TRIANGLE RECTANGLE et CERCLE Chapitre 05-FI TRIANGLE RECTANGLE et CERCLE I – LES 2 PROPRIETES II – THEOREME DE LA MEDIANE III- DISTANCE IV – TANGENTE Bernard Izard 6° Avon 2010

I-LES 2 PROPRIETES

Propriété 1 Si un triangle est inscrit dans un cercle avec l’un de ses côtés comme diamètre, alors ce triangle est rectangle. Et ce côté est l’hypoténuse A B C O Un des côtés est un diamètre du cercle

A,B,C sur le cercle [BC] diamètre O centre du cercle Démo A,B,C sur le cercle [BC] diamètre O centre du cercle Hypothèses B A C O Soit A’ le symétrique de A par rapport à O. A’ est sur le cercle car OA=OA’= Diamètre // // O est donc le milieu de [AA’] De plus O milieu du diamètre [BC] AA’ = BC = Diamètre A’ Le quadrilatère ABA’C est un Rectangle car ses 2 diagonales [AA’] et [BC] ont la même longueur et le même milieu O BÂC est donc un angle droit et ABC triangle rectangle

Propriété 2 (La réciproque) Si un triangle est rectangle alors il s’inscrit dans un cercle ayant l’hypoténuse comme diamètre Variante Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse. Nous admettons cette réciproque

II-THEOREME de la MEDIANE Rappel: La médiane est la droite issue d’un sommet qui coupe le sommet opposé en son milieu Attention: suivant le cas on désigne par médiane la droite, le segment médiane ou la longueur de ce segment Propriété 1 La médiane issue du sommet de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse

Démo. ABC triangle rectangle en A M milieu de [BC] [AM] Médiane Hypothèses A // Soit C le cercle circonscrit. Son centre est O et son diamètre est [BC] . Voir propriété 2 MA = longueur du rayon = BC/2 B B M Conséquence : Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est équidistant des trois sommets.

Propriété 2 (réciproque) Si dans un triangle la médiane issue d’un sommet mesure la moitié du côté opposé, alors ce triangle est rectangle et ce côté est l’hypoténuse

III-DISTANCE H A Distance de A à l’objet = AH La distance d’un point à un objet est le plus court chemin H A Distance de A à l’objet = AH Cherchons la distance d’un point à une droite Quel est ce plus court chemin ?

Toute perpendiculaire est plus courte que toute oblique 2 Soit A’ le symétrique de A par rapport à la droite (d) (d) A A’ D’après l’inégalité triangulaire A’A < A’B + BA C H A’A < A’B + BA Divisons tout par 2 B 2 2 AH < 2 x AB Toute perpendiculaire est plus courte que toute oblique 2 AH < AB Le point H (appelé parfois pied de la perpendiculaire) est le point de la droite (d ) qui est le plus près  de A. La distance AH est la distance du point A à la droite (d)

IV-TANGENTE A UN CERCLE La Tangente est une droite qui « touche » le cercle en un point et un seul. (C ) M x O A OM < OA car A est à l’extérieur du cercle [OM] est donc le plus court chemin. Mais nous savons que ce plus court chemin est la perpendiculaire donc.. Le rayon qui aboutit au point de tangence est perpendiculaire à cette tangente Ce qui donne une nouvelle définition de la tangente

Construire une tangente au cercle passant par A. La tangente à un cercle est la droite perpendiculaire en un point du cercle à un rayon Ex: Construire une tangente au cercle passant par A. A B 1-Construire le cercle de diamètre [OA] 2- Il coupe le 1° cercle en B et C O 3-Tracer la tangente (AB) C C’est bien la tangente car elle est perpendiculaire en B au rayon du cercle. ABO triangle inscrit dans un cercle dont un de ses côtés (AO] est le diamètre Remarque: Il y 2 possibilités car on peut tracer (AC)

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