CALCUL LITTERAL Bernard Izard 4° Avon 2009 09-LT Chapitre 09-LT CALCUL LITTERAL I - CONVENTION D’ECRITURE II – VALEUR NUMERIQUE D’UNE…Exp. III- REDUIRE UNE SOMME IV – SIMPLIFIER UN PRODUIT V - LES PARENTHESES VI - NOTION DE FACTORISATION Bernard Izard 4° Avon 2009

I-CONVENTIONS D’ECRITURE On peut omettre le signe x devant une lettre ou une parenthèse. a x b se note 2 x x se note 3x(…..) se note (…..)x(…..) se note ab On lit: 3 facteur de 2x 3(…..) (…..)(…..) 1 x a =a 0 x a = 0 -1 x a = -a -1 x (…..) =-(….) x + x = 2x x x x = x² On met les nombres chiffrés devant les lettres On écrit 2x et non x2 3(…) et non (…)3

Expressions littérales: Si a, b et x représentent des nombres, traduire les phrases suivantes par une expression littérale simplifiée: La somme de a et b La somme de x et 3 Le double de a Le quadruple de a La moitié de a L’inverse de a l’opposé de a Le produit de a par b Le produit de x par 3 Le quotient de a par b La moitié de la somme de 3 et a a + b Le Produit de 3x par 2x Le produit de 6 par la somme de x et 3 La somme de 6 par le produit de x et 3 Les trois quarts de x Le triple du quart de x Le carré de la somme de 3 et x La somme des carrés de 3 et x Le double de la somme de 3 et x 6x² x + 3 2a 6(x + 3) 4a a/2 6+3x 1/a 3x 4 -a 3x 4 ab 3x a/b (3 + x)² 3² + x² 3+a 2 2(3 + x)

II-VALEUR NUMERIQUE D’ UNE EXPRESSION A = 5x + 5 est une expression littéral Si on remplace x par 3, on va trouver la valeur numérique de cette expression pour x = 3 A = 5 x 3 + 5 A =15 + 5 A = 20 Cette expression vaut 20 pour x = 3 Si on remplace x par –2 A = 5x(-2) +5 A =-10+5 A = -5 Cette expression vaut -5 pour x = -2

Ex1: Calculer pour x =1 A = 4 x – 4 B = 5x – 5(x-7) C = 2 x² - 3 x + 1 C = 2(1)² - 3(1) + 1 C = 2 – 3 + 1 C = 0 A =4(1) – 4 A = 4 – 4 A = 0 D = -32x² + x + 18 D = -32(1)² + 1 +18 D = -32 +19 D = -13 B = 5(1) –5((1) – 7) B = 5 –5(-6) B =5 + 30 B =35

Ex2: Calculer pour x = -3 A = 4x – 4 B = 5x – 5(x-7) C = 2x² - 3x + 1 C = 2(-3)² – 3(-3) +1 C =2x9 + 9 + 1 C = 18 + 10 C = 28 A = 4(-3) – 4 A = -12 – 4 A = -16 D = -32x² + x + 18 B = 5(-3) – 5((-3)-7) B = -15 – 5(-10) B = -15 + 50 B = 35 D = -32(-3)² +(-3) + 18 D = -32x9 – 3 + 18 D = -288 +15 D = - 273

III- REDUIRE UNE SOMME Pour réduire une somme, on regroupe les termes de mêmes « mots mathématiques », puis on les ajoute ensemble. Ex1: A = x + 3x A = 4x Remarque : on ajoute les x avec les x, les x²avec les x² , les y avec les y et les nombre chiffrés seuls avec les nombres chiffrés seuls. Ex2: B = x + x² +3 + x + 2x² + 5 B = x + x + x² + 2x² + 3 + 5 B = 2 x + 3x² + 8

Mais jamais les x avec les x², les a avec les b.. Ex3: C = x + x² On ne peut pas réduire Ex4: Réduire l’expression suivante. D = x² + 8 x - 7 - 13 x + 12 + 2 x² + 3 x D = x² + 8 x - 7 - 13 x + 12 + 2 x² + 3 x D = x² + 2 x² + 8 x - 13 x + 3 x - 7 + 12 D = 3 x² - 2 x + 5

Ordonner une expression On range les termes suivant les puissances d’une lettre Ordre croissant Ordre décroissant A = x + 3x² – 3 A = -3 + x +3x² A = x + 3x² - 3 A = 3x² + x - 3 On a ordonné suivant les puissances de x Ex: Ranger suivant les puissances décroissantes de x: B = 5x – 5 + 7x³ - 8x² B = 7x³- 8x² + 5x - 5

Réduire et ordonner une expression On Réduit en commençant par les puissances 3, puis 2, puis 1, puis 0, ou dans l’autre sens. Ex: A=3x – 2x² +5 –3 – x +7x² +4x³ Les x³ 4x³ Les x² 7x² -2x² 5x² Les x 3x -x 2x Les chiffres 5 -3 2 A = 4x³ + 5x² +2x + 2

IV-REDUIRE ou SIMPLIFIER UN PRODUIT Pour réduire un produit, on multiplie les nombres chiffrés ensemble et les mêmes lettres ensemble Ex1: A = 3x x 5 x 2x A =3x5x2 x x x x A = 30 x x² A = 30x² On utilise la règle du: Signes Chiffres Lettres Ex2: B = -3 x 5 x x² x7 x (-x) Signes Chiffres Lettres - par - = + B = 105 x³ 3x5x7 =105 x² x x = x³

Ex3 : Réduire les produits suivants. A = 2 x x x 3 x x B = -7 x 3x C = -5 x x (-4) A = 2 x x x 3 x x B = -7 x 3x C = (-4) x (-5 x) A = 2 x 3 x x x x B = - 21x C = 20 x A = 6 x x² A = 6 x² D = -9 x x 6 xy D = -9 x x 6 xy D = -54 x²y

1) Précédées d’un signe + V-LES PARENTHESES 1) Précédées d’un signe + On peut supprimer un couple de parenthèses précédé du signe + A condition qu’il ne soit pas suivi d’un x ou : Ex: A = 8 + (- 3 + x ) A = 8 + (- 3 + x ) A = 8 - 3 + x A = 5 + x

2) Précédées d’un signe - On peut supprimer un couple de parenthèses précédé du signe - à condition de changer le signe de tous les termes qui étaient à l’intérieur. A condition qu’il ne soit pas suivi d’un x ou : Ex : A = 8 - ( 4 - 3x ) A= 8 – (+4 - 3x) A= 8 - 4 + 3x A= 4 + 3x

3) Précédées d’un signe x k x ( a + b ) = k x a + k x b k x ( a - b ) = k x a - k x b C’est la formule de la distributivité On dit que l’on a distribué ou développé. Développer une expression littérale, c’est transformer un produit en une somme. Avec les conventions d’écriture on peut écrire: k(a+b) = ka + kb k(a-b) = ka - kb

La double distributivité (a + b) (b + c) = (a + b) (b – c) = (a – b) (b + c) = (a – b) (b – c) = ab + ac + b² + bc ab - ac + b² - bc ab + ac - b² - bc ab - ac - b²+ bc Ex1: Développer l’expression: (9 +2x)(7 –3x) = 9x7 – 9 x 3x +7 x 2x - 2x x 3x ‘’’’ ‘’’ = 42 - 27x + 14x – 6x² ‘’’’‘’’ = – 6x² - 13x + 42

Ex2 : 143 x 102 = 143 x ( 100 + 2 ) = 143 x 100 + 143 x 2 ’’ ’’ = 14 300 + 286 = 14 586 B = 2x (x – y + 4) A = 3(- 6 x + 4) A = 3 x(- 6 x + 4) B = 2x x (x – y + 4) A = 3 x(- 6 x) + 3 x 4 B = 2x x x + 2x x( - y ) + 2x x 4 A= -18 x + 12 B = 2 x² - 2 xy + 8 x

Ex 3: ( 100 + 2 ) x ( 200 + 9 ) 102 x 209 = = 100 x 200 + 100 x 9 + 2 x 200 + 2 x 9 ’’ ’’ = 20 000 + 900 + 400 + 18 = 21 318 A = (2x + 3)(3x - 4) A = (2x + 3)(3x - 4) A = 2x x 3x + 2x x(- 4) + 3x3x + 3x(- 4) A = 6 x ² - 8 x + 9 x – 12 A = 6 x ² + x – 12

VI NOTION DE FACTORISATION On utilise la formule de la distributivité dans l’autre sens k x ( a + b ) = k x a + k x b Développer Factoriser k x a + k x b = k x ( a + b ) On met k en facteur commun Ex1: 5a + 5b = 5(a + b) Ex2: 15a + 10b = 5x3a + 5x2b ‘’’’ ‘’’’ = 5(3a + 2b)

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