CHAPITRE 10 Angles et Rotations

Objectifs: Calculer un angle en utilisant la propriété de l’angle inscrit et de l’angle au centre interceptant le même arc. - Reconnaître une rotation. Construire l’image par une rotation donnée, d’un point, d’un cercle, d’une droite et de figures complexes. Construire un polygone régulier connaissant son centre et un sommet. aaaaaa

Angles inscrits- angles au centre 1) Introduction et définitions est un angle au centre. , et sont des angles inscrits. C’est un angle dont le sommet est le centre du cercle. C’est un angle dont le sommet est sur le cercle.

2) Propriétés En mesurant les angles, on constate que : mesurent 46° et mesure 92° Propriété 1 La mesure d’un angle au centre est le double de celle de l’angle inscrit qui intercepte le même arc. Propriété 2 Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.

II. Rotations 1) Introduction et définitions Une mouche se pose sur l’aiguille des minutes d’une horloge. 1ère situation : Il est midi, la mouche se trouve sur l’extrémité de l’aiguille en M. 12 11 1 M 20 minutes plus tard, la mouche se trouve en M’ tel que : OM’ = OM et MÔM’ = 120° 10 2 N ’ 120° O 9 3 2ème situation : Il est 5h, la mouche s’est déplacée sur l’aiguille des heures en N . 120° M’ 8 4 N 4 heures plus tard, la mouche se trouve en N’ tel que : ON’ = ON et NÔN’ = 120° La mouche a subi deux fois le même déplacement : la rotation de centre O et d’angle 120° (= 4h ou = 20 min) 7 5 6

° Définition On dit que M’ est l’image de M par la rotation de centre O et d’angle ° lorsque OM’ = OM et MÔM' = °. Le sens de rotation est indiqué par la flèche. M Sens de rotation ° O M’ Remarques : - Une rotation est donc définie par son centre, son angle et un sens donné. - Une symétrie centrale de centre O est aussi une rotation de centre O et d’angle 180°.

Cliquez sur l’icône pour voir l’animation 2) Exemples de construction Construire l'image [A'B'] du segment[AB] par la rotation de centre O et d'angle 75° dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre). Cliquez sur l’icône pour voir l’animation

Cliquez sur l’icône pour voir l’animation Construire l'image de ce cercle de centre A par la rotation de centre O et d'angle 75° dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre). Cliquez sur l’icône pour voir l’animation

3) Propriétés de conservation L’image d’une figure par une rotation est superposable à la figure de départ. Propriétés La rotation conserve les longueurs, l’alignement, les milieux, les angles, … Par une rotation, l’image d’une droite est une droite. L’image d’un cercle est un cercle de même rayon.

III. Polygones réguliers Un polygone régulier est un polygone inscrit dans un cercle dont tous les côtés ont la même longueur. O 120° 90° 72° 45° 60° Triangle équilatéral Carré Pentagone régulier Hexagone régulier Octogone régulier Remarques : - Il existe toujours une rotation laissant invariant un polygone régulier. - L’angle au centre d’un polygone régulier se calcule avec la formule suivante 360° angle au centre = nb côtés polygone

Exemple: Construction d'un décagone régulier Exemple: Construction d'un décagone régulier inscrit dans un cercle à la règle, au compas et au rapporteur. Cliquez sur l’icône pour voir l’animation ABCDEFGHIJ est un décagone régulier inscrit dans le cercle de centre O