CHAPITRE 8 Géométrie analytique

Objectifs: Lire les coordonnées d’un vecteur sur un graphique. Représenter un vecteur dont on connaît les coordonnées. Calculer les coordonnées d’un vecteur. Savoir calculer les coordonnées du milieu d’un segment. Savoir calculer la longueur d’un segment dans un repère orthonormé. aaaaaa

Introduction sur les repères du plan Il existe trois types de repère (O, I, J) J 1 1 J J 1 I I I O O O 1 1 1 Repère quelconque Repère orthogonal Repère orthonormé Dans ce chapitre, nous travaillerons dans un repère orthonormé (O, I, J).

I. Coordonnées d’un vecteur 1) Formule de calcul si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J), alors le vecteur AB a pour coordonnées: ( xB - xA ; yB – yA ). B Remarque: on note yB AB ( xB - xA ; yB – yA ) AB A yA J O xA xB I

Cliquez sur l’icône pour voir l’animation Exemple : Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on donne A(-3 ; 2) et B(6 ; 7). Calculer les coordonnées de AB . Cliquez sur l’icône pour voir l’animation On a AB ( 6-(-3) ; 7-2 ) donc AB ( 9 ; 5 )

2) Lecture graphique AB ( déplacement horizontal de A à B ; déplacement vertical de A à B) Exemple : Dans l’exemple précédent le déplacement horizontal de A vers B est de 9 unités vers la droite :donc l’abscisse du vecteur AB est +9 +5 +9 le déplacement vertical de A vers B est de 5 unités vers le haut : donc l’ordonnée du vecteur AB est +5

3) Propriété Si deux vecteurs sont égaux, alors leurs coordonnées sont égales. Remarque: La réciproque est vraie. Exemple : Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on donne u (3 ; 2) et A(4 ; 7). Calculer les coordonnées de B tel que u = AB. On a AB( xB - 4 ; yB – 7 ) Or u ( 3 ; 2 ) et u = AB Donc soit encore Donc B( 7 ; 9 ) On peut le vérifier graphiquement!

II. Coordonnées du milieu d’un segment si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J), alors le milieu M de [AB] a pour coordonnées : xA+ xB yA + yB ( ) ; 2 2 B yB Remarque: on note M yA+ yB 2 A xA+ xB  yA+ yB ( ) yA M ; 2 2 J O xA xA+ xB xB I 2

Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on donne A(3 ; 5) et B(-1 ; -1) . Calculer les coordonnées du milieu M de [AB]. Exemple: Les coordonnées du milieu M du segment [AB] sont : On peut vérifier ce résultat graphiquement. d’où M(1 ; 2)

III. Distance entre deux points si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J), alors la longueur AB se calcule avec la formule suivante: AB = √( xB - xA)²+ ( yB – yA )² B yB Remarque: on peut facilement démontrer cette formule avec le théorème de Pythagore dans le triangle dessiné ci-contre. AB A yA J O xA xB I

Cliquez sur l’icône pour voir l’animation Exemple : Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on donne A(-3 ; 2) et B(5 ; -2). Calculer la distance AB. Cliquez sur l’icône pour voir l’animation