Une brève introduction au CHAOS

Les deux séries de données suivantes se ressemblent beaucoup sur la moyenne l’aspect irrégulier le spectre d’intensité

Données 1 Hasard x(n) = RND (random)

CHAOS Déterministe x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)] Données 2

etc.

Données 1 générées par le Hasard x(n) = RND (random)

CHAOS déterministe Données 2 x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)] générées par un CHAOS déterministe x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)] Données 2 x(n+1) x(n)

CHAOS Définition on prédit cette valeur Déterministe avec ces valeurs

x(n+1) = f(x(n), x(n-1), x(n-2)) CHAOS Définition Petit nombre de Variables x(n+1) = f(x(n), x(n-1), x(n-2))

CHAOS Définition Résultat Complexe

CHAOS Propriétés Espace des phases de basse dimension d , hasard d = 1, chaos espace des phases

CHAOS Propriétés Sensibilité aux conditions initiales Valeurs initiales très proches Valeurs finales très différentes

CHAOS Propriétés Bifurcations Petit changement pour un paramètre Un pattern Un pattern différent

Séries temporelles X(t) Y(t) Z(t) “enchassées”

Espace des phases Z(t) Y(t) X(t)

Attracteurs dans l’espace des phases Equation logistique X(n+1) = 3,95 X(n) [1-X(n)] X(n+1) X(n)

Attracteurs dans l’espace des phases Z(t) Equations de Lorenz Y(t) X(t)

à la dimension fractale d de l’attracteur Le nombre de variables indépendantes est la valeur entière juste supérieure à la dimension fractale d de l’attracteur Equation logistique espace des phases Séries fonction du temps d<1 X(n+1) X(n) Ici d < 1, donc l’équation des séries f(t) qui ont généré cet attracteur depend d’1 variable indépendante.

à la dimension fractale d de l’attracteur Le nombre de variables indépendantes est le nombre entier juste supérieur à la dimension fractale d de l’attracteur Equations de Lorenz séries f(t) espace des phases d =2.03 Z(t) X(n+1) n X(t) Y(t) Ici d = 2.03, donc l’équation des séries f(t) qui ont généré cet attracteur depend de 3 variables indépendantes. .

Données 1 Séries temporelles Espace des phases avec attracteur dont la dimension fractale tend vers l’infini Quand , Les séries temporelles ont été générées par un mécanisme aléatoire. d

Données 2 séries temporelles espace des phases d = 1 Quand d = 1 , les séries ont été générées par un mécanisme déterministe.

Construit par des mesures directes: Espace des phases Construit par des mesures directes: Mesures X(t), Y(t), Z(t) Z(t) Chaque point dans l’espace des phases a des coordonnées X(t), Y(t), Z(t) X(t) Y(t)

Construit à partir d’une seule variable Espace des phases Construit à partir d’une seule variable X(t+2 t) Théorème de Takens Takens 1981 In Dynamical Systems and Turbulence Ed. Rand & Young, Springer-Verlag, pp. 366 - 381 chaque point dans l’espace des phases a des coordonnées X(t), X(t + t), X(t+2 t) X(t) X(t+ t)

Teich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ;265 - 279 Position et vitesse de déplacement de la membrane d’une cellule ciliée de l’oreille interne Teich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ;265 - 279 10-1 stimulus = 171 Hz vitesse (cm/sec) -10-1 -10-4 déplacement (cm) 3 x 10-5 Rappel physiologique : http://www.med.univ-tours.fr/enseign/orl/Otol/aud/phyoi3/phyoi3.html

Teich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ;265 - 279 Position et vitesse de déplacement de la membrane d’une cellule ciliée de l’oreille interne Teich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ;265 - 279 3 x 10-2 stimulus = 610 Hz vitesse (cm/sec) -3 x 10-2 déplacement (cm) -2 x 10-5 5 x 10-6

Cellules myocardiques de poussin micro-électrode Glass, Guevara, Bélair & Shrier. 1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357 v source électrique voltmètre cellule cardiaque de poussin

Cellules myocardiques de poussin pas de stlimulation externe Battement spontané, pas de stlimulation externe voltage temps

Stimulées périodiquement Cellules myocardiques de poussin Stimulées périodiquement 2 stimulations - 1 battement 2:1

Stimulées périodiquement Cellules myocardiques de poussin Stimulées périodiquement 1 stimulation - 1 battement 1:1

Stimulées périodiquement Cellules myocardiques de poussin Stimulées périodiquement 2 stimulations - 3 battements 2:3

Le Pattern de battement des cellules myocardiques de poussin Glass, Guevara, Bélair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357 Stimulation périodique - réponse chaotique

Tant que la courbe dans l’espace des phases est de dimension 1, Le Pattern de battement des cellules myocardiques de poussin Glass, Guevara, Belair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357 Tant que la courbe dans l’espace des phases est de dimension 1, la synchronisation entre les battements de ces cellules peut être décrite par une relation déterministe.

Procédure Séries temporelles Par ex. le voltage en fonction du temps Représenter les séries temporelles en un objet géométrique. Cette opération s’appelle “enchassement” (embedding)

Procédure sa dimension fractale Déterminer les propriétés topologiques de cet objet et particulièrement, sa dimension fractale Dimension fractale élevée = hasard Dimension fractale basse = Chaos déterministe

Dimension fractale d: combien de nouveaux détails de la série temporelle apparaissent quand ils sont observés à une échelle de résolution temporelle plus fine. X temps

Dimension fractale: La dimension d de l’attracteur dans l’espace des phases est corrélé au nombre de variables indépendantes x(t+2 t) d X x(t) x(t+ t) temps

Mécanisme qui génère les données Chance d(espace des phases) Données ? x(t) Déterminisme d(espace des phases) = faible t

Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20:13-141 Air Chaud (Rayleigh, Saltzman) Modéle Air froid Air Chaud

Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20:13-141 Equations

Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20:13-141 Equations X = vitesse de la circulation convective X > 0 sens horaire, X < 0 sens anti-horaire Y = différence de température entre les flux montants et descendants

Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20:13-141 Equations Z = température du bas vers le haut moins le gradient linéaire

Lorenz 1963 J. Atmos. Sci. 20:13-141 Espace des phases Z X Y

Attracteur de Lorenz Cylindre d’air tournant dans le sens anti-horaire cylindre d‘air tournant dans le sens horaire X < 0 X > 0

Déterministe non-chaotique X(n+1) = f {X(n)} Précision des valeurs calculées pour X(n): 1,736 2,345 3,254 5,455 4,876 4,234 3,212

Déterministe chaotique X(n+1) = f {X(n)} Précision des valeurs calculées pour X(n): 3,455 3.,45? 3,4?? 3.??? ? ? ?

Conditions initiales X(t0), Y(t0), Z(t0)... Univers “horlogerie” détermimiste non-chaotique (paradigme Newtonien) Conditions initiales X(t0), Y(t0), Z(t0)... Calcul possible de toutes les valeurs futures X(t), Y(t), Z(t)... Equations

Conditions initiales X(t0), Y(t0), Z(t0)... Univers Chaotique détermimiste chaotique Conditions initiales X(t0), Y(t0), Z(t0)... sensibilité aux conditions initiales Impossibilité de calculer à long terme X(t), Y(t), Z(t)... Equations

Attracteur Etrange de Lorenz En partant de loin: Les trajectoires venant du dehors sont attirées VERS lui d’où son nom d’attracteur!

Attracteur Etrange de Lorenz En partant dedans: Des trajectoires proches sur l’attracteur sont poussées vers la séparation l’une de l’autre: BIFURCATION (sensitibilité aux conditions initiales)

L’attracteur “Etrange” est fractal espace des phases ordinaire étrange

“Chaotique” sensibilité aux conditions initiales Séries temporelles X(t) X(t) t t non chaotique chaotique

“Shadowing Theorem” Si les erreurs à chaque étape d’intégration sont petites, il existe une trajectoire EXACTE qui arrive à une petite distance de la trajectoire erronée que nous avons calculée

Shadowing Theorem Il existe un nombre INFINI de trajectoires dans un attracteur. Quand nous sortons de l’attracteur, nous sommes aspirés vers l’arrière à une vitesse exponentielle. Nous sommes sur une trajectoire exacte, pas juste sur celle où nous croyons être.

4. Nous sommes sur une trajectoire “réelle” 3. puis nous sommes attirés vers l’attracteur 2. L’erreur nous fait sortir de l’attracteur 1. Nous démarrons ici Trajectoire que nous essayons de calculer Trajectoire que nous calculons en réalité

La sensibilité aux conditions initiales signifie que les conditions de l’expérience peuvent être très semblables, mais que les résultats peuvent être assez différents.

Mardi 10 µl ArT +

Vendredi 10 µl ArT +

X(n + 1) = A X(n) [1 -X (n)] A = 3,22 X(n) n

X(n + 1) = A X(n) [1 -X (n)] A = 3,42 X(n) n

Bifurcation A = 3,62 X(n) n

Des changements soudains dans le pattern indiquent la présence de bifurcations x(n) x(n)

Transitions de phase Faites battre l’index gauche Haken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press Faites battre l’index gauche au rythme (en phase) avec le métronome. Essayez de faire battre l’index droit hors du rythme du métronome.

Transitions de phase Haken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press Pendant que la fréquence du métronome augmente, l’index droit passe d’une oscillation hors-phase (décalé / métronome) à une oscillation en phase.

Position de l’index droit Position de l’index gauche Transitions de phase Haken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press A. Séries temporelles ABD ADD Position de l’index droit Position de l’index gauche

Transitions de phase auto-organisées Haken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press B. Évaluation du point de phase relative 360o 180o 2 sec 0o Position de l’index droit

De petits changements dans les paramètres peuvent produire de gros changements dans le comportement. 10cc ArT + 9cc ArT +

Les bifurcations peuvent servir à tester si le système est déterministe Modèle mathématique déterministe Expérience Bifurcations prédites Bifurcations observées correspondance ?

La dimension fractale de l’espace des phases nous dit si les données étaient générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe. Données expérimentales x(t) t

La dimension fractale de l’espace des phases nous dit si les données étaient générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe. Espace des phases X(t+ t) X(t)

La dimension fractale de l’espace des phases nous dit si les données étaient générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe. d = bas d Déterministe Hasard Mécanisme qui a généré les données expérimentales

Schaffer and Kot 1986 Chaos ed. Holden, Epidémies Schaffer and Kot 1986 Chaos ed. Holden, Princeton Univ. Press New York varicelle rougeole 15000 4000 Séries temporelles: Espace des phases:

Epidémies Kobenhavn 3,1 3,4 Milwaukee 2,6 3,2 St. Louis 2,2 2,7 Olsen and Schaffer 1990 Science 249:499-504 dimension de l’attracteur dans l’espace des phases rougeole varicelle Kobenhavn 3,1 3,4 Milwaukee 2,6 3,2 St. Louis 2,2 2,7 New York 2,7 3,3

Olsen and Schaffer 1990 Science 249:499-504 Epidémies Olsen and Schaffer 1990 Science 249:499-504 Modèles SEIR: 4 variables indépendantes S susceptible = prédisposé E exposé, mais pas encore infecté I infecté R recovered = convalescent

Olsen and Schaffer 1990 Science 249:499-504 Epidémies Olsen and Schaffer 1990 Science 249:499-504 Conclusion: rougeole: chaotique varicelle: quasi – cyclique annuel

Electrocardiogramme: enregistrement électrique de l’activité musculaire cardiaque Séries temporelles: voltage Kaplan and Cohen 1990 Circ. Res. 67:886-892 Fibrillation ventriculaire mort normal Espace des phases V(t), V(t+ t) 8 D = 1 chaos D = hasard

Electrocardiogramme: enregistrement électrique de l’activité musculaire cardiaque normal Séries temporelles: voltage Babloyantz and Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58:203-211 D = 6 chaos

Electrocardiogramme: enregistrement électrique de l’activité musculaire cardiaque Séries temporelles: intervalle de temps entre les battements cardiaques Babloyantz and Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58:203-211 normal D = 6 chaos FV mort Evans, Khan, Garfinkel, Kass, Albano, and Diamond 1989 Circ. Suppl. 80:II-134 D = 4 chaos arythmies induites Zbilut, Mayer-Kress, Sobotka, O’Toole and Thomas 1989 Biol. Cybern, 61:371-381 D = 3 chaos

Electroencephalogramme: enregistrement électrique de l’activité cérébrale Mayer-Kress and Layne 1987 Ann. N.Y. Acad. Sci. 504:62-78 Espace des phases: séries temporelles: V(t) V(t) V(t+ t) D=8 chaos

Electroencephalogramme: enregistrement électrique de l’activité cérébrale Différents groupes de chercheurs trouvent différentes dimensions en appliquant les mêmes conditions expérimentales

Electroencephalogramme: enregistrement électrique de l’activité cérébrale Peut-être que… tâche mentale Éveil calme, paupières fermées Sommeil virus: Creutzfeld -Jakob Epilepsie: petit mal Méditation, Qi-kong dimension élevée dasse dimension

Ecroulement du pont de Tacoma Le 7 novembre 1940, le pont suspendu de Tacoma entre en oscillation sous l'action du vent. L'amplitude de torsion devient excessive et le pont s'écroule. C’est l’effet de résonnance qui a détruit le pont. Pour la même raison, une troupe de soldats doit rompre le pas (se désynchroniser, revenir à une marche chaotique) au passage d’un pont.

Analyse des données expérimentales La bonne nouvelle: En principe, vous pouvez savoir si les données ont été générées par un mécanisme aléatoire ou déterministe

Analyse des données expérimentales La mauvaise nouvelle: En pratique, ce n’est pas facile.

Organisation des Vecteurs dans l’espace des phases Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett. 68:427-430 Hasard Pas de flux uniforme petite direction moyenne

Organisation des Vecteurs dans l’espace des phases Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett. 68:427-430 Déterministe Flux uniforme grande direction moyenne

Expérience FAIBLE Séries temporelles Espace des phases Dimension basse = déterministe élevée = hasard exemples: ECG, EEG

Expérience FORTE Faire varier un paramètre Voir le comportement prédit par un modèle non-linéaire exemples: stimulation électrique de cellules, réactions biochimiques

Contrôle des systèmes biologiques L’ancienne manière d’agir Un contrôle par la force brute GROSSE machine GROSSE puissance Ampères coeur

Contrôle des systèmes biologiques Nouvelle manière d’agir: de délicates impulsions astucieusement rythmées petite machine petite puissance mA coeur

Comment concevons-nous les systèmes biologiques ? Ancienne façon de voir les choses: Des forces pilotent le système entre des états stables

Comment concevons-nous les systèmes biologiques ? état stable A état stable C Force D Force E état stable B

Nouvelle façon de voir: Comment concevons-nous les systèmes biologiques ? Nouvelle façon de voir: Se maintenir un bon moment dans une condition pousse le système dans une autre condition.

Comment concevons-nous les systèmes biologiques ? état instable A état instable C Dynamique de A Dynamique de B état instable B

PEU DE VARIABLES INDEPENDANTES Le Chaos en résumé PEU DE VARIABLES INDEPENDANTES Mais le comportement est si complexe qu’il mime un comportement aléatoire.

Le Chaos en résumé SYSTEME DYNAMIQUE xi (t+ t) = f (xi (t)) DETERMINISTE Les valeurs des variables à l’instant suivant peuvent être calculées à partir de leurs valeurs à l’instant précédent. xi (t+ t) = f (xi (t))

SENSIBILITE AUX CONDITIONS INITIALES NON PREDICTIBLE A LONG TERME Le Chaos en résumé SENSIBILITE AUX CONDITIONS INITIALES NON PREDICTIBLE A LONG TERME x1(t+ t) - x2(t+ t) = Ae t

L’espace des phases est de basse dimension Le Chaos en résumé ATTRACTEUR ETRANGE L’espace des phases est de basse dimension (souvent fractale).