 1 i

Etudes empiriques Distributions hétérogènes des poids, des degrés pondérés Existence de corrélations entre poids et degrés Comparaison des corrélations topologiques avec les corrélations pondérées => informations supplémentaires sur les réseaux étudiés

Modèles de réseaux valués Yook, Jeong, Barabási, Tu, Phys. Rev. Lett. (2001) Zheng et al. Phys. Rev. E (2003) Jezewski, Physica A (2004) Park et al., Phys. Rev. E (2004) Almaas, Redner, Phys. Rev. E (2005) Antal, Krapivsky, Phys. Rev. E (2005) =>Poids statiques, avec ou sans corrélations avec la topologie, alors qu’en général les poids évoluent sont couplés avec la topologie

Un nouveau mécanisme et... Croissance: ajout à chaque pas de temps d’un nouveau site avec m liens à connecter à des sites déjà existants Attachement Préférentiel: la probabilité de se connecter à un site donné est proportionnelle au degré pondéré du site Attachement préférentiel déterminé par les poids et...

Redistribution des poids: mécanisme de rétroaction Nouveau site: n, attaché à i Nouveau poids wni=w0=1 Poids entre i et ses autres voisins: n i j si si + w0 + d seul paramètre Le nouveau trafic n-i accroît le trafic i-j et le poids/l’attractivité de i =>mécanisme de rétroaction

Résultats analytiques Distributions en loi de puissance pour k, s and w: P(k) ~ k -g ; P(s)~s-g Corrélations topologie/poids: wij ~ min(ki,kj)a , a=2d/(2d+1)

Résultats numériques (N=105)

Extensions du modèle: Hétérogénéités des sites Réseau dirigé Contraintes spatiales Renforcement des liens déjà existants etc...

Conclusions: réseaux valués importance de l’étude des intensités des liens généralisation des corrélations => meilleure compréhension des réseaux nouveaux mécanismes de modélisation

Perspectives Granulaires denses: expériences... Gaz granulaires: fluctuations de grandeurs globales théorème fluctuation Réseaux complexes cartographie: influence des divers paramètres; déploiement massif de sources... influence des poids sur la dynamique épidémiologie réseaux dynamiques (ex: pair-à-pair)