La droite dans R3 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Dans cette présentation, nous verrons comment obtenir une équation d’une droite de R3 dont certaines caracté-ristiques sont décrites à l’aide des vecteurs. Pour décrire une droite de R3, on peut : • donner un point et un vecteur directeur de la droite; • donner deux points de la droite; • donner un point et deux vecteurs perpendiculaires à la droite.

OX = OP + t D, où t est un nombre réel. Vecteur position Un repère d’une droite est constitué d’un point de celle-ci et d’un vecteur directeur (parallèle à la droite). À partir de l’origine du vecteur directeur, on peut décrire chaque point de la droite par un vecteur position. En considérant que t varie sur l’ensemble des réels, on obtient alors une équation vectorielle de la droite, soit : OX = OP + t D, où t est un nombre réel. Remarque : Dans R2 et R3, les vecteurs OX, OP et  D s’expriment en fonction de la base. On utilisera la base orthonormée usuelle.

(x; y; z) = (3; 4; 5) + t (2; 6; 3) = (3 + 2t; 4 + 6t; 5 + 3t) Exemple 12.1.1 Trouver une équation vectorielle et des équations paramétriques, symétriques et cartésiennes de la droite passant par le point R(3; 4; 5) et parallèle au vecteur D = (2; 6; 3). Soit P(x ; y; z), un point quelconque de la droite, alors le vecteur RP est parallèle au vecteur directeur. Il existe donc un scalaire t tel que : On obtient donc le système d’équations : Pour trouver des équations symétriques, il faut isoler le paramètre dans chacune des équations et les égaler. On trouve alors les équations symétriques : 6x – 2y – 10 = 0 3y – 6z + 18 = 0 C’est une description cartésienne de la droite. x – 3 2 = z – 5 3 OP = OR + t D = y – 4 6 t = En considérant les vecteurs algébriques dans la base usuelle, on a l’équation vectorielle : On obtient les équations cartésiennes en égalant les rapports deux à deux. S S S S (x; y; z) = (3; 4; 5) + t (2; 6; 3) = (3 + 2t; 4 + 6t; 5 + 3t) x – 3 2 = y – 4 6 Remarque : donne : 6x – 2y – 10 = 0 (plan parallèle à l’axe des z). Les équations paramétriques sont alors : Il n’est pas nécessaire de prendre les deux autres rapports car ils donnent un troisième plan passant par la même droite. y – 4 6 = z – 5 3 x = 3 + 2t y = 4 + 6t z = 5 + 3t donne : 3y – 6z + 18 = 0 (plan parallèle à l’axe des x). ∆ : , où t est un nombre réel.

(x; y; z) = (3; –2; 4) + t (–2; 2; 3) = (3 – 2t; –2 + 2t; 4 + 3t) Exercice Trouver une équation vectorielle et des équations paramétriques, symétriques et cartésiennes de la droite passant par le point R(3; –2; 4) et parallèle au vecteur D = (–2; 2; 3). Soit P(x ; y; z), un point quelconque de la droite, alors le vecteur RP est parallèle au vecteur directeur. Il existe donc un scalaire t tel que : On obtient donc le système d’équations : Pour trouver des équations symétriques, il faut isoler le paramètre dans chacune des équations et les égaler. On trouve alors les équations symétriques : 2x + 2y – 2 = 0 3y – 2z + 14 = 0 C’est une description cartésienne de la droite. x – 3 –2 OP = OR + t D = y + 2 2 = z – 4 3 t = En considérant les vecteurs algébriques dans la base usuelle, on a l’équation vectorielle : On obtient les équations cartésiennes en égalant les rapports deux à deux. S S S S (x; y; z) = (3; –2; 4) + t (–2; 2; 3) = (3 – 2t; –2 + 2t; 4 + 3t) x – 3 –2 = y + 2 2 donne : 2x + 2y – 2 = 0 (plan parallèle à l’axe des z). Les équations paramétriques sont alors : y + 2 2 = z – 4 3 x = 3 – 2t y = –2 + 2t z = 4 + 3t donne : 3y – 2z + 14 = 0 (plan parallèle à l’axe des x). ∆ : , où t est un nombre réel.

Équations paramétriques d’une droite de R3 Un point et un vecteur directeur sont donnés Considérons une droite dont on connaît un point R(x1; y1; z1) et un vecteur direc-teur D = (a; b; c). Soit un point P(x; y; z) de cette droite, alors : OP = OR + RP , d’où : OP = OR + t D, où t est un nombre réel. Cela donne l’équation vectorielle : (x; y; z) = (x1; y1; z1) + t (a; b; c) = (x1 + a t; y1 + b t; z1 + c t), où t est un nombre réel. x = x1 + a t y = y1 + b t z = z1 + c t D’où l’on tire : ∆ : , où t est un nombre réel. Remarque : Les coefficients du paramètre donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite.

Équations vectorielle et paramétriques Définition Équation vectorielle et équations paramétriques Soit R(x1; y1 ; z1), un point d’une droite, et D = (a; b; c), un vecteur directeur de cette droite. On appelle équation vectorielle de la droite l’équation : OP = OR + t D, où t est un nombre réel. En exprimant les vecteurs dans la base usuelle de R3, cela donne : (x; y; z) = (x1; y1 ; z1) + t (a; b; c) = (x1 + a t; y1 + b t ; z1 + c t) , où t est un nombre réel. On appelle équations paramétriques de la droite les équations : x = x1 + a t y = y1 + b t z = z1 + c t ∆ : , où t est un nombre réel. Les coefficients du paramètre donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite.

Équations symétriques d’une droite de R3 Définition Équation symétrique Soit R(x1; y1 ; d1), un point d’une droite, et D = (a; b; c), un vecteur directeur de cette droite. Les équations symétriques de la droite sont : x – x1 a = y – y1 b = z – z1 c , si a ≠ 0, b ≠ 0 et c ≠ 0. Remarque : Dans les équations symétriques de la droite, les dénominateurs donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite.

Équations paramétriques d’une droite de R3 Procédure pour trouver les équations paramétriques d’une droite dont un point R et un vecteur directeur sont connus 1. Construire le vecteur allant du point R à un point P quelconque. 2. Établir l’équation : OP = OR + t D, où t est un nombre réel. 3. Utiliser l’égalité vectorielle pour écrire les équations para-métriques. x = x1 + a t y = y1 + b t z = z1 + c t ∆ : , où t est un nombre réel. Remarque : Lorsque deux points de la droite sont connus, on peut déterminer un vecteur directeur en considérant le vecteur dont l’origine est un de ces points et dont l’extrémité est l’autre point.

Exemple 12.1.2 Trouver une description paramétrique de la droite passant par les points P(1; –2; 4) et R(3; 4; 8). Déterminons le vecteur PR en consi-dérant les vecteurs positions des points P et R. PR = OR – OP = (3; 4; 8) – (1; –2; 4) = (2; 6; 4) Comme vecteur directeur, on peut considérer PR = (2; 6; 4), ou bien D = (1; 3; 2) qui est parallèle à . On peut choisir l’un ou l’autre des points donnés pour écrire les équations. S S Les équations paramétriques sont alors : x = 1 + t y = –2 + 3t z = 4 + 2t ∆ : , où t est un nombre réel.

Exercice Trouver une description paramétrique de la droite passant par les points P(3; –1; 5) et R(2; 4; 1). Déterminons le vecteur PR en considérant les vecteurs positions des points P et R. PR = OR – OP = (2; 4; 1) – (3; –1; 5) = (–1; 5; –4) Le vecteur directeur est : PR = (–1; 5; –4). On peut choisir l’un ou l’autre des points donnés pour écrire les équations. Les équations paramétriques sont alors : x = 3 – t y = –1 + 5t z = 5 – 4t x = 2 –s y = 4 + 5s z = 1 – 4s S S ∆ : ou ∆ : , où s et t sont des nombres réels.

La droite, intersection de plans On peut décrire une droite dans l’espace en donnant les équations de deux plans concourants. Pour connaître un vecteur directeur de la droite, on peut alors effectuer le produit vectoriel des vecteurs normaux à ces plans. Cependant, si on veut connaître un point et un vecteur directeur, il est plus simple de résoudre le système d’équations linéaires formé de ces deux équations. Comme il y a deux équations pour trois inconnues, on a une variable libre que l’on représente par un paramètre pour obtenir les équations paramétriques de la droite d’intersection; on a alors la description en fonction d’un de ses points et d’un vecteur directeur.

{(x; y; z) | x = 1 – t, y = –2 + t, z = t} Exemple 12.1.3 Donner un point et un vecteur directeur de la droite ∆ définie par l’intersection des plans : ∏1 : x – 2y + 3z = 5 et ∏2 : 2x – 3y + 5z = 8 Cet ensemble est formé des points d’une droite que l’on peut également représenter par les équations paramétriques : Résolvons le système formé des deux équations de plans par la méthode de Gauss-Jordan. On obtient alors : 1 –2 3 5 L1 ≈ L2 – 2L1 1 –2 3 5 x = 1 – t y = –2 + t z = t 2 –3 5 8 ∆ : 1 –1 –2 S S L1 + 2L2 ≈ L2 1 On peut conclure que la droite passe par le point R(1; –2; 0) et qu’elle est parallèle au vecteur = (–1; 1; 1). D 1 –1 –2 On a donc une variable libre et, en posant z = t, on obtient que l’ensemble-solution est : {(x; y; z) | x = 1 – t, y = –2 + t, z = t}

Exercice L1 ≈ L2 – 3L1 ∆ : S S L1 – 3L2 ≈ L2 Donner un point et un vecteur directeur de la droite ∆ définie par l’intersection des plans : ∏1 : x + 3y – 12z – 28 = 0 et ∏2 : 3x + 10y – 41z – 92 = 0 Résolvons le système formé des deux équations de plans par la méthode de Gauss-Jordan. On obtient alors : Cet ensemble est formé des points d’une droite que l’on peut également représenter par les équations paramétriques : 1 3 –12 28 L1 ≈ L2 – 3L1 1 3 –12 28 x = 4 – 3t y = 8 + 5t z = t 3 10 –41 92 ∆ : 1 –5 8 S S L1 – 3L2 ≈ L2 1 3 4 On peut conclure que la droite passe par le point R(4; 8; 0) et qu’elle est parallèle au vecteur = (–3; 5; 1). D 1 –5 8 On a donc une variable libre et, en posant z = t, on obtient que l’ensemble-solution est : {(x; y; z) | x = 4 – 3t, y = 8 + 5t, z = t}

Positions relatives de droites dans R3 Droites parallèles Caractéristique des droites parallèles Les vecteurs directeurs sont parallèles : $ k Î R tel que D1 = k D2 Caractéristiques des droites parallèles distinctes Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur l’une des droites, il ne peut être sur l’autre droite : si P Î ∆1, alors P Ï ∆2 Il n’y a aucun point d’intersection. Caractéristiques des droites parallèles confondues Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur l’une des droites, il est sur l’autre droite : si P Î ∆1, alors P Î ∆2 Les droites ont une infinité de points d’intersection.

Positions relatives de droites dans R3 Droites non parallèles Caractéristique des droites non parallèles Les vecteurs directeurs ne sont pas parallèles : " k Î R, D1 ≠ k D2 Caractéristique des droites concourantes Les droites ont un et un seul point d’intersection. Caractéristiques des droites gauches Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur l’une des droites, il ne peut être sur l’autre droite : si P Î ∆1, alors P Ï ∆2 Les droites n’ont aucun point d’inter-section.

Exemple 12.1.4 a Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant. x = 8 + 6t y = 12 – 4t z = 7 + 2t et ∆2 : = x – 2 3 y + 4 –2 z – 5 1 ∆1 : Les vecteurs directeurs sont : = (3; –2; 1) et D1 = (6; –4; 2). D2 Ils sont parallèles, puisque : 2 D1 = D2. Les droites sont donc parallèles et, si elles ont un point commun, elles sont confondues. Vérifions si elles ont un point commun. S S En posant t = 0 dans les équations de ∆2, on a le point P(8; 12; 7). En substituant ces coordonnées dans les équations de ∆1. On obtient : 8 – 2 3 = 12 + 4 –2 = 7 – 5 1 Cette double égalité est fausse. Par conséquent, les droites sont parallèles distinctes.

Exemple 12.1.4 b Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant. x = 5 – t y = –2 + 2t z = –2 – 3t et ∆2 : = x – 2 3 y + 4 –2 z – 5 1 ∆1 : En substituant t = –3 dans les équations de ∆2, on trouve : Les vecteurs directeurs sont : = (3; –2; 1) et D1 = (–1; 2; –3). D2 Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout, k D1 ≠ D2. Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Vérifions si elles ont un point commun. x = 5 – (–3) = 8 y = –2 + 2(–3) = –8 z = –2 – 3(–3) = 7 S S S En substituant les équations de ∆2 dans celles de ∆1, on obtient : (5 – t) – 2 3 = (–2 + 2t) + 4 –2 3 – t 3 = 2 + 2t –2 = (–2 – 3t) – 5 1 = –7 – 3t 1 , d’où : Les droites se rencontrent au point (8;–8; 7). En considérant les deux premiers rapports et en isolant t, on obtient : t = –3 On obtient la même valeur en considérant deux autres rapports.

Exemple 12.1.4 c L1 L1 ≈ ≈ 2L2 + L1 L2 /(–3) L3 + 2L1 3L3 – L2 S S S S Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant. x = 3 – 2s y = –4 + s z = –3 + 4s x = 5 – t y = –2 + 2t z = –2 + 3t ∆1 : et ∆2 : Les vecteurs directeurs sont : D1 = (–2; 1; 4) et D2 = (–1; 2; 3). Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout scalaire k , k D1 ≠ D2. En représentant par une matrice et en échelonnant, on obtient : –2 1 2 –2 1 2 L1 –2 1 2 L1 Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Pour le savoir, vérifions si elles ont un point commun. 1 –2 2 ≈ ≈ 2L2 + L1 –3 6 L2 /(–3) 1 –2 4 –3 2 L3 + 2L1 –1 5 3L3 – L2 9 En comparant les équations paramétriques, on a : S S S S 3 – 2s = 5 – t –4 + s = –2 + 2t –3 + 4s = –2 + 3t –2s + t = 2 s – 2t = 2 4s – 3t = 1 Le système n’a pas de solution, ce qui signifie que les droites n’ont pas de point de rencontre. Puisque les droites ne sont ni parallèles ni concourantes, ce sont donc des droites gauches. , d’où : On doit déterminer si ce système d’équations admet une solution.

Exercice L1 L1 ≈ ≈ L2 – 2L1 L2 /(–11) 2L3 + 3L1 L3 /5 L1 – 3L2 S S S S Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point d’intersection, le cas échéant. x = 7 + 2s y = 6 + 4s z = –1 – 3s x = 12 – 3t y = –17 + 5t z = –1 + 2t ∆1 : et ∆2 : En représentant par une matrice et en échelonnant, on obtient : Les vecteurs directeurs sont : D1 = (2; 4; –3) et D2 = (–3; 5; 2). Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout k scalaire, k D1 ≠ D2. 2 3 5 L1 2 3 5 L1 2 3 5 4 –5 –23 ≈ ≈ L2 – 2L1 –11 –33 L2 /(–11) 1 3 Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Pour le savoir, vérifions si elles ont un point commun. –3 –2 2L3 + 3L1 5 15 L3 /5 1 3 On trouve s = – 2 et t = 3. En substituant ces valeurs dans les équations paramétriques de ∆1 et de ∆2, on trouve (3; –2; 5). C’est le point de rencontre des deux droites. En comparant les équations paramétriques, on a : L1 – 3L2 2 –4 S S S S ≈ L2 1 3 2s + 3t = 5 4s – 5t = –23 –3s – 2t = 0 7 + 2s = 12 – 3t 6 + 4s = –17 + 5t –1 – 3s = –1 + 2t , d’où : L3 – L2 On doit déterminer si ce système d’équations admet une solution.

Positions relatives d’une droite et d’un plan Droite et plan parallèles Caractéristiques Le vecteur normal au plan est perpendicu-laire au vecteur directeur de la droite : N∏ • D∆ = 0 Droite contenue dans le plan Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur la droite, il est également dans le plan : si P Î ∆, alors P Î ∏ Droite non contenue dans le plan Lorsqu’un point P(x1; y1; z1) est sur la droite, il n’est pas dans le plan : si P Î ∆, alors P Ï ∏

Positions relatives d’une droite et d’un plan Droite et plan concourants Caractéristiques Le vecteur normal du plan n’est pas perpendiculaire au vecteur directeur de la droite : N∏ • D∆ ≠ 0 Il existe un seul point commun à la droite et au plan : Il existe un et un seul point P tel que : P Î ∆ et P Î ∏

Exemple 12.1.5 Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection. x = 2 – 3t y = –5 + 7t z = –3 – 2t ∏ : 2x + 3y + 4z + 9 = 0 et ∆ : Trouvons le point de rencontre. En substituant les équations de ∆ dans celle de ∏, on obtient : Le vecteur directeur de ∆ est : D∆ = (–3; 7; –2). Le vecteur normal à ∏ est : N∏ = (2; 3; 4). 2(2 – 3t) + 3(–5 + 7t) + 4(–3 – 2t) + 9 = 0 4 – 6t – 15 + 21t – 12 – 8t + 9 = 0 7t – 14 = 0 t = 2 Le produit scalaire donne : S S S D∆ • N∏ = (–3; 7; –2) • (2; 3; 4) = –6 + 21 – 8 = 7 ≠ 0. Le point de rencontre est obtenu en posant t = 2 dans les équations de ∆. Cela donne : Le produit scalaire est non nul, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et la droite et le plan sont concourants. La droite et le plan se rencontrent au point (–4; 9; –7). x = 2 – 3 ´2 = –4 y = –5 + 7 ´2 = 9 z = –3 – 2 ´2 = –7

Exercice Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection. x = 10 + 2t y = –2 – 3t z = –7 – 4t ∏ : x – 2y + 5z – 15 = 0 et ∆ : Le vecteur directeur de ∆ est : Trouvons le point de rencontre. En substituant les équations de ∆ dans celle de ∏, on obtient : D∆ = (2; –3; –4). Le vecteur normal à ∏ est : N∏ = (1; –2; 5). (10 + 2t) – 2( –2 – 3t) + 5(–7 – 4t) – 15 = 0 10 + 2t + 4 + 6t – 35 – 20t – 15 = 0 –12t – 36 = 0 t = –3 Le produit scalaire donne : S S S D∆ • N∏ = (2; –3; –4) • (1; –2; 5) = 2 + 6 – 20 = 12 ≠ 0. Le produit scalaire est non nul, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et la droite et le plan sont concourants. Le point de rencontre est obtenu en posant t = 2 dans les équations de ∆. Cela donne : La droite et le plan se rencontrent au point (4; 7; 5). x = 10 + 2 ´(–3) = 4 y = –2 – 3 ´(–3) = 7 z = –7 – 4 ´(–3) = 5

Exemple 112.1.6 L1 ≈ 2L2 – L1 S S L3 – 2L1 L1 ≈ L2 7L3 + 5L2 Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection. ∏ : 2x – 3y + 4z – 32 = 0 et ∆ : x – 5y + 3z – 28 = 0 et 4x – y – 3z + 1 = 0. Les vecteurs perpendicu-laires à ∆ sont : Le vecteur normal à ∏ est : N∏ = (2; –3; 4). Trouvons le point de rencontre. En échelonnant la matrice du système formé de ces trois équations, on obtient : N∆1 = (1; –5; 3) et N∆2 = (4; –1; –3). Le produit mixte de ces vecteurs donne : 2 –3 4 32 L1 2 –3 4 32 2 –3 4 1 –5 3 28 ≈ 2L2 – L1 –7 2 24 S S = 2 ´(15 + 3) – (–3)´(–3 – 12) + 4 ´(–1 + 20) 1 –5 3 4 –1 –3 –1 L3 – 2L1 5 –11 –65 4 –1 –3 L1 2 = 36 – 45 + 76 = 67 ≠ 0. –3 4 32 La dernière ligne donne z = 5 et par substitution, on trouve y = –2 et x = 3. ≈ L2 –7 2 24 Le produit mixte est non nul, la droite et le plan sont concourants. 7L3 + 5L2 –67 –335 La droite et le plan se rencontrent au point (3; –2; 5).

Exercice L1 ≈ L2 – 2L1 L1 – 2L3 S S 2L3 – L1 = L2 – 4L3 L1 L3 ≈ L2 Déterminer si la droite ∆ et le plan ∏ sont parallèles ou concourants. S’ils sont concourants, trouver leur point d’intersection. ∏ : 2x + y – 3z + 16 = 0 et ∆ : 4x + 5y – 2z + 19 = 0 et x + 3y + 2z – 4 = 0. Les vecteurs perpendicu-laires à ∆ sont : Le vecteur normal à ∏ est : Trouvons le point de rencontre. En échelonnant la matrice du système formé de ces trois équations, on obtient : N∏ = (2; 1; –3). N∆1 = (4; 5; –2) et N∆2 = (1; 3; 2). 2 1 –3 –16 L1 2 1 –3 –16 Le produit mixte de ces vecteurs donne : 4 5 –2 –19 ≈ L2 – 2L1 3 4 13 2 1 –3 L1 – 2L3 –5 –7 S S 1 3 2 4 2L3 – L1 5 7 24 4 5 –2 = L2 – 4L3 –7 –10 L1 2 1 –3 –16 La dernière ligne donne z = 7 et par substitution, on trouve y = –5 et x = 5. 1 3 2 L3 1 3 2 ≈ L2 3 4 13 –5 –7 = 1 ´ 3L3 – 5L2 = 50 – 49 = 1 ≠ 0. 1 7 –7 –10 La droite et le plan se rencontrent au point (5; –5; 7). Le produit mixte est non nul, la droite et le plan sont concourants.

Conclusion On peut caractériser une droite de R3 en donnant un point de celle-ci et un vecteur directeur. Cela est suffisant pour déterminer une description de la droite par des équations. À partir des équations d’une droite, on peut facilement déterminer un vecteur directeur et un point de celle-ci. Ces informations permettent de déterminer les positions relatives de deux droites et les positions relatives d’une droite et d’un plan. On ne peut caractériser une droite par un vecteur perpendiculaire, car il y a une infinité de vecteurs perpendiculaires à une droite. C’est pourquoi il faut deux équations de plans pour déterminer une droite dans l’espace. Cependant, à partir de deux vecteurs perpendiculaires, on peut déterminer un vecteur directeur en effectuant un produit vectoriel.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 12.1, p.333-342. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 10.3, p. 260-269. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 12.2, p. 342-344. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 10.2, p.269-272.